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练 2-1 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根分别为 $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2}, x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，下列判断中正确的是（）
A.$ a = -1 $
B.$ c = 1 $
C.$ ac = -1 $
D.$ \frac{c}{a} = 1 $
A.$ a = -1 $
B.$ c = 1 $
C.$ ac = -1 $
D.$ \frac{c}{a} = 1 $
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 中 $ a、c $ 的关系，可利用一元二次方程的求根公式：$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，题目给出的两根中根号内的表达式与求根公式的判别式部分对应，通过对比即可推导 $ ac $ 的值，进而判断选项。
【解析】
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其求根公式为：
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
题目中给出的两根为 $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，对比求根公式可知，根号内的部分为判别式 $ b^2 - 4ac $，因此：
$ b^2 - 4ac = b^2 + 4 $
两边同时减去 $ b^2 $，得：
$ -4ac = 4 $
两边同时除以 $ -4 $，得：
$ ac = -1 $
逐一分析选项：
A. $ a = -1 $：无法确定 $ a $ 的具体值，错误；
B. $ c = 1 $：由 $ ac=-1 $ 得 $ c=-1/a $，无法确定 $ c=1 $，错误；
C. $ ac = -1 $：与推导结果一致，正确；
D. $ \frac{c}{a} = 1 $：由 $ ac=-1 $ 得 $ \frac{c}{a} = \frac{c^2}{ac} = -c^2 ≠ 1 $，错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式及判别式的应用，解题核心是对比求根公式中根号内的判别式与题目给出的表达式，快速推导 $ ac $ 的关系，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
要判断一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 中 $ a、c $ 的关系，可利用一元二次方程的求根公式：$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，题目给出的两根中根号内的表达式与求根公式的判别式部分对应，通过对比即可推导 $ ac $ 的值，进而判断选项。
【解析】
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其求根公式为：
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
题目中给出的两根为 $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2} $，对比求根公式可知，根号内的部分为判别式 $ b^2 - 4ac $，因此：
$ b^2 - 4ac = b^2 + 4 $
两边同时减去 $ b^2 $，得：
$ -4ac = 4 $
两边同时除以 $ -4 $，得：
$ ac = -1 $
逐一分析选项：
A. $ a = -1 $：无法确定 $ a $ 的具体值，错误；
B. $ c = 1 $：由 $ ac=-1 $ 得 $ c=-1/a $，无法确定 $ c=1 $，错误；
C. $ ac = -1 $：与推导结果一致，正确；
D. $ \frac{c}{a} = 1 $：由 $ ac=-1 $ 得 $ \frac{c}{a} = \frac{c^2}{ac} = -c^2 ≠ 1 $，错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式及判别式的应用，解题核心是对比求根公式中根号内的判别式与题目给出的表达式，快速推导 $ ac $ 的关系，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
练 2-2 小李与小王两位同学解方程 $2(x-2)=(x-2)^2$ 的过程如下框：
小李:
解:两边同除以 $(x-2)$,得
$\quad 2=x-2$,
则 $x=4$。
小王:
解:移项,得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提取公因式,得 $(x-2)(2-x-2)=0$。
则 $x-2=0$ 或 $2-x-2=0$,
解得 $x_1=2,x_2=0$。
你认为他们的解法是否正确? 若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“×”,并写出正确的解答过程。
小李:
解:两边同除以 $(x-2)$,得
$\quad 2=x-2$,
则 $x=4$。
小王:
解:移项,得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提取公因式,得 $(x-2)(2-x-2)=0$。
则 $x-2=0$ 或 $2-x-2=0$,
解得 $x_1=2,x_2=0$。
你认为他们的解法是否正确? 若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“×”,并写出正确的解答过程。
答案
小李：×
小王：×
解：
移项，得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式 $(x-2)$，得 $(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理得 $(x-2)(4-x)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $4-x=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
小王：×
解：
移项，得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式 $(x-2)$，得 $(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理得 $(x-2)(4-x)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $4-x=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
解析
【分析】
首先判断小李的解法：解方程时，等式两边不能随意除以含未知数的整式，因为该整式可能为0，会导致漏解，故小李错误；小王的解法中，提取公因式后括号内的运算错误，正确应为$2-(x-2)$而非$2-x-2$，导致解错误。正确解法需先移项，再准确提取公因式，用因式分解法求解，避免漏解和运算错误。
【解析】
小李的解法错误，小王的解法错误。正确解答过程如下：
移项，得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式 $(x-2)$，得 $(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理得 $(x-2)(4-x)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $4-x=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
【答案】
小李：×；小王：×；正确解为 $x_1=2$，$x_2=4$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解法，易错点为解方程时不能随意除以含未知数的整式（易漏解），以及提取公因式时的符号运算，需注意运算细节，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先判断小李的解法：解方程时，等式两边不能随意除以含未知数的整式，因为该整式可能为0，会导致漏解，故小李错误；小王的解法中，提取公因式后括号内的运算错误，正确应为$2-(x-2)$而非$2-x-2$，导致解错误。正确解法需先移项，再准确提取公因式，用因式分解法求解，避免漏解和运算错误。
【解析】
小李的解法错误，小王的解法错误。正确解答过程如下：
移项，得 $2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式 $(x-2)$，得 $(x-2)[2-(x-2)]=0$，
整理得 $(x-2)(4-x)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $4-x=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
【答案】
小李：×；小王：×；正确解为 $x_1=2$，$x_2=4$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解法，易错点为解方程时不能随意除以含未知数的整式（易漏解），以及提取公因式时的符号运算，需注意运算细节，避免出错。
【难度系数】
0.6
例3 关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2+2x+1=0$有实数根,则$m$的取值范围是 （）
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m≤3$且$m≠2$
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m≤3$且$m≠2$
答案
D
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需同时满足两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是一元二次方程有实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；再根据一元二次方程根的判别式，有实数根时判别式Δ≥0，最后联立两个条件求解即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^2+2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$。
又
∵该方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-2$，$b=2$，$c=1$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-2) × 1 = 4 - 4(m-2) = 12 - 4m ≥ 0$，
解不等式$12 - 4m ≥ 0$，得$m ≤ 3$。
综上，$m$需满足$m ≤ 3$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件，解题时需注意两个关键点：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是有实根时判别式非负，避免遗漏二次项系数的限制条件是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，需同时满足两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是一元二次方程有实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；再根据一元二次方程根的判别式，有实数根时判别式Δ≥0，最后联立两个条件求解即可。
【解析】
解：
∵方程$(m-2)x^2+2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$。
又
∵该方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-2$，$b=2$，$c=1$，
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-2) × 1 = 4 - 4(m-2) = 12 - 4m ≥ 0$，
解不等式$12 - 4m ≥ 0$，得$m ≤ 3$。
综上，$m$需满足$m ≤ 3$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实根的条件，解题时需注意两个关键点：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是有实根时判别式非负，避免遗漏二次项系数的限制条件是解题的关键。
【难度系数】
0.6
