1. 计算:
(1)$\dfrac{2a^{4}b^{2}}{3c^{3}}÷\dfrac{6a^{3}b^{2}}{15c^{2}}$；
(2)$(\dfrac{-3x^{2}y}{2z})^{3}$；
(3)$\dfrac{2x^{2}}{1-x}·\dfrac{x^{2}-1}{x}$；
(4)$(xy - x^{2})÷\dfrac{x - y}{xy}$；
(5)$\dfrac{b}{a - b}+\dfrac{a}{a + b}-\dfrac{2ab}{b^{2}-a^{2}}$；
(6)$\dfrac{x^{2}}{x - 2}-x - 2$。

1. (1)原式=$\dfrac{5a}{3c}$；
(2)原式=$-\dfrac{27x^{6}y^{3}}{8z^{3}}$；
(3)原式=$-2x^{2}-2x$；
(4)原式=$-x^{2}y$；
(5)原式=$\dfrac{a+b}{a-b}$；
(6)原式=$\dfrac{4}{x-2}$。

【分析】
这是一组分式的基础运算题，涵盖分式的乘除、乘方、加减混合运算，解题思路如下：1.分式除法运算先转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对系数、同底数幂分别约分，有多项式的先因式分解再约分；2.分式乘方运算遵循“分子分母分别乘方，各因式分别乘方”的规则，注意符号的乘方结果；3.分式加减运算先统一分母，将异分母分式转化为同分母分式，再对分子做加减运算，最后约分得到最简结果，遇到整式可将其看作分母为1的分式通分计算，运算过程中注意对互为相反数的因式做符号转换。
【解析】
(1) 分式除法转乘法，再约分化简：
原式$=\dfrac{2a^{4}b^{2}}{3c^{3}}×\dfrac{15c^{2}}{6a^{3}b^{2}}$
$=\dfrac{2×15}{3×6}·\dfrac{a^{4}}{a^{3}}·\dfrac{b^{2}}{b^{2}}·\dfrac{c^{2}}{c^{3}}$
$=\dfrac{5a}{3c}$
(2) 分式乘方，各因式分别乘方：
原式$=\dfrac{(-3)^3·(x^2)^3·y^3}{2^3·z^3}$
$=-\dfrac{27x^{6}y^{3}}{8z^{3}}$
(3) 先因式分解多项式，再约分计算：
原式$=\dfrac{2x^{2}}{1-x}·\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}$
$=\dfrac{2x^{2}}{-(x-1)}·\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}$
$=-2x(x+1)$
$=-2x^2-2x$
(4) 先对被除数因式分解，再转乘法约分：
原式$=x(y-x)·\dfrac{xy}{x-y}$
$=-x(x-y)·\dfrac{xy}{x-y}$
$=-x^2y$
(5) 先统一分母，通分后合并分子再约分：
原式$=\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}$
$=\dfrac{b(a+b)+a(a-b)+2ab}{(a-b)(a+b)}$
$=\dfrac{ab+b^2+a^2-ab+2ab}{(a-b)(a+b)}$
$=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{(a-b)(a+b)}$
$=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$
$=\dfrac{a+b}{a-b}$
(6) 将整式部分通分转化为同分母分式，再计算：
原式$=\dfrac{x^2}{x-2}-\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}$
$=\dfrac{x^2-(x^2-4)}{x-2}$
$=\dfrac{4}{x-2}$
【答案】
(1)$\dfrac{5a}{3c}$；(2)$-\dfrac{27x^{6}y^{3}}{8z^{3}}$；(3)$-2x^{2}-2x$；(4)$-x^{2}y$；(5)$\dfrac{a+b}{a-b}$；(6)$\dfrac{4}{x-2}$
【知识点】
分式的运算，因式分解，通分与约分
【点评】
本组题目属于分式运算的常规训练题，重点考查对分式运算法则的掌握程度，运算时优先做因式分解、先约分再计算能大幅提升正确率，需要特别注意符号处理和分母不为0的隐含条件，避免因符号看错或通分错误失分。
【难度系数】
0.7

2. 已知 $ x $ 为整数，且 $ \dfrac{2x}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{x} $ 的值为整数，求所有符合条件的 $ x $ 的值.

原式=$\dfrac{2x}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{2}{x-1}$.
∵x 是整数,原式的值也是整数,且 $x≠±1,x≠0$,
∴$x=2$ 或 $x=3$.

【分析】
解决本题首先要对原式进行化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再约分得到最简分式；其次要明确分式有意义的前提是所有分母均不为0，先排除不符合要求的x的取值；最后结合“x为整数、原式的值为整数”的条件，可知最简分式的分母必须是分子的整数因数，据此筛选出符合条件的x值即可。
【解析】
1. 化简原式：
利用平方差公式分解因式得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入原式得：
$\dfrac{2x}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x}$
约去公因式$x$和$x+1$，可得化简结果为$\dfrac{2}{x-1}$。
2. 确定x的取值限制：
要使原式有意义，所有分母不能为0，即：
$x^2-1≠0$，$x≠0$
解得$x≠±1$且$x≠0$。
3. 结合整数条件求x：
因为x为整数，且$\dfrac{2}{x-1}$为整数，所以$x-1$是2的整数因数，2的整数因数为$\pm1、\pm2$：
当$x-1=1$时，$x=2$，符合取值限制；
当$x-1=-1$时，$x=0$，不符合$x≠0$的要求，舍去；
当$x-1=2$时，$x=3$，符合取值限制；
当$x-1=-2$时，$x=-1$，不符合$x≠-1$的要求，舍去。
【答案】
$x=2$或$x=3$
【知识点】
分式的化简；分式有意义的条件；整数整除性
【点评】
本题是分式化简的常见易错题型，解题的关键是先确定自变量的取值范围，避免遗漏分母不为0的限制条件导致多解，再结合整除的性质筛选符合要求的解即可。
【难度系数】
0.6

3. 已知$A=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1},B=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$，若$A=B$，求$a,b$之间的表达式.

由 $A=B$,得$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$,
即$(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{b}{b+1})+(\dfrac{1}{b+1}-\dfrac{a}{a+1})=0$,
整理,得$\dfrac{2(1-ab)}{(a+1)(b+1)}=0$,即 $1-ab=0$,
则 $ab=1$.

【分析】
题目给出了A、B两个分式的表达式，且明确A=B，要求推导a、b的关系。解题时首先将A、B的表达式代入等式A=B，再通过移项、分组、通分对等式进行化简，最后结合分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），即可得到a、b的关系式，过程中要注意分式有意义的隐含要求，即分母不能为0。
【解析】
解：
∵$A=B$
∴将$A=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}$，$B=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$代入等式得：
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$
移项分组得：$(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{a}{a+1})+(\dfrac{1}{b+1}-\dfrac{b}{b+1})=0$
对同分母分式化简得：$\dfrac{1-a}{a+1}+\dfrac{1-b}{b+1}=0$
通分（公分母为$(a+1)(b+1)$）得：
$\dfrac{(1-a)(b+1)+(1-b)(a+1)}{(a+1)(b+1)}=0$
展开并计算分子：
$(b+1-ab-a)+(a+1-ab-b)=2-2ab=2(1-ab)$
因此等式化简为：$\dfrac{2(1-ab)}{(a+1)(b+1)}=0$
由分式有意义的条件可知$(a+1)(b+1)≠0$，故只需分子为0：
$2(1-ab)=0$，即$1-ab=0$
整理得$ab=1$
【答案】
$ab=1$（$a≠-1$，$b≠-1$）
【知识点】
分式的加减运算，分式值为0的条件，等式的性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是通过代入等式、移项化简将分式等式转化为整式关系，解题时要注意分式有意义的隐含条件，避免忽略分母不为0的要求，熟练掌握分式通分、加减运算法则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8