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1. 计算：
(1) $1÷(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2})$；
(2) $(1+\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 - 1}{x}$；
(3) $1-\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + a}$；
(4) $(1+\dfrac{4}{x^2 - 4})·\dfrac{x + 2}{x}$。
(1) $1÷(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2})$；
(2) $(1+\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2 - 1}{x}$；
(3) $1-\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + a}$；
(4) $(1+\dfrac{4}{x^2 - 4})·\dfrac{x + 2}{x}$。
答案
(1)原式=$\dfrac{2x}{2-x}$；
(2)原式=$\dfrac{1}{x-1}$；
(3)原式=$\dfrac{1}{a+2}$；
(4)原式=$\dfrac{x}{x-2}$。
(2)原式=$\dfrac{1}{x-1}$；
(3)原式=$\dfrac{1}{a+2}$；
(4)原式=$\dfrac{x}{x-2}$。
解析
【分析】
分式混合运算遵循和有理数混合运算相同的运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；遇到除法运算时，先转化为乘法运算，对分子分母中能因式分解的多项式优先因式分解，再通过约分简化计算，最后结果要化为最简分式。解题时可按照“去括号→除法变乘法→因式分解→约分→合并化简”的步骤逐步求解。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法，通分得：
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2 - x}{2x}$
再将除法转化为乘法计算：
$1÷\dfrac{2 - x}{2x}=1×\dfrac{2x}{2 - x}=\dfrac{2x}{2 - x}$
(2) 先计算括号内的加法，通分得：
$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x + 1}{x}$
将除法转化为乘法，同时对$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$：
$\dfrac{x + 1}{x}÷\dfrac{x^2 - 1}{x}=\dfrac{x + 1}{x}×\dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
约分后得：$\dfrac{1}{x - 1}$
(3) 先计算除法运算，将除法转化为乘法，分别因式分解：$a^2+a=a(a+1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
$\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + a}=\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a(a + 1)}{(a + 2)(a - 2)}=\dfrac{a + 1}{a + 2}$
再计算减法，将1通分为$\dfrac{a + 2}{a + 2}$：
$1-\dfrac{a + 1}{a + 2}=\dfrac{a + 2 - (a + 1)}{a + 2}=\dfrac{1}{a + 2}$
(4) 先计算括号内的加法，对$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，通分得：
$1+\dfrac{4}{x^2 - 4}=\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4}+\dfrac{4}{x^2 - 4}=\dfrac{x^2}{(x + 2)(x - 2)}$
再计算乘法并约分：
$\dfrac{x^2}{(x + 2)(x - 2)}×\dfrac{x + 2}{x}=\dfrac{x}{x - 2}$
【答案】
(1)$\dfrac{2x}{2-x}$；(2)$\dfrac{1}{x-1}$；(3)$\dfrac{1}{a+2}$；(4)$\dfrac{x}{x-2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和化简技巧，熟练掌握通分、约分、因式分解的方法可以大幅提高计算效率和准确率，计算时需注意符号处理，避免漏乘、错约。
【难度系数】
0.8
分式混合运算遵循和有理数混合运算相同的运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；遇到除法运算时，先转化为乘法运算，对分子分母中能因式分解的多项式优先因式分解，再通过约分简化计算，最后结果要化为最简分式。解题时可按照“去括号→除法变乘法→因式分解→约分→合并化简”的步骤逐步求解。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法，通分得：
$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2 - x}{2x}$
再将除法转化为乘法计算：
$1÷\dfrac{2 - x}{2x}=1×\dfrac{2x}{2 - x}=\dfrac{2x}{2 - x}$
(2) 先计算括号内的加法，通分得：
$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x + 1}{x}$
将除法转化为乘法，同时对$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$：
$\dfrac{x + 1}{x}÷\dfrac{x^2 - 1}{x}=\dfrac{x + 1}{x}×\dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
约分后得：$\dfrac{1}{x - 1}$
(3) 先计算除法运算，将除法转化为乘法，分别因式分解：$a^2+a=a(a+1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
$\dfrac{a - 2}{a}÷\dfrac{a^2 - 4}{a^2 + a}=\dfrac{a - 2}{a}×\dfrac{a(a + 1)}{(a + 2)(a - 2)}=\dfrac{a + 1}{a + 2}$
再计算减法，将1通分为$\dfrac{a + 2}{a + 2}$：
$1-\dfrac{a + 1}{a + 2}=\dfrac{a + 2 - (a + 1)}{a + 2}=\dfrac{1}{a + 2}$
(4) 先计算括号内的加法，对$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，通分得：
$1+\dfrac{4}{x^2 - 4}=\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4}+\dfrac{4}{x^2 - 4}=\dfrac{x^2}{(x + 2)(x - 2)}$
再计算乘法并约分：
$\dfrac{x^2}{(x + 2)(x - 2)}×\dfrac{x + 2}{x}=\dfrac{x}{x - 2}$
【答案】
(1)$\dfrac{2x}{2-x}$；(2)$\dfrac{1}{x-1}$；(3)$\dfrac{1}{a+2}$；(4)$\dfrac{x}{x-2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和化简技巧，熟练掌握通分、约分、因式分解的方法可以大幅提高计算效率和准确率，计算时需注意符号处理，避免漏乘、错约。
【难度系数】
0.8
2. 先化简,再求值:$\dfrac{a-2}{a+3}÷\dfrac{a^2-4}{2a+6}-\dfrac{5}{a+2}$,其中$a=-5$.
答案
原式=$-\dfrac{3}{a+2}$. 当$a=-5$时,原式=1.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简再求值”的原则解题，思路如下：1. 先处理分式除法运算：将除法转化为乘以除数的倒数，同时对分子分母中能因式分解的多项式先分解，再约分简化；2. 再进行分式减法运算：同分母分式直接合并分子，最终得到最简分式；3. 将a=-5代入最简分式计算结果，避免直接代入原式增大计算量、提升出错率。
【解析】
解：先对多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$2a+6=2(a+3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a-2}{a+3} ÷ \dfrac{(a+2)(a-2)}{2(a+3)} - \dfrac{5}{a+2}\\&=\dfrac{a-2}{a+3} × \dfrac{2(a+3)}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{5}{a+2} \quad \mathrm{（除法转化为乘以除数的倒数）}\\&=\dfrac{2}{a+2} - \dfrac{5}{a+2} \quad \mathrm{（约去公因式$a-2$、$a+3$）}\\&=\dfrac{2-5}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\&=-\dfrac{3}{a+2}\end{aligned}$
将$a=-5$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{3}{-5+2}=-\dfrac{3}{-3}=1$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{3}{a+2}$，当$a=-5$时，原式的值为$1$。
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式运算的顺序、因式分解的应用以及约分、通分的计算能力，运算时要注意先乘除后加减的顺序，因式分解要准确，避免因符号或约分错误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简再求值”的原则解题，思路如下：1. 先处理分式除法运算：将除法转化为乘以除数的倒数，同时对分子分母中能因式分解的多项式先分解，再约分简化；2. 再进行分式减法运算：同分母分式直接合并分子，最终得到最简分式；3. 将a=-5代入最简分式计算结果，避免直接代入原式增大计算量、提升出错率。
【解析】
解：先对多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$2a+6=2(a+3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a-2}{a+3} ÷ \dfrac{(a+2)(a-2)}{2(a+3)} - \dfrac{5}{a+2}\\&=\dfrac{a-2}{a+3} × \dfrac{2(a+3)}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{5}{a+2} \quad \mathrm{（除法转化为乘以除数的倒数）}\\&=\dfrac{2}{a+2} - \dfrac{5}{a+2} \quad \mathrm{（约去公因式$a-2$、$a+3$）}\\&=\dfrac{2-5}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\&=-\dfrac{3}{a+2}\end{aligned}$
将$a=-5$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{3}{-5+2}=-\dfrac{3}{-3}=1$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{3}{a+2}$，当$a=-5$时，原式的值为$1$。
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式运算的顺序、因式分解的应用以及约分、通分的计算能力，运算时要注意先乘除后加减的顺序，因式分解要准确，避免因符号或约分错误失分。
【难度系数】
0.7
3. 先化简,再求值:$(1-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x-2}{x^2-1}$,其中 $x=2\,026$.
答案
原式=$x+1$. 当$x=2\,026$时,原式=2027.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对可因式分解的多项式因式分解，通过约分得到最简结果；第二步将x的取值代入最简结果计算即可。计算时要注意先通分计算括号内的运算，因式分解要准确，约分要找准公因式，避免运算错误。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x-1)-1}{x-1}=\dfrac{x-2}{x-1}$
2. 将除法转化为乘法，同时利用平方差公式因式分解$x^2-1$：
$\dfrac{x-2}{x-1}÷\dfrac{x-2}{x^2-1}=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{x^2-1}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}$
3. 约分，约掉分子分母的公因式$x-2$和$x-1$，得化简结果为$x+1$
将$x=2026$代入最简式，得：
原式$=2026+1=2027$
【答案】
原式=$x+1$。当$x=2\,026$时，原式=2027。
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，重点考察分式的通分、约分规则以及因式分解的运用，运算时遵循先括号后乘除的顺序，先化简再代入求值可大幅降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式混合运算的顺序，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对可因式分解的多项式因式分解，通过约分得到最简结果；第二步将x的取值代入最简结果计算即可。计算时要注意先通分计算括号内的运算，因式分解要准确，约分要找准公因式，避免运算错误。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x-1)-1}{x-1}=\dfrac{x-2}{x-1}$
2. 将除法转化为乘法，同时利用平方差公式因式分解$x^2-1$：
$\dfrac{x-2}{x-1}÷\dfrac{x-2}{x^2-1}=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{x^2-1}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}$
3. 约分，约掉分子分母的公因式$x-2$和$x-1$，得化简结果为$x+1$
将$x=2026$代入最简式，得：
原式$=2026+1=2027$
【答案】
原式=$x+1$。当$x=2\,026$时，原式=2027。
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，重点考察分式的通分、约分规则以及因式分解的运用，运算时遵循先括号后乘除的顺序，先化简再代入求值可大幅降低计算量，提高正确率。
【难度系数】
0.8
