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1. 计算:
(1)$(1-\dfrac{1}{m-2})÷\dfrac{m-3}{2m-4}$；
(2)$(a-\dfrac{2ab-b^2}{a})÷\dfrac{a-b}{a}$；
(3)$(a-\dfrac{b^2}{a})÷(1-\dfrac{b}{a})$；
(4)$\dfrac{3-x}{x-2}÷(x-2-\dfrac{13-4x}{x-2})$。
(1)$(1-\dfrac{1}{m-2})÷\dfrac{m-3}{2m-4}$；
(2)$(a-\dfrac{2ab-b^2}{a})÷\dfrac{a-b}{a}$；
(3)$(a-\dfrac{b^2}{a})÷(1-\dfrac{b}{a})$；
(4)$\dfrac{3-x}{x-2}÷(x-2-\dfrac{13-4x}{x-2})$。
答案
(1)原式=2；
(2)原式=a−b；
(3)原式=a+b；
(4)原式=$-\dfrac{1}{x+3}$。
(2)原式=a−b；
(3)原式=a+b；
(4)原式=$-\dfrac{1}{x+3}$。
解析
【分析】
这几道题属于分式混合运算题型，解题遵循统一思路：1. 优先计算括号内的运算，整式与分式加减时，将整式看作分母为1的分式，通分化为同分母分式后再合并；2. 除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以该分式的倒数；3. 分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分化为最简整式或最简分式，计算过程中注意符号处理。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=(\dfrac{m-2}{m-2}-\dfrac{1}{m-2})÷\dfrac{m-3}{2(m-2)}$
$=\dfrac{m-3}{m-2}×\dfrac{2(m-2)}{m-3}$
约分后得$2$。
(2) 先对括号内通分合并，再转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{a^2-(2ab-b^2)}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
$=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
$=\dfrac{(a-b)^2}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
约分后得$a-b$。
(3) 分别计算两个括号内的运算，再转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{a^2-b^2}{a}÷\dfrac{a-b}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
约分后得$a+b$。
(4) 先计算小括号内的分式减法，再转化为乘法约分，注意$3-x=-(x-3)$的符号变形：
原式$=\dfrac{3-x}{x-2}÷(\dfrac{(x-2)^2}{x-2}-\dfrac{13-4x}{x-2})$
$=\dfrac{3-x}{x-2}÷\dfrac{x^2-4x+4-13+4x}{x-2}$
$=\dfrac{3-x}{x-2}÷\dfrac{x^2-9}{x-2}$
$=\dfrac{-(x-3)}{x-2}×\dfrac{x-2}{(x+3)(x-3)}$
约分后得$-\dfrac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$2$；(2)$a-b$；(3)$a+b$；(4)$-\dfrac{1}{x+3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考查运算顺序、通分、因式分解和约分的运用，计算时注意符号变形的处理，熟练掌握基础运算规则可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
这几道题属于分式混合运算题型，解题遵循统一思路：1. 优先计算括号内的运算，整式与分式加减时，将整式看作分母为1的分式，通分化为同分母分式后再合并；2. 除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以该分式的倒数；3. 分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分化为最简整式或最简分式，计算过程中注意符号处理。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法约分：
原式$=(\dfrac{m-2}{m-2}-\dfrac{1}{m-2})÷\dfrac{m-3}{2(m-2)}$
$=\dfrac{m-3}{m-2}×\dfrac{2(m-2)}{m-3}$
约分后得$2$。
(2) 先对括号内通分合并，再转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{a^2-(2ab-b^2)}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
$=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
$=\dfrac{(a-b)^2}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
约分后得$a-b$。
(3) 分别计算两个括号内的运算，再转化为乘法约分：
原式$=\dfrac{a^2-b^2}{a}÷\dfrac{a-b}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a}×\dfrac{a}{a-b}$
约分后得$a+b$。
(4) 先计算小括号内的分式减法，再转化为乘法约分，注意$3-x=-(x-3)$的符号变形：
原式$=\dfrac{3-x}{x-2}÷(\dfrac{(x-2)^2}{x-2}-\dfrac{13-4x}{x-2})$
$=\dfrac{3-x}{x-2}÷\dfrac{x^2-4x+4-13+4x}{x-2}$
$=\dfrac{3-x}{x-2}÷\dfrac{x^2-9}{x-2}$
$=\dfrac{-(x-3)}{x-2}×\dfrac{x-2}{(x+3)(x-3)}$
约分后得$-\dfrac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$2$；(2)$a-b$；(3)$a+b$；(4)$-\dfrac{1}{x+3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考查运算顺序、通分、因式分解和约分的运用，计算时注意符号变形的处理，熟练掌握基础运算规则可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
2. 在解决题目“已知$ x=89 $，求$ y=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x^2 - x}{x + 1} - \dfrac{1}{x} + 1 $的值”时，小明误将$ x=89 $看成了$ x=98 $，但他算出的结果仍然正确，你能说说这是为什么吗？
答案
$\because y=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-x}{x+1}-\dfrac{1}{x}+1$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\dfrac{x+1}{x(x-1)}-\dfrac{1}{x}+1$
$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}+1=1,$
$\therefore$该式子的值与$x$的值无关，
$\therefore$无论$x=89$还是$x=98$,小明算出的结果都是正确的。
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\dfrac{x+1}{x(x-1)}-\dfrac{1}{x}+1$
$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}+1=1,$
$\therefore$该式子的值与$x$的值无关，
$\therefore$无论$x=89$还是$x=98$,小明算出的结果都是正确的。
解析
【分析】
遇到“代入的x值错误但计算结果仍正确”的问题，首先可推测原式化简后不含x，即代数式的值与x的取值无关。解题时需先遵循分式混合运算的规则化简原式：先将除法转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母进行因式分解，接着约分化简，最后合并同类项，观察最终结果是否含x即可解释原因。
【解析】
对原式进行化简：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x^2 - x}{x + 1} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=1\end{aligned}$
经化简可知，原式的计算结果为常数1，只要x的取值使原式中所有分式有意义，式子的值就恒为1，和x的具体取值无关。因此小明误将x=89看成x=98时，只要两个取值都满足分式有意义的要求，计算结果都为1，所以结果仍然正确。
【答案】
原式化简后结果为1，与x的取值无关，因此无论x取89还是98，计算结果都正确。
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题侧重考察分式化简能力，解题时无需直接代入数值计算，先化简代数式即可快速发现其值与字母x无关，能简化运算过程，避免无效的数值计算。
【难度系数】
0.7
遇到“代入的x值错误但计算结果仍正确”的问题，首先可推测原式化简后不含x，即代数式的值与x的取值无关。解题时需先遵循分式混合运算的规则化简原式：先将除法转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母进行因式分解，接着约分化简，最后合并同类项，观察最终结果是否含x即可解释原因。
【解析】
对原式进行化简：
$\begin{aligned}y&=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x^2 - x}{x + 1} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(x-1)} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} + 1\\&=1\end{aligned}$
经化简可知，原式的计算结果为常数1，只要x的取值使原式中所有分式有意义，式子的值就恒为1，和x的具体取值无关。因此小明误将x=89看成x=98时，只要两个取值都满足分式有意义的要求，计算结果都为1，所以结果仍然正确。
【答案】
原式化简后结果为1，与x的取值无关，因此无论x取89还是98，计算结果都正确。
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题侧重考察分式化简能力，解题时无需直接代入数值计算，先化简代数式即可快速发现其值与字母x无关，能简化运算过程，避免无效的数值计算。
【难度系数】
0.7
3. 已知 $x=2026,y=2025$，求代数式 $\dfrac{x-y}{x}÷(x-\dfrac{2xy-y^2}{x})$ 的值.
答案
原式=$\dfrac{1}{x-y}$. 当$x=2\ 026,y=2\ 025$时，
原式=$\dfrac{1}{2\ 026-2\ 025}=1.$
原式=$\dfrac{1}{2\ 026-2\ 025}=1.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题时不宜直接代入数值计算，否则运算量较大。正确思路是：先按照分式运算顺序，先计算括号内的分式减法，通分后利用完全平方公式因式分解，再将分式除法转化为乘法，约分化简为最简形式，最后代入x、y的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算括号内的运算：
$x-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x}=\dfrac{(x-y)^2}{x}$
2. 将除法转化为乘法计算：
$\dfrac{x-y}{x}÷\dfrac{(x-y)^2}{x}=\dfrac{x-y}{x}×\dfrac{x}{(x-y)^2}$
3. 约分后得最简形式：$\dfrac{1}{x-y}$
4. 代入$x=2026,y=2025$计算：
原式$=\dfrac{1}{2026-2025}=\dfrac{1}{1}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题的关键是遵循分式运算顺序，先化简再代值，能大幅降低运算量，计算过程中要注意因式分解的正确使用，约分时要保证分母不为0，本题中$x≠y$，符合约分条件。
【难度系数】
0.85
这是分式化简求值类题目，解题时不宜直接代入数值计算，否则运算量较大。正确思路是：先按照分式运算顺序，先计算括号内的分式减法，通分后利用完全平方公式因式分解，再将分式除法转化为乘法，约分化简为最简形式，最后代入x、y的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 计算括号内的运算：
$x-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{2xy-y^2}{x}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x}=\dfrac{(x-y)^2}{x}$
2. 将除法转化为乘法计算：
$\dfrac{x-y}{x}÷\dfrac{(x-y)^2}{x}=\dfrac{x-y}{x}×\dfrac{x}{(x-y)^2}$
3. 约分后得最简形式：$\dfrac{1}{x-y}$
4. 代入$x=2026,y=2025$计算：
原式$=\dfrac{1}{2026-2025}=\dfrac{1}{1}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式混合运算、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题的关键是遵循分式运算顺序，先化简再代值，能大幅降低运算量，计算过程中要注意因式分解的正确使用，约分时要保证分母不为0，本题中$x≠y$，符合约分条件。
【难度系数】
0.85
