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1. 计算:
(1)$(a^{2}b)^{2}· \dfrac{b^{2}}{a}$;
(2)$(\dfrac{-2a^{2}b}{3c})^{2}$;
(3)$(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{x^{2}}{4y}$;
(4)$(\dfrac{-x}{y})^{2}· \dfrac{3y}{2x}÷ \dfrac{9y}{4x^{2}}$.
(1)$(a^{2}b)^{2}· \dfrac{b^{2}}{a}$;
(2)$(\dfrac{-2a^{2}b}{3c})^{2}$;
(3)$(\dfrac{x}{2y})^{2}÷ \dfrac{x^{2}}{4y}$;
(4)$(\dfrac{-x}{y})^{2}· \dfrac{3y}{2x}÷ \dfrac{9y}{4x^{2}}$.
答案
(1)原式=$a^{3}b^{4}$；
(2)原式=$\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；
(3)原式=$\dfrac{1}{y}$；
(4)原式=$\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$.
(2)原式=$\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；
(3)原式=$\dfrac{1}{y}$；
(4)原式=$\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$.
解析
【分析】
这4道题均为分式的乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：首先按照运算顺序先计算乘方，利用积的乘方、幂的乘方法则分别对分式的分子、分母乘方，注意负数的偶次幂结果为正；再计算乘除运算，乘除为同级运算按从左到右顺序计算，遇到除法先转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），最后结合同底数幂的乘除法则计算，约去分子分母的公因式得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(a^{2}b)^{2}=a^{4}b^{2}$，
原式$=a^{4}b^{2}·\dfrac{b^{2}}{a} = a^{4-1}·b^{2+2}=a^{3}b^{4}$；
(2) 分别对分子、分母乘方：
分子$(-2a^{2}b)^{2}=(-2)^{2}·(a^{2})^{2}·b^{2}=4a^{4}b^{2}$，分母$(3c)^{2}=3^{2}·c^{2}=9c^{2}$，
原式$=\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；
(3) 先计算乘方：$(\dfrac{x}{2y})^{2}=\dfrac{x^{2}}{4y^{2}}$，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{x^{2}}{4y^{2}}×\dfrac{4y}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}·4y}{4y^{2}·x^{2}}=\dfrac{1}{y}$；
(4) 先计算乘方：$(\dfrac{-x}{y})^{2}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}$，再将除法转化为乘法后约分：
原式$=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}·\dfrac{3y}{2x}·\dfrac{4x^{2}}{9y}=\dfrac{x^{2}·3y·4x^{2}}{y^{2}·2x·9y}=\dfrac{12x^{4}y}{18xy^{3}}=\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$。
【答案】
(1)$a^{3}b^{4}$；(2)$\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；(3)$\dfrac{1}{y}$；(4)$\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方运算、幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和运算法则的应用，计算时要注意符号判断、指数运算的准确性，熟练掌握约分技巧可提高计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
这4道题均为分式的乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：首先按照运算顺序先计算乘方，利用积的乘方、幂的乘方法则分别对分式的分子、分母乘方，注意负数的偶次幂结果为正；再计算乘除运算，乘除为同级运算按从左到右顺序计算，遇到除法先转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），最后结合同底数幂的乘除法则计算，约去分子分母的公因式得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(a^{2}b)^{2}=a^{4}b^{2}$，
原式$=a^{4}b^{2}·\dfrac{b^{2}}{a} = a^{4-1}·b^{2+2}=a^{3}b^{4}$；
(2) 分别对分子、分母乘方：
分子$(-2a^{2}b)^{2}=(-2)^{2}·(a^{2})^{2}·b^{2}=4a^{4}b^{2}$，分母$(3c)^{2}=3^{2}·c^{2}=9c^{2}$，
原式$=\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；
(3) 先计算乘方：$(\dfrac{x}{2y})^{2}=\dfrac{x^{2}}{4y^{2}}$，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{x^{2}}{4y^{2}}×\dfrac{4y}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}·4y}{4y^{2}·x^{2}}=\dfrac{1}{y}$；
(4) 先计算乘方：$(\dfrac{-x}{y})^{2}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}$，再将除法转化为乘法后约分：
原式$=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}·\dfrac{3y}{2x}·\dfrac{4x^{2}}{9y}=\dfrac{x^{2}·3y·4x^{2}}{y^{2}·2x·9y}=\dfrac{12x^{4}y}{18xy^{3}}=\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$。
【答案】
(1)$a^{3}b^{4}$；(2)$\dfrac{4a^{4}b^{2}}{9c^{2}}$；(3)$\dfrac{1}{y}$；(4)$\dfrac{2x^{3}}{3y^{2}}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的乘方运算、幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和运算法则的应用，计算时要注意符号判断、指数运算的准确性，熟练掌握约分技巧可提高计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
2. (大连中考)计算：$(\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{a^2-9})÷\dfrac{a-2}{2a+6}$.
答案
原式$=[\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}]·\dfrac{2(a+3)}{a-2} = \dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)}·\dfrac{2(a+3)}{a-2}=\dfrac{2}{a-3}$.
一题多解：
原式$=(\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)})·\dfrac{2(a+3)}{a-2}$
$=\dfrac{1}{a+3}·\dfrac{2(a+3)}{a-2}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}·\dfrac{2(a+3)}{a-2}$
$=\dfrac{2}{a-2}+\dfrac{2}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2(a-3)+2}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2(a-2)}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2}{a-3}$.
一题多解：
原式$=(\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)})·\dfrac{2(a+3)}{a-2}$
$=\dfrac{1}{a+3}·\dfrac{2(a+3)}{a-2}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}·\dfrac{2(a+3)}{a-2}$
$=\dfrac{2}{a-2}+\dfrac{2}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2(a-3)+2}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2(a-2)}{(a-3)(a-2)}$
$=\dfrac{2}{a-3}$.
解析
【分析】
这是一道分式混合运算题，解题思路可按以下步骤展开：第一步先对能因式分解的多项式进行分解：$a^2-9$是平方差形式，可分解为$(a+3)(a-3)$，$2a+6$提取公因式2后得$2(a+3)$；第二步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘它的倒数；第三步计算括号内的分式加法，先确定最简公分母为$(a+3)(a-3)$，通分后合并分子；第四步将所得结果与后面的分式相乘，约去分子分母的公因式即可得到最简结果，也可选择用乘法分配律简化计算过程。
【解析】
先对多项式因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$2a+6=2(a+3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}] ÷ \dfrac{a-2}{2(a+3)}\\&=[\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}] · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{a-3+1}{(a+3)(a-3)} · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)} · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{2}{a-3}\end{aligned}$
（也可使用乘法分配律计算：将括号外的分式分别乘括号内的两个分式，再通分合并，最终结果一致）
【答案】
$\dfrac{2}{a-3}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础考题，核心考察分式运算规则和因式分解的应用，计算时可先分解各分母，再根据式子特点选择通分或乘法分配律简化运算，注意约分时要找全公因式，保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.75
这是一道分式混合运算题，解题思路可按以下步骤展开：第一步先对能因式分解的多项式进行分解：$a^2-9$是平方差形式，可分解为$(a+3)(a-3)$，$2a+6$提取公因式2后得$2(a+3)$；第二步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘它的倒数；第三步计算括号内的分式加法，先确定最简公分母为$(a+3)(a-3)$，通分后合并分子；第四步将所得结果与后面的分式相乘，约去分子分母的公因式即可得到最简结果，也可选择用乘法分配律简化计算过程。
【解析】
先对多项式因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$2a+6=2(a+3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}] ÷ \dfrac{a-2}{2(a+3)}\\&=[\dfrac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\dfrac{1}{(a+3)(a-3)}] · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{a-3+1}{(a+3)(a-3)} · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{a-2}{(a+3)(a-3)} · \dfrac{2(a+3)}{a-2}\\&=\dfrac{2}{a-3}\end{aligned}$
（也可使用乘法分配律计算：将括号外的分式分别乘括号内的两个分式，再通分合并，最终结果一致）
【答案】
$\dfrac{2}{a-3}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础考题，核心考察分式运算规则和因式分解的应用，计算时可先分解各分母，再根据式子特点选择通分或乘法分配律简化运算，注意约分时要找全公因式，保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.75
3. 先将$\dfrac{m^2 - 1}{m^2 + 4m + 4} ÷ (m + 1) · \dfrac{m^2 + 2m}{m - 1}$化简，再选取一个你认为合适的$m$的值代入求值.
答案
原式$=\dfrac{m}{m+2}$. 由题意,得$m≠1,-1,-2$,
当$m=6$(取值不唯一)时,原式$=\dfrac{6}{6+2}=\dfrac{3}{4}$.
当$m=6$(取值不唯一)时,原式$=\dfrac{6}{6+2}=\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
这是分式乘除混合的化简求值题，解题思路如下：①运算顺序调整：分式乘除是同级运算，先根据除法法则将除法转化为乘法，统一为乘法运算后再计算，注意不能随意颠倒运算顺序；②因式分解约分：将各分式的分子、分母中能因式分解的多项式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简结果；③合法取值代入：选取m值时，必须保证原式中所有分母、除式都不为0，避免分式无意义，再代入最简式计算结果。
【解析】
第一步：将除法转化为乘法，原式可改写为：
$\dfrac{m^2 - 1}{m^2 + 4m + 4} × \dfrac{1}{m + 1} × \dfrac{m^2 + 2m}{m - 1}$
第二步：对各多项式因式分解：
$m^2-1=(m+1)(m-1)$（平方差公式），$m^2+4m+4=(m+2)^2$（完全平方公式），$m^2+2m=m(m+2)$（提取公因式）
代入原式得：
$\dfrac{(m+1)(m-1)}{(m+2)^2} × \dfrac{1}{m+1} × \dfrac{m(m+2)}{m-1}$
第三步：约去分子分母的公因式$(m+1)$、$(m-1)$、$(m+2)$，得化简结果：$\dfrac{m}{m+2}$
第四步：确定m的合法取值：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即：
$m^2+4m+4≠0$，$m+1≠0$，$m-1≠0$，解得$m≠-2$，$m≠-1$，$m≠1$
选取合法值$m=6$代入化简结果，得：$\dfrac{6}{6+2}=\dfrac{3}{4}$（m取值不唯一）
【答案】
化简结果为$\dfrac{m}{m+2}$，当$m=6$时，原式的值为$\dfrac{3}{4}$（$m$取值不唯一，只要满足$m≠1,-1,-2$即可）
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式乘除混合运算的规则，解题时要注意先统一运算形式，再通过因式分解约分简化计算，选取代入值时要格外注意需保证原式所有部分都有意义，不能随意取值。
【难度系数】
0.7
这是分式乘除混合的化简求值题，解题思路如下：①运算顺序调整：分式乘除是同级运算，先根据除法法则将除法转化为乘法，统一为乘法运算后再计算，注意不能随意颠倒运算顺序；②因式分解约分：将各分式的分子、分母中能因式分解的多项式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简结果；③合法取值代入：选取m值时，必须保证原式中所有分母、除式都不为0，避免分式无意义，再代入最简式计算结果。
【解析】
第一步：将除法转化为乘法，原式可改写为：
$\dfrac{m^2 - 1}{m^2 + 4m + 4} × \dfrac{1}{m + 1} × \dfrac{m^2 + 2m}{m - 1}$
第二步：对各多项式因式分解：
$m^2-1=(m+1)(m-1)$（平方差公式），$m^2+4m+4=(m+2)^2$（完全平方公式），$m^2+2m=m(m+2)$（提取公因式）
代入原式得：
$\dfrac{(m+1)(m-1)}{(m+2)^2} × \dfrac{1}{m+1} × \dfrac{m(m+2)}{m-1}$
第三步：约去分子分母的公因式$(m+1)$、$(m-1)$、$(m+2)$，得化简结果：$\dfrac{m}{m+2}$
第四步：确定m的合法取值：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即：
$m^2+4m+4≠0$，$m+1≠0$，$m-1≠0$，解得$m≠-2$，$m≠-1$，$m≠1$
选取合法值$m=6$代入化简结果，得：$\dfrac{6}{6+2}=\dfrac{3}{4}$（m取值不唯一）
【答案】
化简结果为$\dfrac{m}{m+2}$，当$m=6$时，原式的值为$\dfrac{3}{4}$（$m$取值不唯一，只要满足$m≠1,-1,-2$即可）
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式乘除混合运算的规则，解题时要注意先统一运算形式，再通过因式分解约分简化计算，选取代入值时要格外注意需保证原式所有部分都有意义，不能随意取值。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ A = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$，当$x=2,y=1$时，求$A$的值.
答案
$\because \dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ A = \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$,
$\therefore A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
$=\dfrac{(x+y)^2}{y(x-y)}·\dfrac{(x-y)^2}{y(x+y)}=\dfrac{x^2 - y^2}{y^2}$.
当$x=2,y=1$时,$A=3$.
$\therefore A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
$=\dfrac{(x+y)^2}{y(x-y)}·\dfrac{(x-y)^2}{y(x+y)}=\dfrac{x^2 - y^2}{y^2}$.
当$x=2,y=1$时,$A=3$.
解析
【分析】
解题时首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，写出A的表达式；接着将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对每个分式的分子、分母进行因式分解，通过约分化为最简分式，最后代入x=2、y=1的值计算即可得到A的结果。
【解析】
解：$\because \dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ A = \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
$\therefore A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
将除法转化为乘法：
$A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2}·\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{xy + y^2}$
对分子分母因式分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$xy-y^2=y(x-y)$，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，$xy+y^2=y(x+y)$
代入后约分：
$A=\dfrac{(x+y)^2}{y(x-y)}·\dfrac{(x-y)^2}{y(x+y)}=\dfrac{(x+y)(x-y)}{y^2}=\dfrac{x^2 - y^2}{y^2}$
将$x=2,y=1$代入化简后的式子：
$A=\dfrac{2^2 - 1^2}{1^2}=\dfrac{4-1}{1}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是先根据除法运算关系确定A的表达式，再通过因式分解和约分化简分式，代入数值计算时要注意运算准确性，避免因因式分解错误或约分失误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系，写出A的表达式；接着将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对每个分式的分子、分母进行因式分解，通过约分化为最简分式，最后代入x=2、y=1的值计算即可得到A的结果。
【解析】
解：$\because \dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ A = \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
$\therefore A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2} ÷ \dfrac{xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$
将除法转化为乘法：
$A=\dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy - y^2}·\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{xy + y^2}$
对分子分母因式分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$xy-y^2=y(x-y)$，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，$xy+y^2=y(x+y)$
代入后约分：
$A=\dfrac{(x+y)^2}{y(x-y)}·\dfrac{(x-y)^2}{y(x+y)}=\dfrac{(x+y)(x-y)}{y^2}=\dfrac{x^2 - y^2}{y^2}$
将$x=2,y=1$代入化简后的式子：
$A=\dfrac{2^2 - 1^2}{1^2}=\dfrac{4-1}{1}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是先根据除法运算关系确定A的表达式，再通过因式分解和约分化简分式，代入数值计算时要注意运算准确性，避免因因式分解错误或约分失误失分。
【难度系数】
0.8
