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19.(8分)为了解某校七年级男生的耐力情况,某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的1000m跑成绩,将所得数据进行整理,分成$A(3'30''≤x＜3'35'')$,$B(3'35''≤x＜3'40'')$,$C(3'40''≤x＜3'45'')$,$D(3'45''≤x＜3'50'')$,$E(3'50''≤x＜3'55'')$五组,并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)。
抽取的男生1000m跑成绩频数表
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$
(2)补全频数分布直方图。
(3)若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1000m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数。
抽取的男生1000m跑成绩频数表
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$
0.05
,$b=$24
,$c=$0.4
。(2)补全频数分布直方图。
(3)若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1000m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数。
答案
19.(1)0.05 24 0.4
(2)补全频数分布直方图如图。
(3)$800×(0.05+0.1+0.2)=280$(人)。答:估计1000m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数为280人。
解析
【分析】
解题时，先通过各组频数计算抽取的总人数，再根据“频率=频数÷总数”的关系求出a、b、c的值；补全直方图需根据D组的对应频数绘制；最后利用样本中成绩在指定范围内的频率，结合总人数估计总体中符合条件的人数。
【解析】
(1) 计算抽取的总人数：$3 + 6 + 12 + 24 + 15 = 60$（人）
A组频率$a = \frac{频数}{总人数} = \frac{3}{60} = 0.05$
各组频率和为1，已知B组频率为0.1，C组频率为$\frac{12}{60}=0.2$，E组频率为$\frac{15}{60}=0.25$，因此D组频率$c = 1 - 0.05 - 0.1 - 0.2 - 0.25 = 0.4$，则D组频数$b = 60×0.4 = 24$
(2) 补全频数分布直方图：D组对应频数为24，绘制高度为24的矩形即可。
(3) 成绩在$3'45''$内的是A、B、C组，频率和为$0.05 + 0.1 + 0.2 = 0.35$，该校七年级有800名男生，估计人数为$800×0.35 = 280$（人）
【答案】
(1) $0.05$，$24$，$0.4$；
(2) 补全频数分布直方图如图。；
(3) 280人。
【知识点】
频数分布直方图、频率计算、用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图与频数表，考查频率、频数、总数的关系及用样本估计总体的方法，属于基础应用题型，需准确计算各组数据。
【难度系数】
0.3
解题时，先通过各组频数计算抽取的总人数，再根据“频率=频数÷总数”的关系求出a、b、c的值；补全直方图需根据D组的对应频数绘制；最后利用样本中成绩在指定范围内的频率，结合总人数估计总体中符合条件的人数。
【解析】
(1) 计算抽取的总人数：$3 + 6 + 12 + 24 + 15 = 60$（人）
A组频率$a = \frac{频数}{总人数} = \frac{3}{60} = 0.05$
各组频率和为1，已知B组频率为0.1，C组频率为$\frac{12}{60}=0.2$，E组频率为$\frac{15}{60}=0.25$，因此D组频率$c = 1 - 0.05 - 0.1 - 0.2 - 0.25 = 0.4$，则D组频数$b = 60×0.4 = 24$
(2) 补全频数分布直方图：D组对应频数为24，绘制高度为24的矩形即可。
(3) 成绩在$3'45''$内的是A、B、C组，频率和为$0.05 + 0.1 + 0.2 = 0.35$，该校七年级有800名男生，估计人数为$800×0.35 = 280$（人）
【答案】
(1) $0.05$，$24$，$0.4$；
(2) 补全频数分布直方图如图。
；(3) 280人。
【知识点】
频数分布直方图、频率计算、用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图与频数表，考查频率、频数、总数的关系及用样本估计总体的方法，属于基础应用题型，需准确计算各组数据。
【难度系数】
0.3
20.(8分)如图,已知直线$l$与直线$AB$,$CD$分别交于点$E$,$F$,$EG⊥ CD$于点$G$,$∠ 1$与$∠ 2$互余。
(1)判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由。
(2)若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数。
(1)判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由。
(2)若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数。
答案
20.(1)$AB// CD$,理由如下:因为$EG⊥ CD$,所以$∠ 2+∠ EFG=90°$,因为$∠ 1$与$∠ 2$互余,所以$∠ 1+∠ 2=90°$,所以$∠ 1=∠ EFG$,所以$AB// CD$。
(2)因为$∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1=3∠ 2$,所以$∠ 1=67.5°$,因为$AB// CD$,所以$∠ EFD=∠ 1=67.5°$,所以$∠ 3=180°-∠ EFD=112.5°$。
(2)因为$∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1=3∠ 2$,所以$∠ 1=67.5°$,因为$AB// CD$,所以$∠ EFD=∠ 1=67.5°$,所以$∠ 3=180°-∠ EFD=112.5°$。
解析
【分析】
要判断AB与CD的位置关系，可结合垂直的定义、互余的性质找到同位角相等，进而利用平行线判定得出结论；求∠3的度数时，先根据∠1与∠2的关系算出∠1，再利用平行线的性质得到∠EFD，最后结合邻补角的关系求出∠3。
【解析】
(1) $AB// CD$，理由如下：
因为$EG⊥CD$（已知），根据垂直的定义，得$∠ EGF=90°$，即$∠ 2 + ∠ EFG=90°$。
又因为$∠ 1$与$∠ 2$互余（已知），根据互余的定义，得$∠ 1 + ∠ 2=90°$。
所以$∠ 1=∠ EFG$（同角的余角相等），根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 因为$∠ 1$与$∠ 2$互余，所以$∠ 1 + ∠ 2=90°$，又$∠ 1=3∠ 2$，代入得：
$3∠ 2 + ∠ 2=90°$，解得$∠ 2=22.5°$，则$∠ 1=3×22.5°=67.5°$。
由(1)知$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ EFD=∠ 1=67.5°$。
因为$∠ 3$与$∠ EFD$是邻补角，所以$∠ 3 + ∠ EFD=180°$，因此$∠ 3=180° -67.5°=112.5°$。
【答案】
(1) $AB// CD$；(2) $∠ 3=112.5°$
【知识点】平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义、余角与补角
【点评】本题结合垂直、互余的基础概念，考查平行线的判定与性质，需理清角的关系，属于常规几何题，难度适中。
【难度系数】0.6
要判断AB与CD的位置关系，可结合垂直的定义、互余的性质找到同位角相等，进而利用平行线判定得出结论；求∠3的度数时，先根据∠1与∠2的关系算出∠1，再利用平行线的性质得到∠EFD，最后结合邻补角的关系求出∠3。
【解析】
(1) $AB// CD$，理由如下：
因为$EG⊥CD$（已知），根据垂直的定义，得$∠ EGF=90°$，即$∠ 2 + ∠ EFG=90°$。
又因为$∠ 1$与$∠ 2$互余（已知），根据互余的定义，得$∠ 1 + ∠ 2=90°$。
所以$∠ 1=∠ EFG$（同角的余角相等），根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2) 因为$∠ 1$与$∠ 2$互余，所以$∠ 1 + ∠ 2=90°$，又$∠ 1=3∠ 2$，代入得：
$3∠ 2 + ∠ 2=90°$，解得$∠ 2=22.5°$，则$∠ 1=3×22.5°=67.5°$。
由(1)知$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ EFD=∠ 1=67.5°$。
因为$∠ 3$与$∠ EFD$是邻补角，所以$∠ 3 + ∠ EFD=180°$，因此$∠ 3=180° -67.5°=112.5°$。
【答案】
(1) $AB// CD$；(2) $∠ 3=112.5°$
【知识点】平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义、余角与补角
【点评】本题结合垂直、互余的基础概念，考查平行线的判定与性质，需理清角的关系，属于常规几何题，难度适中。
【难度系数】0.6
21.(8分)定义关于*的一种运算:$a*b=a^b+ab(a≠0,b是整数)$,
例如:$(-1)*3=(-1)^3+(-1)×3=-1-3=-4$。
(1)求$(-4)*2$的值。
(2)若$a*2=1$,求$a*(-1)$的值。
例如:$(-1)*3=(-1)^3+(-1)×3=-1-3=-4$。
(1)求$(-4)*2$的值。
(2)若$a*2=1$,求$a*(-1)$的值。
答案
21.(1)$(-4)*2=(-4)^2+(-4)×2=16-8=8$。
(2)因为$a*2=1$,$a≠0$,所以$a^2+2a=1$,所以$1-a^2=2a$,所以$a*(-1)=a^{-1}+a×(-1)=\dfrac{1}{a}-a=\dfrac{1-a^2}{a}=\dfrac{2a}{a}=2$。
(2)因为$a*2=1$,$a≠0$,所以$a^2+2a=1$,所以$1-a^2=2a$,所以$a*(-1)=a^{-1}+a×(-1)=\dfrac{1}{a}-a=\dfrac{1-a^2}{a}=\dfrac{2a}{a}=2$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，需先明确运算规则：$a*b=a^b+ab$（$a≠0$，$b$为整数）。第(1)问直接将对应数值代入规则计算即可；第(2)问先根据$a*2=1$求出$a^2+2a=1$，再按规则展开$a*(-1)$，通过整体代入思想简化计算，注意$a≠0$的条件。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=-4$，$b=2$代入$a*b=a^b+ab$：
$(-4)*2=(-4)^2 + (-4)×2 = 16 - 8 = 8$
(2) 由$a*2=1$，结合规则得：
$a^2 + 2a = 1 \quad (a≠0)$
计算$a*(-1)$，按规则展开：
$a*(-1)=a^{-1} + a×(-1) = \frac{1}{a} - a$
通分变形：
$\frac{1}{a} - a = \frac{1 - a^2}{a}$
由$a^2 + 2a =1$得$1 - a^2 = 2a$，代入上式：
$\frac{1 - a^2}{a} = \frac{2a}{a} = 2 \quad (a≠0，可约去a)$
【答案】
(1) $8$；(2) $2$
【知识点】
新定义运算、代数式求值、有理数的乘方
【点评】
本题为新定义运算基础题，核心是准确运用给定规则。第(1)问直接代入计算，难度低；第(2)问需结合已知条件变形，整体代入简化计算，注意$a≠0$的隐含条件，整体代入是解题关键技巧。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算类题目，需先明确运算规则：$a*b=a^b+ab$（$a≠0$，$b$为整数）。第(1)问直接将对应数值代入规则计算即可；第(2)问先根据$a*2=1$求出$a^2+2a=1$，再按规则展开$a*(-1)$，通过整体代入思想简化计算，注意$a≠0$的条件。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=-4$，$b=2$代入$a*b=a^b+ab$：
$(-4)*2=(-4)^2 + (-4)×2 = 16 - 8 = 8$
(2) 由$a*2=1$，结合规则得：
$a^2 + 2a = 1 \quad (a≠0)$
计算$a*(-1)$，按规则展开：
$a*(-1)=a^{-1} + a×(-1) = \frac{1}{a} - a$
通分变形：
$\frac{1}{a} - a = \frac{1 - a^2}{a}$
由$a^2 + 2a =1$得$1 - a^2 = 2a$，代入上式：
$\frac{1 - a^2}{a} = \frac{2a}{a} = 2 \quad (a≠0，可约去a)$
【答案】
(1) $8$；(2) $2$
【知识点】
新定义运算、代数式求值、有理数的乘方
【点评】
本题为新定义运算基础题，核心是准确运用给定规则。第(1)问直接代入计算，难度低；第(2)问需结合已知条件变形，整体代入简化计算，注意$a≠0$的隐含条件，整体代入是解题关键技巧。
【难度系数】
0.6
