22.(10分)综合与实践
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光,但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去,从而起到提醒汽车驾驶员的目的。这一效果正是利用了角反射器的原理。最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的。
【数学探究】
如图,入射光线DE经过两次反射后,得到光线FG,已知∠AED=∠BEF,∠EFB=∠GFC。
(1)如图1,AB,BC是两个互相垂直的平面镜,∠ABC=90°,
①若∠AED=70°,求∠GFC的度数;
②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行,并说明理由。
(2)如图2,改变镜子位置,设平面镜AB,BC的夹角∠ABC=α(α＜90°),∠AED=β,90°＜α+β＜180°,求∠DEF+∠EFG的值(用含有α或β的代数式表示)。

22.(1)①因为$∠ AED=70°$,所以$∠ BEF=∠ AED=70°$,因为$∠ ABC=90°$,所以$∠ BFE=180°-∠ ABC-∠ BEF=20°$,所以$∠ GFC=∠ BFE=20°$;
②$DE// FG$,理由如下:因为$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$,$∠ 2+∠ 3=90°$,所以$∠ 1+∠ 4=90°$,所以$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$,所以$∠ DEF+∠ EFG=180°$,所以$DE// FG$。
(2) 因为$∠ AED=∠ BEF=β$,所以$∠ DEF=180°-∠ AED-∠ BEF=180°-2β$,因为$∠ ABC=α$,所以$∠ EFB=∠ GFC=180°-α-β$,所以$∠ EFG=180°-∠ EFB-∠ GFC=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°$,所以$∠ DEF+∠ EFG=(180°-2β)+(2α+2β-180°)=2α$,即$∠ DEF+∠ EFG$的值为$2α$。

【分析】本题是结合实际应用的几何角度问题，核心利用平面镜反射的性质（入射角等于反射角，即题目给出的∠AED=∠BEF，∠EFB=∠GFC），结合三角形内角和定理、平行线的判定定理（同旁内角互补，两直线平行）以及角度的和差运算求解。对于(1)①，先由反射性质得到∠BEF，再在直角三角形BEF中计算∠BFE，最后利用反射相等得∠GFC；(1)②通过推导同旁内角∠DEF与∠EFG的和为180°，判定两直线平行；(2)问则用α、β分别表示∠DEF和∠EFG，再求和得到结果。
【解析】
(1)① 已知∠AED=70°，根据反射性质得∠BEF=∠AED=70°。
因为AB⊥BC，所以∠ABC=90°，在△BEF中，∠BFE=180°−∠ABC−∠BEF=180°−90°−70°=20°。
又因为∠EFB=∠GFC，所以∠GFC=∠BFE=20°。
② DE//FG，理由如下：
由反射性质得∠1=∠2，∠3=∠4。
因为∠ABC=90°，所以在△BEF中，∠2+∠3=90°，则∠1+∠4=90°。
因此∠DEF=180°−∠1−∠2，∠EFG=180°−∠3−∠4，所以∠DEF+∠EFG=(180°−∠1−∠2)+(180°−∠3−∠4)=360°−(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°−(90°+90°)=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得DE//FG。
(2) 已知∠AED=β，由反射性质得∠BEF=∠AED=β，所以∠DEF=180°−∠AED−∠BEF=180°−2β。
在△BEF中，∠ABC=α，所以∠EFB=180°−∠ABC−∠BEF=180°−α−β，又因为∠EFB=∠GFC，所以∠EFG=180°−∠EFB−∠GFC=180°−2(180°−α−β)=2α+2β−180°。
因此∠DEF+∠EFG=(180°−2β)+(2α+2β−180°)=2α。
【答案】
(1)① ∠GFC的度数为20°；
② DE//FG，理由见解析；
(2) ∠DEF+∠EFG的值为2α。


【知识点】平行线的判定、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】本题结合角反射器的实际场景，考查几何中角度运算与平行线的判定，需灵活运用反射的等角性质，结合三角形内角和推导，是初中几何典型综合题，注重逻辑推理能力考查。
【难度系数】0.6

23.(10分)为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
(1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。
(2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如图。
设学校计划购买$a$个羽毛球拍，$b$个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额(用含$a,b$的代数式表示)；
②若付款金额相等，求$a,b$满足的数量关系。

23.(1)设羽毛球拍的销售单价是$x$元,乒乓球拍的销售单价是$y$元。根据题意得$\begin{cases} 2x+3y=195, \\3x+2y=230, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60, \\y=25 \end{cases}$答:羽毛球拍的销售单价是60元,乒乓球拍的销售单价是25元。
(2)①根据题意,得参加甲商场促销活动的付款金额为$60×0.8a+25×0.8b=(48a+20b)$元;参加乙商场促销活动的付款金额为$60×15+60×0.6(a-15)+25×15+25×0.6(b-15)=(36a+15b+510)$元;
②根据题意,得$48a+20b=36a+15b+510$,整理得$12a+5b=510$,所以$a,b$满足的数量关系为$12a+5b=510$。

【分析】
第(1)问，已知两种购买组合的总价，设羽毛球拍和乒乓球拍单价为未知数，根据“2个羽毛球拍+3个乒乓球拍=195元”“3个羽毛球拍+2个乒乓球拍=230元”列二元一次方程组，求解即可得到单价。
第(2)问①，甲商场所有球拍八折，即单价×0.8，分别计算a个羽毛球拍和b个乒乓球拍的费用相加；乙商场每款球拍15个以内原价，超过部分六折，因a、b都大于15，所以羽毛球拍费用为15个原价+（a-15）个六折，乒乓球拍同理，两者相加得乙商场总付款。
第(2)问②，令甲、乙商场的付款金额相等，通过移项、合并同类项整理，得到a、b的数量关系。
【解析】
(1)设羽毛球拍的销售单价是$x$元，乒乓球拍的销售单价是$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 195 \\3x + 2y = 230\end{cases}$
解方程组：
将第一个方程乘3，得$6x + 9y = 585$；
第二个方程乘2，得$6x + 4y = 460$；
两式相减得$5y = 125$，解得$y = 25$；
把$y=25$代入$2x + 3×25 =195$，得$2x =120$，解得$x=60$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=60 \\y=25\end{cases}$。
(2)①甲商场所有球拍八折，付款金额为：
$60×0.8a +25×0.8b = (48a +20b)$元；
乙商场每款球拍超过15个的部分六折，因$a＞15$，$b＞15$，付款金额为：
$60×15 +60×0.6(a-15) +25×15 +25×0.6(b-15)$
$=900 +36(a-15) +375 +15(b-15)$
$=36a +15b +510$元。
②令甲、乙商场付款金额相等，得：
$48a +20b =36a +15b +510$
移项合并同类项得：$12a +5b =510$。
【答案】
(1)羽毛球拍单价60元，乒乓球拍单价25元；
(2)①甲商场付款$(48a+20b)$元，乙商场付款$(36a+15b+510)$元；②$12a+5b=510$。
【知识点】
二元一次方程组应用，代数式表示，等式性质
【点评】
本题结合促销场景考查数学应用能力，第(1)问是二元一次方程组基础应用，第(2)问需准确理解分段折扣规则，通过代数式表示费用并整理等式，整体难度适中，是初中数学常规题型。
【难度系数】
0.6