1. (2025·苏州一模)$-2\ 025$的绝对值是().

A.$-2\ 025$
B.$2\ 025$
C.$-\dfrac{1}{2\ 025}$
D.$\dfrac{1}{2\ 025}$

1.B

【分析】首先明确绝对值的核心性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0。本题中需判断-2025的绝对值，先确定-2025是负数，再根据负数绝对值的性质计算即可。
【解析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数。因为-2025是负数，所以|-2025|=2025，对应选项B。
【答案】B
【知识点】绝对值的性质
【点评】本题考查绝对值的基础概念，属于简单的概念应用题目，只要牢记绝对值的性质就能快速得出答案，是初中数学的基础考点。
【难度系数】0.9

2. 有理数 $a$ 的绝对值是$\dfrac{5}{4}$,则 $a$ 的值是().

A.$\dfrac{5}{4}$
B.$-\dfrac{5}{4}$
C.$\pm\dfrac{4}{5}$
D.$\pm\dfrac{5}{4}$

2.D

【分析】要确定有理数$a$的值，需依据绝对值的定义：一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离，若正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。已知$|a|=\dfrac{5}{4}$，说明$a$到原点的距离为$\dfrac{5}{4}$，满足该条件的数有两个，分别是正的$\dfrac{5}{4}$和负的$\dfrac{5}{4}$，据此可选出正确选项。
【解析】根据绝对值的性质：若$|x|=m$（$m＞0$），则$x=\pm m$。本题中$|a|=\dfrac{5}{4}$，因此$a=\pm\dfrac{5}{4}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】绝对值的定义，有理数的绝对值
【点评】本题考查绝对值的基本概念，属于基础题，只要牢记绝对值的性质，避免漏解负数的情况，即可快速得出答案。
【难度系数】0.9

3. 教材P23例T2·变式 $-3$ 的符号是,绝对值是.

3. - 3

1

4. (河南新乡原阳南街中学自主招生)设 $x$ 是有理数，$y=|x-1|+|x+1|$，则下面四个结论中正确的是().

A.$y$ 没有最小值
B.只有一个 $x$ 的值使 $y$ 取最小值
C.有有限个(不止一个)$x$ 的值使 $y$ 取最小值
D.有无数个 $x$ 的值使 $y$ 取最小值

4.D [解析]$|x-1|+|x+1|$在数轴上表示为$x$对应的点到$-1$和1分别对应的点的距离之和.
则当$-1≤ x≤ 1$时，$y$有最小值为2.
素养考向 本题主要考查利用绝对值的性质求式子的最值问题，也考查了学生对于分类讨论数学思想的掌握情况，注意按未知数的取值分情况讨论.

【分析】
本题考查绝对值的几何意义，解题思路是先将代数式$y=|x-1|+|x+1|$转化为数轴上的距离问题，明确其表示$x$对应的点到$1$和$-1$对应点的距离之和，再分情况讨论$x$的取值范围，确定距离和的最小值及对应$x$的取值情况，进而判断各选项的正确性。
【解析】
根据绝对值的几何意义，$|a-b|$表示数轴上数$a$与数$b$对应点之间的距离，因此：
$y = |x - 1| + |x + 1| = |x - 1| + |x - (-1)|$，其几何意义是数轴上有理数$x$对应的点到$1$对应的点、$-1$对应的点的距离之和。
分三种情况讨论$x$的取值范围：
① 当$x ＜ -1$时，距离和为$(1 - x) + (-1 - x) = -2x$，由于$x ＜ -1$，故$-2x ＞ 2$；
② 当$-1 ≤ x ≤ 1$时，距离和为$(1 - x) + (x + 1) = 2$，此时距离和恒为$2$，是$y$的最小值；
③ 当$x ＞ 1$时，距离和为$(x - 1) + (x + 1) = 2x$，由于$x ＞ 1$，故$2x ＞ 2$；
综上，$y$的最小值为$2$，且当$-1 ≤ x ≤ 1$时，所有$x$都能使$y$取最小值，即有无数个$x$的值满足条件，故正确选项为$D$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的几何意义、代数式的最值
【点评】
本题利用绝对值的几何意义将代数问题转化为几何距离问题，简化了最值的分析过程，体现了数形结合的数学思想，要求学生掌握绝对值的几何含义，能通过分类讨论确定不同区间内的代数式取值，是绝对值相关的经典题型。
【难度系数】
0.5

5. 如图,$M,N,P,R$分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且$MN=NP=$$PR=1$. 数$a$对应的点$A$在$M$与$N$之间,数$b$对应的点$B$在$P$与$R$之间,若$|a|+|b|=3$,则原点是.(在$M,N,P,R$中选)

精题详解

5.M或R

【分析】首先根据数轴上MN=NP=PR=1，得出M到R的总距离为3。数a在M与N之间，数b在P与R之间，需分情况假设原点为M、N、P、R，分别分析|a|+|b|的取值范围，判断是否能等于3，进而确定原点的位置。
【解析】由MN=NP=PR=1，可得MR=MN+NP+PR=3。
1. 若原点是M：则M=0，N=1，P=2，R=3，此时a∈(0,1)，b∈(2,3)，故|a|+|b|=a+b，取值范围是(2,4)，存在a+b=3的可能，符合条件；
2. 若原点是R：则R=0，P=-1，N=-2，M=-3，此时a∈(-3,-2)，b∈(-1,0)，故|a|+|b|=-a + (-b)，取值范围是(2,4)，存在和为3的可能，符合条件；
3. 若原点是N：则N=0，M=-1，P=1，R=2，此时a∈(-1,0)，b∈(1,2)，|a|+|b|=-a + b，取值范围是(1,3)，最大值小于3，不符合；
4. 若原点是P：则P=0，N=-1，R=1，M=-2，此时a∈(-2,-1)，b∈(0,1)，|a|+|b|=-a + b，取值范围是(1,3)，最大值小于3，不符合；
综上，原点只能是M或R。
【答案】M或R
【知识点】数轴、绝对值
【点评】本题结合数轴与绝对值的性质，通过分析不同原点下绝对值和的取值范围确定原点，考查了数轴上点的位置关系及绝对值的意义，需要具备逻辑分析能力。
【难度系数】0.4

6. 写出下列各数的绝对值：
$3,-7,-2.1,\frac{2}{3},-\frac{5}{11},0,20.$

6. 3的绝对值是3，$-7$的绝对值是7，$-2.1$的绝对值是2.1，$\frac{2}{3}$的绝对值是$\frac{2}{3}$，$-\frac{5}{11}$的绝对值是$\frac{5}{11}$，0的绝对值是0，20的绝对值是20.

【分析】首先回忆绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。然后逐个判断每个数的类型（正数、负数、0），再根据对应规则计算各数的绝对值即可。
【解析】根据绝对值的定义逐一计算：
1. 3是正数，因此$|3|=3$；
2. $-7$是负数，因此$|-7|=-(-7)=7$；
3. $-2.1$是负数，因此$|-2.1|=-(-2.1)=2.1$；
4. $\frac{2}{3}$是正数，因此$|\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$；
5. $-\frac{5}{11}$是负数，因此$|-\frac{5}{11}|=-(-\frac{5}{11})=\frac{5}{11}$；
6. 0的绝对值是0，即$|0|=0$；
7. 20是正数，因此$|20|=20$。
【答案】3的绝对值是3，$-7$的绝对值是7，$-2.1$的绝对值是2.1，$\frac{2}{3}$的绝对值是$\frac{2}{3}$，$-\frac{5}{11}$的绝对值是$\frac{5}{11}$，0的绝对值是0，20的绝对值是20.
【知识点】绝对值的概念，有理数的绝对值计算
【点评】本题考查绝对值的基础定义，属于有理数章节的入门题型，只要牢记绝对值的规则就能正确解答，是必须掌握的核心基础知识点。
【难度系数】0.9

7. 先阅读，后探究相关的问题.
$|5-2|$表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；$|5-(-2)|$表示5与$-2$的差的绝对值，也可理解为5与$-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离，也可以记为$|5+2|$.
(1)如图，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点C表示的数为，B，C两点间的距离是；
(2)数轴上表示$x$和$-1$的两点A和B之间的距离表示为；如果$|AB|=3$，那么$x$为；
(3)若点A表示的整数为$x$，则当$x$为时，$|x+4|$与$|x-2|$的值相等；
(4)要使$|x+5|+|x-2|$取最小值时，求相应的$x$的取值范围.

精题详解

7.(1)1 3.5
(2)$|x-(-1)|$ -4或2 [解析]数轴上表示$x$和$-1$的两点A和B之间的距离表示为$|x-(-1)|$，如果$|AB|=3$，那么$x$为$-4$或2.
(3)-1 [解析]若点A表示的整数为$x$，则当$x$为$-1$时，$|x+4|$与$|x-2|$的值相等.
(4)$|x+5|+|x-2|$表示为$x$对应的点到$-5$和2对应点的距离和，则当$-5≤ x≤ 2$时，$|x+5|+|x-2|$取最小值.
知识拓展 本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点距离相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点.

【分析】
本题围绕数轴与绝对值的几何意义展开，核心是利用“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”这一性质解题。先明确各点在数轴上的位置，再结合距离公式、绝对值的几何含义逐步推导：
1. 第(1)问：点A在2.5，向左移动即数值减小，计算移动后的点C，再用距离公式算B、C间距；
2. 第(2)问：直接套用数轴两点距离公式，再解绝对值方程得x的值；
3. 第(3)问：绝对值相等表示点到两定点距离相等，对应两定点的中点，计算得整数解；
4. 第(4)问：两个绝对值的和表示点到两定点的距离和，根据数轴性质，距离和最小的点在两定点的线段上，确定x的范围。
【解析】
(1) 点A表示的数为2.5，向左移动1.5个单位，点C表示的数为：$2.5 - 1.5 = 1$；
B点表示-2.5，B、C两点间的距离为：$|1 - (-2.5)| = 3.5$。
(2) 数轴上表示$x$和$-1$的两点距离，根据距离公式为$|x - (-1)| = |x + 1|$；
若$|AB| = 3$，则$|x + 1| = 3$，解得$x + 1 = 3$或$x + 1 = -3$，即$x = 2$或$x = -4$。
(3) $|x + 4| = |x - (-4)|$表示点$x$到$-4$的距离，$|x - 2|$表示点$x$到$2$的距离，两者相等时，$x$是$-4$和$2$的中点，即$x = \frac{-4 + 2}{2} = -1$（整数，符合要求）。
(4) $|x + 5| + |x - 2|$表示点$x$到$-5$和$2$对应点的距离和，根据数轴性质：当点$x$在$-5$和$2$之间（包含端点）时，距离和最小，故$x$的取值范围是$-5 ≤ x ≤ 2$。
【答案】
(1) $1$，$3.5$；(2) $|x + 1|$，$-4$或$2$；(3) $-1$；(4) $-5 ≤ x ≤ 2$
【知识点】
数轴上两点距离、绝对值的几何意义、解绝对值方程
【点评】
本题是绝对值与数轴结合的基础题型，核心考查绝对值的几何含义，通过数轴直观理解距离问题，解题关键是掌握“距离=两数差的绝对值”，适合巩固绝对值的基础应用。
【难度系数】
0.3