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23. (7分)如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在CD,AD,BC上,FG⊥BE,垂足为O.
(1)求证:BE = FG;
(2)若O是BE的中点,且BC = 8,EC = 3,则AF的长为
(1)求证:BE = FG;
(2)若O是BE的中点,且BC = 8,EC = 3,则AF的长为
$\dfrac{25}{16}$
.答案
23. 【点拨】本题考查正方形的性质及性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质及勾股定理.
【解析】(1)证明:如题图,过点 A 作$AM// FG$交 BE 于点 N,交 BC 于点 M.
∵ $FG⊥BE$,$\therefore ∠FOB=90°$.
∵ $AM// FG$,$\therefore ∠ANB=∠FOB=90°$,$\therefore ∠ABN+∠BAM=90°$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AD// BC$,$AB=BC$,$∠ABC=∠C=90°$,$\therefore ∠ABN+∠CBE=90°$,$\therefore ∠BAM=∠CBE$. 在$△ABM$和$△BCE$中,$\begin{cases} ∠ABM=∠C, \\ AB=BC, \\ ∠BAM=∠CBE, \end{cases}$$\therefore △ABM≌△BCE(\mathrm{ASA})$,$\therefore AM=BE$.
∵ $AF// MG$,$AM// FG$,$\therefore$ 四边形 AMGF 为平行四边形,$\therefore AM=FG$,$\therefore BE=FG$.
(2)如题图,连接 BF,EF.
∵ $FG⊥BE$,O 是 BE 的中点,$\therefore BF=EF$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB=AD=CD=BC=8$.
∵ $EC=3$,$\therefore DE=CD-EC=8-3=5$. 设$AF=x$,则$DF=AD-AF=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ABF$中,$BF^2=AB^2+AF^2=64+x^2$. 在$\mathrm{Rt}△DEF$中,$EF^2=DF^2+DE^2=(8-x)^2+25$.
∵ $BF=EF$,$\therefore BF^2=EF^2$,$\therefore 64+x^2=(8-x)^2+25$,解得$x=\dfrac{25}{16}$,$\therefore AF=\dfrac{25}{16}$. 故答案为$\dfrac{25}{16}$.
【解析】(1)证明:如题图,过点 A 作$AM// FG$交 BE 于点 N,交 BC 于点 M.
∵ $FG⊥BE$,$\therefore ∠FOB=90°$.
∵ $AM// FG$,$\therefore ∠ANB=∠FOB=90°$,$\therefore ∠ABN+∠BAM=90°$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AD// BC$,$AB=BC$,$∠ABC=∠C=90°$,$\therefore ∠ABN+∠CBE=90°$,$\therefore ∠BAM=∠CBE$. 在$△ABM$和$△BCE$中,$\begin{cases} ∠ABM=∠C, \\ AB=BC, \\ ∠BAM=∠CBE, \end{cases}$$\therefore △ABM≌△BCE(\mathrm{ASA})$,$\therefore AM=BE$.
∵ $AF// MG$,$AM// FG$,$\therefore$ 四边形 AMGF 为平行四边形,$\therefore AM=FG$,$\therefore BE=FG$.
(2)如题图,连接 BF,EF.
∵ $FG⊥BE$,O 是 BE 的中点,$\therefore BF=EF$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB=AD=CD=BC=8$.
∵ $EC=3$,$\therefore DE=CD-EC=8-3=5$. 设$AF=x$,则$DF=AD-AF=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ABF$中,$BF^2=AB^2+AF^2=64+x^2$. 在$\mathrm{Rt}△DEF$中,$EF^2=DF^2+DE^2=(8-x)^2+25$.
∵ $BF=EF$,$\therefore BF^2=EF^2$,$\therefore 64+x^2=(8-x)^2+25$,解得$x=\dfrac{25}{16}$,$\therefore AF=\dfrac{25}{16}$. 故答案为$\dfrac{25}{16}$.
解析
【分析】
第(1)问要证明BE=FG，可通过构造平行四边形结合全等三角形转化线段：过A作AM//FG，利用FG⊥BE得AM⊥BE，结合正方形的角和边的性质，证明△ABM≌△BCE，得到AM=BE；再由AF//MG、AM//FG推出四边形AMGF是平行四边形，得AM=FG，从而证得BE=FG。第(2)问，由O是BE中点且FG⊥BE，可知FG是BE的垂直平分线，故BF=EF；设AF=x，利用正方形边长为8，分别在Rt△ABF和Rt△DEF中用勾股定理表示BF²和EF²，根据BF=EF列方程求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 证明：过点A作AM//FG交BE于点N，交BC于点M。
∵ FG⊥BE，
∴ ∠FOB=90°。
∵ AM//FG，
∴ ∠ANB=∠FOB=90°，
∴ ∠ABN + ∠BAM=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴ ∠ABN + ∠CBE=90°，
∴ ∠BAM=∠CBE。
在△ABM和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABM=∠C \\AB=BC \\∠BAM=∠CBE\end{array} $
∴ △ABM≌△BCE（ASA），
∴ AM=BE。
∵ AF//MG，AM//FG，
∴ 四边形AMGF为平行四边形，
∴ AM=FG，
∴ BE=FG。
(2) 连接BF，EF。
∵ O是BE的中点，且FG⊥BE，
∴ FG是BE的垂直平分线，
∴ BF=EF。
∵ 四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴ AB=AD=CD=8，EC=3，
∴ DE=CD - EC=5。
设AF=x，则DF=AD - AF=8 - x。
在Rt△ABF中，BF²=AB² + AF²=64 + x²；
在Rt△DEF中，EF²=DF² + DE²=(8 - x)² + 25。
∵ BF=EF，
∴ BF²=EF²，即64 + x²=(8 - x)² + 25，
解得x=$\frac{25}{16}$，故AF=$\frac{25}{16}$。
【答案】
$\frac{25}{16}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质及勾股定理，通过构造辅助线转化线段关系，结合方程思想求解，需要学生具备几何推理和代数运算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明BE=FG，可通过构造平行四边形结合全等三角形转化线段：过A作AM//FG，利用FG⊥BE得AM⊥BE，结合正方形的角和边的性质，证明△ABM≌△BCE，得到AM=BE；再由AF//MG、AM//FG推出四边形AMGF是平行四边形，得AM=FG，从而证得BE=FG。第(2)问，由O是BE中点且FG⊥BE，可知FG是BE的垂直平分线，故BF=EF；设AF=x，利用正方形边长为8，分别在Rt△ABF和Rt△DEF中用勾股定理表示BF²和EF²，根据BF=EF列方程求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 证明：过点A作AM//FG交BE于点N，交BC于点M。
∵ FG⊥BE，
∴ ∠FOB=90°。
∵ AM//FG，
∴ ∠ANB=∠FOB=90°，
∴ ∠ABN + ∠BAM=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴ ∠ABN + ∠CBE=90°，
∴ ∠BAM=∠CBE。
在△ABM和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABM=∠C \\AB=BC \\∠BAM=∠CBE\end{array} $
∴ △ABM≌△BCE（ASA），
∴ AM=BE。
∵ AF//MG，AM//FG，
∴ 四边形AMGF为平行四边形，
∴ AM=FG，
∴ BE=FG。
(2) 连接BF，EF。
∵ O是BE的中点，且FG⊥BE，
∴ FG是BE的垂直平分线，
∴ BF=EF。
∵ 四边形ABCD是正方形，BC=8，
∴ AB=AD=CD=8，EC=3，
∴ DE=CD - EC=5。
设AF=x，则DF=AD - AF=8 - x。
在Rt△ABF中，BF²=AB² + AF²=64 + x²；
在Rt△DEF中，EF²=DF² + DE²=(8 - x)² + 25。
∵ BF=EF，
∴ BF²=EF²，即64 + x²=(8 - x)² + 25，
解得x=$\frac{25}{16}$，故AF=$\frac{25}{16}$。
【答案】
$\frac{25}{16}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质及勾股定理，通过构造辅助线转化线段关系，结合方程思想求解，需要学生具备几何推理和代数运算能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
24. (7分)如图,在$△ ABC$中,$AE$平分$∠ BAC$,$BE ⊥ AE$于点$E$,$F$是$BC$的中点.
(1)如图1,$BE$的延长线与$AC$边相交于点$D$,求证:$EF=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$;
(2)如图2,探究线段$AB$,$AC$,$EF$之间的数量关系,直接写出你的结论:________.
(1)如图1,$BE$的延长线与$AC$边相交于点$D$,求证:$EF=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$;
(2)如图2,探究线段$AB$,$AC$,$EF$之间的数量关系,直接写出你的结论:________.
答案
24. 【点拨】本题考查角平分线的定义,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理及等腰三角形的性质.
【解析】(1)证明:
∵ AE 平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAE=∠DAE$.
∵ $BE⊥AE$,$\therefore ∠BEA=∠DEA=90°$. 在$△AEB$和$△AED$中,$\begin{cases} ∠BEA=∠DEA, \\ AE=AE, \\ ∠BAE=∠DAE, \end{cases}$$\therefore △AEB≌△AED(\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=DE$,$AB=AD$.
∵ 点 F 是 BC 的中点,$\therefore BF=CF$,$\therefore EF$ 是$△BCD$的中位线,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AC-AD)=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.
(2)如题图 2,延长 AC,BE 交于点 P.
∵ $AE⊥BE$,$\therefore ∠AEP=∠AEB=90°$.
∴ $∠BAE+∠ABE=90°$,$∠PAE+∠P=90°$.
∵ AE 平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAE=∠PAE$,$\therefore ∠ABE=∠P$,$\therefore AB=AP$.
∵ $AE⊥BP$,$\therefore$ 点 E 是 BP 的中点.
∵ 点 F 是 BC 的中点,$\therefore EF$ 是$△BCP$的中位线,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}CP=\dfrac{1}{2}(AP-AC)=\dfrac{1}{2}(AB-AC)$. 故答案为$EF=\dfrac{1}{2}(AB-AC)$.
【解析】(1)证明:
∵ AE 平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAE=∠DAE$.
∵ $BE⊥AE$,$\therefore ∠BEA=∠DEA=90°$. 在$△AEB$和$△AED$中,$\begin{cases} ∠BEA=∠DEA, \\ AE=AE, \\ ∠BAE=∠DAE, \end{cases}$$\therefore △AEB≌△AED(\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=DE$,$AB=AD$.
∵ 点 F 是 BC 的中点,$\therefore BF=CF$,$\therefore EF$ 是$△BCD$的中位线,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AC-AD)=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.
(2)如题图 2,延长 AC,BE 交于点 P.
∵ $AE⊥BE$,$\therefore ∠AEP=∠AEB=90°$.
∴ $∠BAE+∠ABE=90°$,$∠PAE+∠P=90°$.
∵ AE 平分$∠BAC$,$\therefore ∠BAE=∠PAE$,$\therefore ∠ABE=∠P$,$\therefore AB=AP$.
∵ $AE⊥BP$,$\therefore$ 点 E 是 BP 的中点.
∵ 点 F 是 BC 的中点,$\therefore EF$ 是$△BCP$的中位线,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}CP=\dfrac{1}{2}(AP-AC)=\dfrac{1}{2}(AB-AC)$. 故答案为$EF=\dfrac{1}{2}(AB-AC)$.
解析
【分析】
第(1)问要证明$EF=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$，需结合中点条件用三角形中位线定理，因此先通过角平分线和垂直条件构造全等三角形，得到$E$是$BD$中点、$AB=AD$，再利用$F$是$BC$中点，推导$EF$是$△ BCD$的中位线，进而转化线段关系；第(2)问类似，延长$BE$与$AC$延长线交于点$P$，构造全等三角形得到$E$是$BP$中点，再结合$F$是$BC$中点，用中位线定理推导线段关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠DAE$。
∵ $BE⊥AE$，
∴ $∠BEA=∠DEA=90°$。
在$△ AEB$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠BEA=∠DEA \\AE=AE \\∠BAE=∠DAE\end{cases}$
∴ $△ AEB≌△ AED(\mathrm{ASA})$，
∴ $BE=DE$，$AB=AD$。
∵ $F$是$BC$的中点，
∴ $BF=CF$，
∴ $EF$是$△ BCD$的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AC - AD)=\dfrac{1}{2}(AC - AB)$。
(2) 解：延长$AC$，$BE$交于点$P$。
∵ $AE⊥BE$，
∴ $∠AEP=∠AEB=90°$，
∴ $∠BAE + ∠ABE=90°$，$∠PAE + ∠P=90°$。
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠PAE$，
∴ $∠ABE=∠P$，
∴ $AB=AP$。
∵ $AE⊥BP$，
∴ $E$是$BP$的中点。
∵ $F$是$BC$的中点，
∴ $EF$是$△ BCP$的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}CP=\dfrac{1}{2}(AP - AC)=\dfrac{1}{2}(AB - AC)$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EF=\dfrac{1}{2}(AB - AC)$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查角平分线、全等三角形、三角形中位线的应用，通过构造全等三角形得到中点是解题关键，需掌握此类辅助线的构造方法，属于几何中等难度题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明$EF=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$，需结合中点条件用三角形中位线定理，因此先通过角平分线和垂直条件构造全等三角形，得到$E$是$BD$中点、$AB=AD$，再利用$F$是$BC$中点，推导$EF$是$△ BCD$的中位线，进而转化线段关系；第(2)问类似，延长$BE$与$AC$延长线交于点$P$，构造全等三角形得到$E$是$BP$中点，再结合$F$是$BC$中点，用中位线定理推导线段关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠DAE$。
∵ $BE⊥AE$，
∴ $∠BEA=∠DEA=90°$。
在$△ AEB$和$△ AED$中，
$\begin{cases}∠BEA=∠DEA \\AE=AE \\∠BAE=∠DAE\end{cases}$
∴ $△ AEB≌△ AED(\mathrm{ASA})$，
∴ $BE=DE$，$AB=AD$。
∵ $F$是$BC$的中点，
∴ $BF=CF$，
∴ $EF$是$△ BCD$的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AC - AD)=\dfrac{1}{2}(AC - AB)$。
(2) 解：延长$AC$，$BE$交于点$P$。
∵ $AE⊥BE$，
∴ $∠AEP=∠AEB=90°$，
∴ $∠BAE + ∠ABE=90°$，$∠PAE + ∠P=90°$。
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠PAE$，
∴ $∠ABE=∠P$，
∴ $AB=AP$。
∵ $AE⊥BP$，
∴ $E$是$BP$的中点。
∵ $F$是$BC$的中点，
∴ $EF$是$△ BCP$的中位线，
∴ $EF=\dfrac{1}{2}CP=\dfrac{1}{2}(AP - AC)=\dfrac{1}{2}(AB - AC)$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EF=\dfrac{1}{2}(AB - AC)$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查角平分线、全等三角形、三角形中位线的应用，通过构造全等三角形得到中点是解题关键，需掌握此类辅助线的构造方法，属于几何中等难度题型。
【难度系数】
0.5
25. (8分)市教育局想知道某校学生对传统文化的了解程度,该校随机抽取了部分学生进行问卷调查,问卷有以下四个选项:A.十分了解;B.了解较多;C.了解较少;D.不了解(要求:每名被调查的学生必选且只能选择一项).现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次被抽取的学生共有
(2)请补全条形统计图;
(3)扇形统计图中的选项“C.了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小是多少?
(4)该校共有2 000名学生,请你根据上述调查结果估计该校对于传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名?
(1)本次被抽取的学生共有
100
名;$m=$40
;(2)请补全条形统计图;
(3)扇形统计图中的选项“C.了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小是多少?
(4)该校共有2 000名学生,请你根据上述调查结果估计该校对于传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名?
答案
25. 【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图.
【解析】(1)本次被抽取的学生共$30÷30\%=100$(名),
∵ $\dfrac{40}{100}×100\%=40\%$,$\therefore m=40$. 故答案为 100,40.
(2)$100-40-30-10=20$(名),补全条形统计图,如图所示.
(3)扇形统计图中的选项“C. 了解较少”部分所占扇形的圆心角为$360°×30\%=108°$.
(4)估计该校对于传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有:$2\ 000×\dfrac{40+20}{100}=1\ 200$(名).
答:估计该校对于传统文化“十分了解”和“了解较多”的学生共有 1 200 名.
解析
【分析】
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：首先利用已知的C选项人数及其占比求出总抽取学生数；再根据B选项人数计算其百分比得到m；接着求出A选项人数补全条形统计图；然后利用C的占比计算对应扇形圆心角；最后用样本中A、B的占比估计总体中对应学生数。
【解析】
(1) 由扇形图可知C选项占比为30%，条形图显示C选项有30人，因此本次被抽取的学生总数为：$30 ÷ 30\% = 100$（名）；
B选项有40人，故$m\% = \frac{40}{100} × 100\% = 40\%$，即$m=40$。
(2) A选项人数为：$100 - 40 - 30 - 10 = 20$（名），据此补全条形统计图（A对应人数为20）。
(3) “C.了解较少”部分的扇形圆心角为：$360° × 30\% = 108°$。
(4) 样本中“十分了解”（A）和“了解较多”（B）的人数和为$20 + 40 = 60$名，占比为$\frac{60}{100}$，因此该校2000名学生中对应人数为：$2000 × \frac{60}{100} = 1200$（名）。
【答案】
(1) 100，40；
(2) 补全的条形统计图：A对应人数为20；
(3) $108°$；
(4) 1200名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题为统计基础题，结合两种统计图的信息进行数据计算，考查学生对统计图表的理解与应用能力，步骤清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：首先利用已知的C选项人数及其占比求出总抽取学生数；再根据B选项人数计算其百分比得到m；接着求出A选项人数补全条形统计图；然后利用C的占比计算对应扇形圆心角；最后用样本中A、B的占比估计总体中对应学生数。
【解析】
(1) 由扇形图可知C选项占比为30%，条形图显示C选项有30人，因此本次被抽取的学生总数为：$30 ÷ 30\% = 100$（名）；
B选项有40人，故$m\% = \frac{40}{100} × 100\% = 40\%$，即$m=40$。
(2) A选项人数为：$100 - 40 - 30 - 10 = 20$（名），据此补全条形统计图（A对应人数为20）。
(3) “C.了解较少”部分的扇形圆心角为：$360° × 30\% = 108°$。
(4) 样本中“十分了解”（A）和“了解较多”（B）的人数和为$20 + 40 = 60$名，占比为$\frac{60}{100}$，因此该校2000名学生中对应人数为：$2000 × \frac{60}{100} = 1200$（名）。
【答案】
(1) 100，40；
(2) 补全的条形统计图：A对应人数为20；
(3) $108°$；
(4) 1200名。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题为统计基础题，结合两种统计图的信息进行数据计算，考查学生对统计图表的理解与应用能力，步骤清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
