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20. (7分)如图,E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)若四边形ABCD是矩形,且其面积是7 $\mathrm{cm}^2$,则四边形EFGH的面积是________ $\mathrm{cm}^2$.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)若四边形ABCD是矩形,且其面积是7 $\mathrm{cm}^2$,则四边形EFGH的面积是________ $\mathrm{cm}^2$.
答案
20. 【点拨】本题考查平行四边形的判定,矩形的性质,三角形中位线定理.
【解析】(1)证明:如题图,连接 BD.
∵ E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边的中点,$\therefore EF$ 是$△ABD$的中位线,$GH$ 是$△BCD$的中位线,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}BD$,$EF// BD$,$GH=\dfrac{1}{2}BD$,$GH// BD$,$\therefore EF=GH$,$EF// GH$,$\therefore$ 四边形 EFGH 是平行四边形.
(2)如图,连接 FH,EG.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AB=CD$,$AD=BC$,$∠A=∠B=∠C=∠D=90°$.
∵ E,F,G,H 是四边形 ABCD 各边的中点,$\therefore DH=AF=CH=BF$,$\therefore$ 四边形 AFHD 和四边形 BCHF 都是矩形,$\therefore AD=HF=BC$,$DC=EG=AB$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}EFGH}=\dfrac{1}{2}EG·HF=\dfrac{1}{2}AB·BC$.
∵ 四边形 ABCD 的面积是$7\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore$ 四边形 EFGH 的面积是$\dfrac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$. 故答案为$\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，分两小问逐步思考：第(1)问需证明四边形EFGH是平行四边形，可利用平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，结合三角形中位线定理，通过连接对角线推导线段关系；第(2)问在矩形条件下求中点四边形面积，需结合矩形性质和中点四边形的面积计算规律，建立与原矩形面积的联系。
【解析】
(1) 证明：连接BD。
∵ E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$EF=\dfrac{1}{2}BD$，$EF// BD$；
$GH=\dfrac{1}{2}BD$，$GH// BD$；
∴ $EF=GH$，且$EF// GH$，
根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴ 四边形EFGH是平行四边形。
(2) 解：连接EG、FH。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=BC$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵ E、F、G、H是各边中点，
∴ $DH=AF=CH=BF$，
∴ 四边形AFHD、BCHF均为矩形，
∴ $AD=HF$，$DC=EG$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}EFGH}=\dfrac{1}{2}× EG× HF=\dfrac{1}{2}× AB× BC$，
∵ 矩形ABCD的面积$=AB× BC=7\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}EFGH}=\dfrac{1}{2}×7=\dfrac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】$\dfrac{7}{2}$
【知识点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的性质
【点评】本题综合考查三角形中位线定理、平行四边形判定及矩形性质，核心是利用中点构造中位线推导线段关系，进而解决中点四边形的面积问题，属于基础几何综合题，需掌握中点四边形的相关性质。
【难度系数】0.5
要解决本题，分两小问逐步思考：第(1)问需证明四边形EFGH是平行四边形，可利用平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，结合三角形中位线定理，通过连接对角线推导线段关系；第(2)问在矩形条件下求中点四边形面积，需结合矩形性质和中点四边形的面积计算规律，建立与原矩形面积的联系。
【解析】
(1) 证明：连接BD。
∵ E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$EF=\dfrac{1}{2}BD$，$EF// BD$；
$GH=\dfrac{1}{2}BD$，$GH// BD$；
∴ $EF=GH$，且$EF// GH$，
根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴ 四边形EFGH是平行四边形。
(2) 解：连接EG、FH。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=BC$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
∵ E、F、G、H是各边中点，
∴ $DH=AF=CH=BF$，
∴ 四边形AFHD、BCHF均为矩形，
∴ $AD=HF$，$DC=EG$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}EFGH}=\dfrac{1}{2}× EG× HF=\dfrac{1}{2}× AB× BC$，
∵ 矩形ABCD的面积$=AB× BC=7\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}EFGH}=\dfrac{1}{2}×7=\dfrac{7}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】$\dfrac{7}{2}$
【知识点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的性质
【点评】本题综合考查三角形中位线定理、平行四边形判定及矩形性质，核心是利用中点构造中位线推导线段关系，进而解决中点四边形的面积问题，属于基础几何综合题，需掌握中点四边形的相关性质。
【难度系数】0.5
21. (7分)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,且$△ ABE ≌ △ ADF$.
(1)若$AD // BC$,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)以下条件:①$∠ BAD = ∠ BCD$;②$AB = CD$;③$BC = CD$.如果用其中的一个替换(1)中的“$AD // BC$”,也可以证明四边形ABCD是菱形,那么可以选择的条件是________. (填写满足要求的所有条件的序号)
(1)若$AD // BC$,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)以下条件:①$∠ BAD = ∠ BCD$;②$AB = CD$;③$BC = CD$.如果用其中的一个替换(1)中的“$AD // BC$”,也可以证明四边形ABCD是菱形,那么可以选择的条件是________. (填写满足要求的所有条件的序号)
答案
21. 【点拨】本题考查全等三角形的性质,平行四边形的判定及菱形的判定.
【解析】(1)证明:
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠B=∠D$,$AB=AD$.
∵ $AD// BC$,$\therefore ∠C+∠D=180°$,$\therefore ∠C+∠B=180°$,$\therefore AB// CD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ $AB=AD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形.
(2)选择①$∠BAD=∠BCD$.
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠B=∠D$,$AB=AD$. 由$∠BAD=∠BCD$,易得四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ $AB=AD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形;
选择②$AB=CD$. 如题图,连接 BD,
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠ABE=∠ADF$,$AB=AD$,$\therefore ∠ABD=∠ADB$,$\therefore ∠CBD=∠CDB$,$\therefore BC=CD$.
∵ $AB=CD$,$\therefore AB=AD=CD=BC$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形. 故答案为①②.
【解析】(1)证明:
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠B=∠D$,$AB=AD$.
∵ $AD// BC$,$\therefore ∠C+∠D=180°$,$\therefore ∠C+∠B=180°$,$\therefore AB// CD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ $AB=AD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形.
(2)选择①$∠BAD=∠BCD$.
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠B=∠D$,$AB=AD$. 由$∠BAD=∠BCD$,易得四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ $AB=AD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形;
选择②$AB=CD$. 如题图,连接 BD,
∵ $△ABE≌△ADF$,$\therefore ∠ABE=∠ADF$,$AB=AD$,$\therefore ∠ABD=∠ADB$,$\therefore ∠CBD=∠CDB$,$\therefore BC=CD$.
∵ $AB=CD$,$\therefore AB=AD=CD=BC$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形. 故答案为①②.
解析
【分析】
第(1)问利用全等三角形的性质得到AB=AD、∠B=∠D，结合AD//BC推出AB//CD，先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明；第(2)问需逐个分析替换条件，结合全等性质和四边形判定定理，判断哪个条件能推出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB=AD得到菱形。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABE≌△ADF，
∴ AB=AD，∠B=∠D。
∵ AD//BC，
∴ ∠C + ∠D = 180°，
∴ ∠C + ∠B = 180°，
∴ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2)分析各条件：
① 若替换为∠BAD=∠BCD：
∵ △ABE≌△ADF，
∴ ∠B=∠D，AB=AD。
四边形内角和为360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，代入∠BAD=∠BCD、∠B=∠D得2∠BAD + 2∠B=360°，故∠BAD+∠B=180°，推出AD//BC，同理AB//CD，四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AD，得菱形，符合要求。
② 若替换为AB=CD：
连接BD，
∵ △ABE≌△ADF，
∴ AB=AD，∠ABE=∠ADF，
∴ ∠ABD=∠ADB，
∴ ∠CBD=∠CDB，故BC=CD。
又AB=CD，所以AB=AD=CD=BC，四边相等，四边形ABCD是菱形，符合要求。
③ 若替换为BC=CD：
仅能得到AB=AD、BC=CD，无法推出平行四边形或四边相等，不能判定菱形，不符合。
故可选择的条件是①②。
【答案】
①②
【知识点】
全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题综合考查全等三角形的性质及特殊四边形的判定，需熟练掌握相关定理，通过逻辑推导分析各条件的适用性，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
第(1)问利用全等三角形的性质得到AB=AD、∠B=∠D，结合AD//BC推出AB//CD，先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明；第(2)问需逐个分析替换条件，结合全等性质和四边形判定定理，判断哪个条件能推出四边形ABCD是平行四边形，再结合AB=AD得到菱形。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABE≌△ADF，
∴ AB=AD，∠B=∠D。
∵ AD//BC，
∴ ∠C + ∠D = 180°，
∴ ∠C + ∠B = 180°，
∴ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2)分析各条件：
① 若替换为∠BAD=∠BCD：
∵ △ABE≌△ADF，
∴ ∠B=∠D，AB=AD。
四边形内角和为360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°，代入∠BAD=∠BCD、∠B=∠D得2∠BAD + 2∠B=360°，故∠BAD+∠B=180°，推出AD//BC，同理AB//CD，四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AD，得菱形，符合要求。
② 若替换为AB=CD：
连接BD，
∵ △ABE≌△ADF，
∴ AB=AD，∠ABE=∠ADF，
∴ ∠ABD=∠ADB，
∴ ∠CBD=∠CDB，故BC=CD。
又AB=CD，所以AB=AD=CD=BC，四边相等，四边形ABCD是菱形，符合要求。
③ 若替换为BC=CD：
仅能得到AB=AD、BC=CD，无法推出平行四边形或四边相等，不能判定菱形，不符合。
故可选择的条件是①②。
【答案】
①②
【知识点】
全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题综合考查全等三角形的性质及特殊四边形的判定，需熟练掌握相关定理，通过逻辑推导分析各条件的适用性，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
22. (7 分)如图,矩形 EFGH 的顶点 E,G 分别在菱形 ABCD 的边 AD,BC 上,顶点 F,H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上.
(1)求证:$BG=DE$;
(2)若 E 为 AD 的中点,$AB=5$,则 FH 的长为________.
(1)求证:$BG=DE$;
(2)若 E 为 AD 的中点,$AB=5$,则 FH 的长为________.
答案
22. 【点拨】本题考查矩形的性质,菱形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质.
【解析】(1)证明:
∵ 四边形 EFGH 是矩形,$\therefore EH=GF$,$EH// FG$,$\therefore ∠GFH=∠EHF$.
∵ $∠BFG+∠GFH=180°$,$∠DHE+∠EHF=180°$,$\therefore ∠BFG=∠DHE$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠GBF=∠EDH$. 在$△BGF$和$△DEH$中,$\begin{cases} ∠GBF=∠EDH, \\ ∠BFG=∠DHE, \\ GF=EH, \end{cases}$$\therefore △BGF≌△DEH(\mathrm{AAS})$,$\therefore BG=DE$.
(2)如题图,连接 EG,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD=BC$,$AD// BC$.
∵ E 为 AD 的中点,$\therefore AE=DE$.
∵ $BG=DE$,$\therefore AE=BG$. 又
∵ $AE// BG$,$\therefore$ 四边形 ABGE 是平行四边形,$\therefore EG=AB=5$.
∵ 四边形 EFGH 是矩形,$\therefore FH=EG=5$. 故答案为 5.
【解析】(1)证明:
∵ 四边形 EFGH 是矩形,$\therefore EH=GF$,$EH// FG$,$\therefore ∠GFH=∠EHF$.
∵ $∠BFG+∠GFH=180°$,$∠DHE+∠EHF=180°$,$\therefore ∠BFG=∠DHE$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠GBF=∠EDH$. 在$△BGF$和$△DEH$中,$\begin{cases} ∠GBF=∠EDH, \\ ∠BFG=∠DHE, \\ GF=EH, \end{cases}$$\therefore △BGF≌△DEH(\mathrm{AAS})$,$\therefore BG=DE$.
(2)如题图,连接 EG,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$\therefore AD=BC$,$AD// BC$.
∵ E 为 AD 的中点,$\therefore AE=DE$.
∵ $BG=DE$,$\therefore AE=BG$. 又
∵ $AE// BG$,$\therefore$ 四边形 ABGE 是平行四边形,$\therefore EG=AB=5$.
∵ 四边形 EFGH 是矩形,$\therefore FH=EG=5$. 故答案为 5.
解析
【分析】
第(1)问要证明BG=DE，可通过证明三角形全等实现：由矩形EFGH的性质得对边相等且平行，推出角相等；由菱形ABCD的性质得对边平行，推出内错角相等，结合矩形对边相等，用AAS证△BGF≌△DEH，即可得BG=DE。第(2)问，已知E为AD中点，结合(1)中BG=DE，得AE=BG且AE//BG，推出四边形ABGE是平行四边形，得EG=AB；再利用矩形对角线相等，得FH=EG，从而求出FH的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ EH=GF，EH//GF，
∴ ∠GFH=∠EHF。
∵ ∠BFG + ∠GFH = 180°，∠DHE + ∠EHF = 180°，
∴ ∠BFG = ∠DHE。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC，
∴ ∠GBF = ∠EDH。
在△BGF和△DEH中，
$\{\begin{array}{l}∠GBF = ∠EDH, \\∠BFG = ∠DHE, \\GF = EH,\end{array} $
∴ △BGF ≌ △DEH（AAS），
∴ BG = DE。
(2) 解：连接EG，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = BC，AD//BC，
∵ E为AD的中点，
∴ AE = DE，
由(1)知BG = DE，
∴ AE = BG，又AE//BG，
∴ 四边形ABGE是平行四边形，
∴ EG = AB = 5。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ FH = EG = 5。
【答案】5
【知识点】矩形与菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】本题是几何综合题，综合考查矩形、菱形的性质，以及全等三角形、平行四边形的相关知识，解题需熟练运用各图形性质逐步推导，逻辑要求清晰，属于中等难度题目。
【难度系数】0.5
第(1)问要证明BG=DE，可通过证明三角形全等实现：由矩形EFGH的性质得对边相等且平行，推出角相等；由菱形ABCD的性质得对边平行，推出内错角相等，结合矩形对边相等，用AAS证△BGF≌△DEH，即可得BG=DE。第(2)问，已知E为AD中点，结合(1)中BG=DE，得AE=BG且AE//BG，推出四边形ABGE是平行四边形，得EG=AB；再利用矩形对角线相等，得FH=EG，从而求出FH的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ EH=GF，EH//GF，
∴ ∠GFH=∠EHF。
∵ ∠BFG + ∠GFH = 180°，∠DHE + ∠EHF = 180°，
∴ ∠BFG = ∠DHE。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC，
∴ ∠GBF = ∠EDH。
在△BGF和△DEH中，
$\{\begin{array}{l}∠GBF = ∠EDH, \\∠BFG = ∠DHE, \\GF = EH,\end{array} $
∴ △BGF ≌ △DEH（AAS），
∴ BG = DE。
(2) 解：连接EG，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = BC，AD//BC，
∵ E为AD的中点，
∴ AE = DE，
由(1)知BG = DE，
∴ AE = BG，又AE//BG，
∴ 四边形ABGE是平行四边形，
∴ EG = AB = 5。
∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ FH = EG = 5。
【答案】5
【知识点】矩形与菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】本题是几何综合题，综合考查矩形、菱形的性质，以及全等三角形、平行四边形的相关知识，解题需熟练运用各图形性质逐步推导，逻辑要求清晰，属于中等难度题目。
【难度系数】0.5
