26. (8分)如图1,正方形ABCD中,E是对角线AC上任意一点,过点E作$EF ⊥ AC$,垂足为E,交BC所在直线于点F. 探索AF与DE之间的数量关系,并说明理由.
小明在解决这一问题之前,先进行特殊思考:如图2,当E是对角线AC的中点时,他发现AF与DE之间的数量关系是________.若点E在其他位置时,这个结论是否都成立呢?小明继续探究,他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG,将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中,如图3,过点D作$DG // AF$交BC的延长线于点G,连接EG,这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系.
(1)请你按照小明的思路,完成解题过程;
(2)你能用与小明不同的方法来解决这个问题吗?请写出解题过程.

26. 【点拨】本题考查正方形的性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平移的性质及勾股定理.
【解析】(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,E 是对角线 AC 的中点,$\therefore AC=BD$,$AE=BE=CE=DE$. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AB^2=AE^2+BE^2=2DE^2$,$\therefore AB=\sqrt{2}DE$.
∵ 点 B 与点 F 重合,$\therefore AF=\sqrt{2}DE$. 故答案为$AF=\sqrt{2}DE$. 若点 E 在其他位置时,这个结论成立.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore ∠ABC=∠BCD=90°$,$AB=BC=CD=AD$,$AD// BC$.
∵ $DG// AF$,$AD// FG$,$\therefore$ 四边形 AFGD 是平行四边形,$\therefore AF=DG$,$AD=FG$,$\therefore CD=FG$.
∵ $∠ABC=90°$,$AB=BC$,$\therefore ∠ACB=45°$,$\therefore ∠ACD=45°$.
∵ $EF⊥AC$,$\therefore ∠FEC=90°$,$\therefore ∠EFG=∠ECF=45°$,$\therefore EC=EF$. 在$△CDE$和$△FGE$中,$\begin{cases} EC=EF, \\ ∠ECD=∠EFG, \\ CD=FG, \end{cases}$$\therefore △CDE≌△FGE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ED=EG$,$∠CED=∠FEG$,$\therefore ∠DEG=∠FEC=90°$,$\therefore △DEG$是等腰直角三角形,$\therefore DG=\sqrt{DE^2+EG^2}=\sqrt{2DE^2}$,$\therefore DG=\sqrt{2}DE$,$\therefore AF=\sqrt{2}DE$.
(2)如图,过点 D 作$DG⊥DE$,使$DG=DE$,连接 AG,GE.

∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore ∠ADC=90°$,$CD=AD$,$∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°$.
∵ $DG⊥DE$,$DG=DE$,$\therefore △DEG$是等腰直角三角形,$\therefore EG^2=DE^2+DG^2=2DE^2$,$\therefore EG=\sqrt{2}DE$.
∵ $∠ADC=∠GDE=90°$,$\therefore ∠GDA=∠EDC$. 在$△GDA$和$△EDC$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠GDA=∠EDC, \\ DG=DE, \end{cases}$$\therefore △GDA≌△EDC(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠GAD=∠ECD=45°$,$AG=CE$,$\therefore ∠GAE=90°$.
∵ $EF⊥AC$,$\therefore ∠FEC=∠FEA=90°$,$\therefore ∠EFC=∠ECF=45°$,$\therefore EF=CE$,$\therefore EF=AG$.
∵ $∠GAE=∠FEA=90°$,$\therefore EF// AG$,$\therefore$ 四边形 AGEF 为平行四边形,$\therefore AF=EG$,$\therefore AF=\sqrt{2}DE$.

【分析】
本题探究正方形中线段AF与DE的数量关系，先从特殊情况（E为AC中点）入手，利用正方形对角线性质推导初步结论；再推广到一般情况，小明采用平移法构造平行四边形，将AF转化为DG，通过全等三角形和等腰直角三角形性质建立DG与DE的关系，进而得到AF与DE的关系；另一种方法通过构造等腰直角三角形，结合全等、平行四边形性质完成推导，核心是将分散线段转化到同一三角形，利用正方形的角度和边长性质证明全等。
【解析】
(1) 特殊情况（E为AC中点）：
∵ 四边形ABCD是正方形，E是AC中点，
∴ AC=BD，AE=BE=CE=DE，∠ABC=90°，AB=BC，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2DE²，故AB=√2 DE，此时B与F重合，AF=AB，因此AF=√2 DE。
一般情况（小明的平移法）：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD，AD//BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∵ EF⊥AC，
∴ ∠FEC=90°，故∠EFG=∠ECF=45°，得EC=EF，
∵ DG//AF，AD//FG，
∴ 四边形AFGD是平行四边形，因此AF=DG，CD=FG，
在△CDE和△FGE中：
$\{\begin{array}{l} EC=EF \\ ∠ECD=∠EFG \\ CD=FG \end{array} $
∴ △CDE≌△FGE（SAS），得ED=EG，∠CED=∠FEG，
∴ ∠DEG=∠FEC=90°，即△DEG为等腰直角三角形，
∴ DG=√(DE²+EG²)=√2 DE，故AF=DG=√2 DE。
(2) 另一种方法：
过点D作DG⊥DE，使DG=DE，连接AG、GE，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC=90°，CD=AD，∠DAC=∠DCA=45°，
∵ DG⊥DE，DG=DE，
∴ △DEG是等腰直角三角形，EG²=2DE²，即EG=√2 DE，
∵ ∠ADC=∠GDE=90°，
∴ ∠GDA=∠EDC，
在△GDA和△EDC中：
$\{\begin{array}{l} AD=CD \\ ∠GDA=∠EDC \\ DG=DE \end{array} $
∴ △GDA≌△EDC（SAS），得∠GAD=∠ECD=45°，AG=CE，
∴ ∠GAE=∠GAD+∠DAC=90°，
∵ EF⊥AC，
∴ ∠FEC=∠FEA=90°，∠EFC=∠ECF=45°，故EF=CE，
∴ EF=AG，又∠GAE=∠FEA=90°，故EF//AG，
∴ 四边形AGEF是平行四边形，得AF=EG，因此AF=√2 DE。
【答案】AF=√2 DE
【知识点】正方形性质、全等三角形、等腰直角三角形
【点评】本题为正方形背景下的线段关系探究题，通过特殊到一般的思路，结合平移或构造全等三角形实现线段转化，考查几何推理与转化能力，是中考常见的中档几何题。
【难度系数】0.5