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20. (6 分)先化简,再求值:$\dfrac{x-1}{x-2}÷(x+2+\dfrac{3}{x-2})$,从不等式组$\begin{cases} x-2≤0, \\2x≥ -2 \end{cases}$的解集中,选取一个你认为符合题意的整数$x$的值代入求值.
答案
20. 【点拨】本题考查分式的化简求值,分式有意义的条件,不等式组的整数解.
【解析】 $\frac{x-1}{x-2} ÷ (x+2+\frac{3}{x-2})$
$=\frac{x-1}{x-2} ÷ \frac{(x+2)(x-2)+3}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2} ÷ \frac{x^2-1}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2} · \frac{x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x+1}$.
解不等式组$\begin{cases} x-2 ≤ 0, \\ 2x ≥ -2, \end{cases}$得$-1 ≤ x ≤ 2$,
$\therefore$ 不等式组的整数解为$-1,0,1,2$.
$\because x-2 ≠ 0$,$(x+1)(x-1) ≠ 0$,$\therefore x ≠ 2$且$x ≠ \pm 1$,
$\therefore x$只能取0,当$x=0$时,原式$=\frac{1}{0+1}=1$.
【解析】 $\frac{x-1}{x-2} ÷ (x+2+\frac{3}{x-2})$
$=\frac{x-1}{x-2} ÷ \frac{(x+2)(x-2)+3}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2} ÷ \frac{x^2-1}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2} · \frac{x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x+1}$.
解不等式组$\begin{cases} x-2 ≤ 0, \\ 2x ≥ -2, \end{cases}$得$-1 ≤ x ≤ 2$,
$\therefore$ 不等式组的整数解为$-1,0,1,2$.
$\because x-2 ≠ 0$,$(x+1)(x-1) ≠ 0$,$\therefore x ≠ 2$且$x ≠ \pm 1$,
$\therefore x$只能取0,当$x=0$时,原式$=\frac{1}{0+1}=1$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值结合不等式组整数选取的综合题，解题思路如下：第一步，化简分式，先处理括号内的加法，通过通分合并，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式；第二步，解不等式组，确定其整数解；第三步，根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），从整数解中选取符合要求的x值，代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{split}&\dfrac{x-1}{x-2}÷(x+2+\dfrac{3}{x-2})\\=&\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{(x+2)(x-2)+3}{x-2}\\=&\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{x^2-1}{x-2}\\=&\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}\\=&\dfrac{1}{x+1}.\end{split}$
解不等式组$\begin{cases} x-2≤0 \\2x≥ -2 \end{cases}$，得$-1 ≤ x ≤ 2$，其整数解为$-1,0,1,2$。
因为分式有意义，所以$x-2≠0$，$(x+1)(x-1)≠0$，即$x≠2$且$x≠±1$，故选取$x=0$，代入得$\dfrac{1}{0+1}=1$。
【答案】1
【知识点】分式的化简求值、不等式组的整数解、分式有意义的条件
【点评】本题综合考查分式运算与不等式组的应用，核心是分式化简的通分、约分，以及选取x值时需注意分式有意义的限制条件，避免因忽略分母不为0而出错。
【难度系数】0.6
本题是分式化简求值结合不等式组整数选取的综合题，解题思路如下：第一步，化简分式，先处理括号内的加法，通过通分合并，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式；第二步，解不等式组，确定其整数解；第三步，根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0），从整数解中选取符合要求的x值，代入最简式计算结果。
【解析】
$\begin{split}&\dfrac{x-1}{x-2}÷(x+2+\dfrac{3}{x-2})\\=&\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{(x+2)(x-2)+3}{x-2}\\=&\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{x^2-1}{x-2}\\=&\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}\\=&\dfrac{1}{x+1}.\end{split}$
解不等式组$\begin{cases} x-2≤0 \\2x≥ -2 \end{cases}$，得$-1 ≤ x ≤ 2$，其整数解为$-1,0,1,2$。
因为分式有意义，所以$x-2≠0$，$(x+1)(x-1)≠0$，即$x≠2$且$x≠±1$，故选取$x=0$，代入得$\dfrac{1}{0+1}=1$。
【答案】1
【知识点】分式的化简求值、不等式组的整数解、分式有意义的条件
【点评】本题综合考查分式运算与不等式组的应用，核心是分式化简的通分、约分，以及选取x值时需注意分式有意义的限制条件，避免因忽略分母不为0而出错。
【难度系数】0.6
21. (6分)如图,四边形ABCD是矩形,点E,F分别在边AD,BC上,且$BE = DF$.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若$AB = 4$,$AD = 8$,当$AE =$
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若$AB = 4$,$AD = 8$,当$AE =$
3
时,四边形BFDE是菱形.答案
21. 【点拨】本题考查矩形的性质,平行四边形的判定,菱形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore AD // BC$,$AD=BC$,$AB=CD$,$∠ A=∠ C=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BE=DF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,$\therefore AE=CF$,
$\therefore AD-AE=BC-CF$,即$ED=BF$.
又$\because AD // BC$,即$ED // BF$,
$\therefore$ 四边形BFDE是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形BFDE是菱形,$\therefore BE=ED$,
设$AE=x$,则$BE=ED=8-x$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE^2+AB^2=BE^2$,
即$x^2+4^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,
即当$AE=3$时,四边形BFDE是菱形. 故答案为3.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore AD // BC$,$AD=BC$,$AB=CD$,$∠ A=∠ C=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BE=DF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,$\therefore AE=CF$,
$\therefore AD-AE=BC-CF$,即$ED=BF$.
又$\because AD // BC$,即$ED // BF$,
$\therefore$ 四边形BFDE是平行四边形.
(2)$\because$ 四边形BFDE是菱形,$\therefore BE=ED$,
设$AE=x$,则$BE=ED=8-x$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE^2+AB^2=BE^2$,
即$x^2+4^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,
即当$AE=3$时,四边形BFDE是菱形. 故答案为3.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形BFDE是平行四边形，利用矩形的性质得到直角和边相等，通过HL证明直角三角形全等，推导出对边平行且相等，从而判定平行四边形；第(2)问要使平行四边形BFDE为菱形，需邻边相等，结合勾股定理列方程求解AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BE=DF, \\ AB=CD, \end{array} $
∴ Rt△ABE ≌ Rt△CDF（HL），
∴ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF，
又
∵ AD//BC，即 ED//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ BE = ED，
设 AE = x，则 BE = ED = 8 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 + AB^2 = BE^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
化简得：16x = 48，解得 x = 3，
即当 AE = 3 时，四边形BFDE是菱形。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定，第(1)问通过全等三角形推导平行四边形，第(2)问利用菱形邻边相等结合勾股定理列方程求解，是几何中特殊四边形的典型应用，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形BFDE是平行四边形，利用矩形的性质得到直角和边相等，通过HL证明直角三角形全等，推导出对边平行且相等，从而判定平行四边形；第(2)问要使平行四边形BFDE为菱形，需邻边相等，结合勾股定理列方程求解AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C=90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BE=DF, \\ AB=CD, \end{array} $
∴ Rt△ABE ≌ Rt△CDF（HL），
∴ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即 ED = BF，
又
∵ AD//BC，即 ED//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ BE = ED，
设 AE = x，则 BE = ED = 8 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 + AB^2 = BE^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
化简得：16x = 48，解得 x = 3，
即当 AE = 3 时，四边形BFDE是菱形。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定，第(1)问通过全等三角形推导平行四边形，第(2)问利用菱形邻边相等结合勾股定理列方程求解，是几何中特殊四边形的典型应用，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6
22. (6 分)某学校组织八年级同学去距离学校 15 km 的农场,先遣队与大队同时出发,先遣队的速度是大队的速度的 1.2 倍,结果先遣队比大队早 30 min 到达,先遣队和大队的速度各是多少?
答案
22. 【点拨】本题考查分式方程的应用,读懂题意,找出等量关系列出方程是解题的关键.
【解析】设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$,则先遣队的速度是$1.2x\ \mathrm{km/h}$,
依题意得$\frac{15}{x}-\frac{15}{1.2x}=\frac{30}{60}$,解得$x=5$.
经检验,$x=5$是原方程的解,且符合题意,$\therefore 1.2x=6$.
答:先遣队的速度是$6\ \mathrm{km/h}$,大队的速度是$5\ \mathrm{km/h}$.
【解析】设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$,则先遣队的速度是$1.2x\ \mathrm{km/h}$,
依题意得$\frac{15}{x}-\frac{15}{1.2x}=\frac{30}{60}$,解得$x=5$.
经检验,$x=5$是原方程的解,且符合题意,$\therefore 1.2x=6$.
答:先遣队的速度是$6\ \mathrm{km/h}$,大队的速度是$5\ \mathrm{km/h}$.
解析
【分析】
本题是行程问题的分式方程应用题，解题思路如下：
1. 牢记行程基本关系：路程=速度×时间，变形得时间=路程÷速度；
2. 统一单位：题目中时间差为30分钟，需转换为小时（30min=0.5h），保证单位一致；
3. 设未知数：设速度较慢的大队速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$，利用速度倍数关系简化计算；
4. 找等量关系：大队行驶15km的时间减去先遣队行驶15km的时间等于时间差0.5h；
5. 列方程求解后，必须检验分式方程的解是否符合实际意义（速度为正）。
【解析】
设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$。
根据时间差的等量关系，列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.2x} = \frac{30}{60}$
化简方程：
左边通分计算得$\frac{18 - 15}{1.2x} = \frac{3}{1.2x}$，右边为$0.5$，即$\frac{3}{1.2x}=0.5$，解得$x=5$。
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义（速度为正）。
则先遣队的速度为$1.2×5=6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
先遣队的速度是$6\ \mathrm{km/h}$，大队的速度是$5\ \mathrm{km/h}$。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题为初中数学常规的行程类分式方程应用题，核心是利用时间差建立等量关系，需注意单位统一（分钟转小时），且分式方程求解后必须检验解的合理性，难度适中，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题是行程问题的分式方程应用题，解题思路如下：
1. 牢记行程基本关系：路程=速度×时间，变形得时间=路程÷速度；
2. 统一单位：题目中时间差为30分钟，需转换为小时（30min=0.5h），保证单位一致；
3. 设未知数：设速度较慢的大队速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$，利用速度倍数关系简化计算；
4. 找等量关系：大队行驶15km的时间减去先遣队行驶15km的时间等于时间差0.5h；
5. 列方程求解后，必须检验分式方程的解是否符合实际意义（速度为正）。
【解析】
设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$。
根据时间差的等量关系，列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.2x} = \frac{30}{60}$
化简方程：
左边通分计算得$\frac{18 - 15}{1.2x} = \frac{3}{1.2x}$，右边为$0.5$，即$\frac{3}{1.2x}=0.5$，解得$x=5$。
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义（速度为正）。
则先遣队的速度为$1.2×5=6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
先遣队的速度是$6\ \mathrm{km/h}$，大队的速度是$5\ \mathrm{km/h}$。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题为初中数学常规的行程类分式方程应用题，核心是利用时间差建立等量关系，需注意单位统一（分钟转小时），且分式方程求解后必须检验解的合理性，难度适中，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
23.（8分）为增强学生的环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，第一轮每位学生答40道试题.随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A,B,C,D,E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表.根据信息回答问题：
|组别|答题正确个数$x$|人数|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$0≤ x＜8$|10|
|B|$8≤ x＜16$|15|
|C|$16≤ x＜24$|25|
|D|$24≤ x＜32$|m|
|E|$32≤ x≤40$|n|
(1)$m=$
(2)请补全频数分布直方图；
(3)已知该中学共有1 500名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少名？
|组别|答题正确个数$x$|人数|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$0≤ x＜8$|10|
|B|$8≤ x＜16$|15|
|C|$16≤ x＜24$|25|
|D|$24≤ x＜32$|m|
|E|$32≤ x≤40$|n|
(1)$m=$
30
,$n=$20
;(2)请补全频数分布直方图；
(3)已知该中学共有1 500名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少名？
答案
23. 【点拨】本题考查频数分布直方图,扇形统计图和用样本估计总体,从统计图表中获取必要的信息是解题的关键.
【解析】(1)抽取的学生人数为$15 ÷ 15\% = 100$(人),
$m=100 × 30\% = 30$,$n=100 × 20\% = 20$.
故答案为30,20.
(2)补全频数分布直方图如图.
(3)$\frac{30+20}{100} × 1500 = 750$(名).
答:估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有750名.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需从统计图表中获取关键信息：先通过B组的人数和对应占比算出抽取的总人数，再根据各组占比求出m和n；补全直方图只需对应各组人数绘制矩形；最后利用样本中进入第二轮的学生占比，结合总人数估计总体中进入第二轮的人数。
【解析】
(1) 已知B组人数为15，占抽取总人数的15%，因此抽取的总人数为：$15 ÷ 15\% = 100$（人）。
D组人数$m = 100 × 30\% = 30$，E组人数$n = 100 × 20\% = 20$。
(2) 补全频数分布直方图：在直方图中，D组对应高度为30，E组对应高度为20，画出对应矩形即可，补全后的图为：。
(3) 样本中答题正确个数不少于24个的是D、E组，总人数为$30 + 20 = 50$（人），占样本的比例为$\frac{50}{100}$，因此该校进入第二轮的学生估计有：$\frac{50}{100} × 1500 = 750$（名）。
【答案】
(1) 30，20；(2) 补全后的频数分布直方图如图：；(3) 750名
【知识点】
频数分布直方图、用样本估计总体、频数与频率
【点评】
本题考查统计知识的实际应用，核心是从图表中提取有效信息，利用样本估计总体的思想解决问题，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需从统计图表中获取关键信息：先通过B组的人数和对应占比算出抽取的总人数，再根据各组占比求出m和n；补全直方图只需对应各组人数绘制矩形；最后利用样本中进入第二轮的学生占比，结合总人数估计总体中进入第二轮的人数。
【解析】
(1) 已知B组人数为15，占抽取总人数的15%，因此抽取的总人数为：$15 ÷ 15\% = 100$（人）。
D组人数$m = 100 × 30\% = 30$，E组人数$n = 100 × 20\% = 20$。
(2) 补全频数分布直方图：在直方图中，D组对应高度为30，E组对应高度为20，画出对应矩形即可，补全后的图为：
。(3) 样本中答题正确个数不少于24个的是D、E组，总人数为$30 + 20 = 50$（人），占样本的比例为$\frac{50}{100}$，因此该校进入第二轮的学生估计有：$\frac{50}{100} × 1500 = 750$（名）。
【答案】
(1) 30，20；(2) 补全后的频数分布直方图如图：
；(3) 750名【知识点】
频数分布直方图、用样本估计总体、频数与频率
【点评】
本题考查统计知识的实际应用，核心是从图表中提取有效信息，利用样本估计总体的思想解决问题，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
