8. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=6,BC=10$,M,N分别是BC,AD的中点,连接AM,CN.若四边形AMCN为菱形,则$□ ABCD$的面积为().

A.30
B.24
C.48
D.60

8. C 【点拨】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理、直角三角形的判定和三角形面积公式.
【解析】如题图,连接AC.$\because$ 四边形AMCN是菱形,$\therefore AM=CM$.
$\because M$是BC的中点,$\therefore CM=\frac{1}{2}BC$,$\therefore AM=\frac{1}{2}BC$,$\therefore △ ABC$是直角三角形且$∠ BAC=90°$,$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$.
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}=48$. 故选 C.

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形和菱形的性质，先判断△ABC为直角三角形，再用勾股定理求边长，最终计算平行四边形面积。首先，根据菱形性质得AM=CM，结合M是BC中点推出AM=½BC，依据“三角形一边中线等于这边一半则为直角三角形”判定△ABC是直角三角形；再用勾股定理算出AC长度，最后利用平行四边形与三角形的面积关系求出结果。
【解析】
连接AC。
∵ 四边形AMCN是菱形，
∴ AM = CM（菱形的四条边相等）。
∵ M是BC的中点，
∴ CM = ½BC，
∴ AM = ½BC。
在△ABC中，M为BC中点，且AM = ½BC，
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°（若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形）。
由勾股定理得：AC = √(BC² - AB²) = √(10² - 6²) = 8。
∴ S△ABC = ½×AB×AC = ½×6×8 = 24。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ S□ABCD = 2S△ABC = 2×24 = 48。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的性质，结合直角三角形判定与勾股定理求解，需灵活运用几何定理，理清图形间的面积与边长关系，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5

9. 若式子$\dfrac{1}{x+5}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是________.

9. $x ≠ -5$ 【点拨】本题考查分式有意义的条件.
【解析】由题意得$x+5 ≠ 0$,解得$x ≠ -5$. 故答案为$x ≠ -5$.

【分析】首先明确分式有意义的核心条件是分母不为0，因此要使式子$\dfrac{1}{x+5}$在实数范围内有意义，需保证分母$x+5$不等于0，据此解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：$x + 5 ≠ 0$，解得$x ≠ -5$。
【答案】$x ≠ -5$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，难度较低，主要考查学生对分式概念的基础理解。
【难度系数】0.9

10. 一个口袋中装有4个白色球,1个红色球,7个黄色球,摇匀后随机摸出1个球是白色球的概率是.

10. $\frac{1}{3}$ 【点拨】本题考查概率公式.
【解析】$\because$ 口袋中共有球$4+1+7=12$(个),其中白色球有4个,$\therefore$ 摇匀后随机摸出1个球是白色球的概率是$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. 故答案为$\frac{1}{3}$.

【分析】
要计算随机摸出白球的概率，需运用古典概型的概率公式：某事件发生的概率等于该事件对应的结果数除以所有可能的总结果数。解题时先求出口袋中球的总数量，再确定白球的数量，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算口袋中球的总个数：$4 + 1 + 7 = 12$（个）。
根据概率公式，随机摸出1个球是白色球的概率为：$\frac{白色球的个数}{球的总个数} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题，直接运用概率公式即可求解，考查学生对古典概型概率基本概念的掌握，属于易得分题。
【难度系数】
0.7

11. 化简$\dfrac{x^2}{x - 2} - \dfrac{2x}{x - 2}$的结果是________.

11. $x$ 【点拨】本题考查分式的化简,掌握分式的运算法则是解题的关键.
【解析】$\frac{x^2}{x-2}-\frac{2x}{x-2}=\frac{x^2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x$. 故答案为$x$.

【分析】观察原式可知，两个分式是同分母的，根据同分母分式的减法法则，分母不变，将分子相减；再对分子因式分解，提取公因式后与分母约分，即可得到化简结果。
【解析】$\dfrac{x^2}{x - 2} - \dfrac{2x}{x - 2} = \dfrac{x^2 - 2x}{x - 2} = \dfrac{x(x - 2)}{x - 2} = x$
【答案】$x$
【知识点】同分母分式的减法、分式的约分
【点评】本题是分式化简的基础题，考查同分母分式的减法法则，解题关键是掌握分式的基本运算规则，步骤清晰，难度较低。
【难度系数】0.8

12. 若方程$\dfrac{a}{x - 3}=1+\dfrac{3}{x - 3}$有增根,则$a$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.

12. 3 【点拨】本题考查分式方程的增根,解题的关键是要明确:
(1)化分式方程为整式方程;(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
【解析】去分母,得$a=x-3+3$,由分式方程有增根,得到$x-3=0$,即$x=3$,把$x=3$代入整式方程,可得$a=3$. 故答案为3.

【分析】
要解决这个问题，需明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：①先根据原分式方程的分母确定增根；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出字母a的值。
【解析】
解：分式方程$\dfrac{a}{x - 3}=1+\dfrac{3}{x - 3}$的最简公分母为$x-3$，
因为方程有增根，所以增根满足$x-3=0$，即增根$x=3$。
给方程两边同时乘$(x-3)$去分母，得：
$a = (x - 3) + 3$，
化简整式方程得：$a = x$。
将增根$x=3$代入整式方程，得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根的基础题型，核心是理解增根的概念，解题时先确定增根，再转化整式方程代入求解即可，属于易掌握的知识点。
【难度系数】
0.3

13. 若$\sqrt{11}$的值在两个连续整数$a$与$b$之间$(a ＜ b)$，则$a + b =$.

13. 7 【点拨】本题考查估算无理数的大小,熟练应用估算无理数大小的方法进行求解是解题的关键.
【解析】$\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$,$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$,$\therefore a=3$,$b=4$,$\therefore a+b=3+4=7$. 故答案为7.

【分析】要确定$\sqrt{11}$所在的两个连续整数之间，需使用“夹逼法”：找到与11相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质比较大小，从而确定$\sqrt{11}$的范围，进而得到a、b的值，最后计算a+b。
【解析】因为9和16是相邻的完全平方数，且$9＜11＜16$，根据算术平方根的性质可得$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$。又因为$\sqrt{11}$在连续整数a与b之间（$a＜b$），所以$a=3$，$b=4$，因此$a+b=3+4=7$。
【答案】7
【知识点】估算无理数的大小
【点评】本题通过夹逼法估算无理数的范围，属于基础题型，熟练掌握完全平方数与算术平方根的关系即可快速求解。
【难度系数】0.8

14. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,∠ ADC$ 的平分线与边 $AB$ 相交于点 $P,E$ 是 $PD$ 的中点，若 $AD=4,CD=6$，则 $EO$ 的长为 ______。

14. 1 【点拨】本题考查角平分线的定义,平行四边形的性质和三角形中位线定理,推出$AP=AD$是解题的关键.
【解析】$\because DP$平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADP=∠ CDP$.
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore CD // AB$,$AB=CD=6$,$OB=OD$,$\therefore ∠ APD=∠ CDP$,$\therefore ∠ ADP=∠ APD$,$\therefore AP=AD=4$,$\therefore PB=AB-AP=6-4=2$.
$\because E$是PD的中点,$O$是BD的中点,$\therefore OE$是$△ BDP$的中位线,$\therefore OE=\frac{1}{2}PB=1$. 故答案为1.

【分析】
要计算EO的长度，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义以及三角形中位线定理逐步推导：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等腰三角形，求出PB的长度；再根据E、O分别是PD、BD中点，判断EO为三角形中位线，进而求出EO的长。
【解析】
∵ DP平分∠ADC，
∴ ∠ADP=∠CDP。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，OB=OD。
由AB//CD得∠APD=∠CDP，因此∠ADP=∠APD，故AP=AD=4。
则PB=AB - AP=6 - 4=2。
∵ E是PD中点，O是BD中点，
∴ OE是△BDP的中位线。
根据三角形中位线定理，OE=½PB=½×2=1。
【答案】
1
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线及三角形中位线的相关知识，核心是通过角平分线与平行线的关系推导出等腰三角形，再利用中位线定理求解，属于中等难度的几何题，需熟练掌握基础几何定理的应用。
【难度系数】
0.5

15. 若关于$ x $的分式方程$\dfrac{m}{x - 1} = \dfrac{2}{x - 1} + 1$的解为非负数，则$ m $的取值范围是________。

15. $m ≥ 1$且$m ≠ 2$ 【点拨】本题考查解分式方程,注意在任何时候都要考虑分母不为0.
【解析】$\frac{m}{x-1}=\frac{2}{x-1}+1$,方程两边同乘$(x-1)$,得$m=2+x-1$,解得$x=m-1$,由分式方程的解为非负数得$m-1 ≥ 0$且$m-1 ≠ 1$,解得$m ≥ 1$且$m ≠ 2$. 故答案为$m ≥ 1$且$m ≠ 2$.

【分析】
要解决这个问题，需先解分式方程，注意去分母时要给每一项乘最简公分母，同时必须保证分式分母不为0（分式方程的隐含条件）；解出方程的解后，结合“解为非负数”和“分母不为0”两个条件列出关于m的不等式，进而确定m的取值范围。
【解析】
解分式方程$\dfrac{m}{x - 1} = \dfrac{2}{x - 1} + 1$：
1. 去分母：方程两边同乘最简公分母$(x - 1)$，得：
$m = 2 + (x - 1)$
2. 化简求解：整理得$m = x + 1$，解得$x = m - 1$；
3. 确定m的范围：
因方程的解为非负数，故$x ≥ 0$，即$m - 1 ≥ 0$，解得$m ≥ 1$；
又分式方程分母不能为0，故$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$，代入$x = m - 1$得$m - 1 ≠ 1$，解得$m ≠ 2$；
综上，m的取值范围是$m ≥ 1$且$m ≠ 2$。
【答案】
$m ≥ 1$且$m ≠ 2$
【知识点】
分式方程的解，一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程解的性质，核心是解分式方程后需同时满足“解为非负数”和“分母不为0”两个条件，容易忽略分母不为0的隐含限制，解题时需细心审题，避免漏解。
【难度系数】
0.5

16. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC = 12，AE = CF = 3，则四边形BEDF的周长是________.

16. $12\sqrt{5}$ 【点拨】本题考查正方形的性质,菱形的判定和性质,掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键.
【解析】如题图,连接BD交AC于点O.$\because$ 四边形ABCD为正方形,$\therefore OA=OB=OC=OD$,$AC ⊥ BD$,$\therefore BD=AC=12$.
又$\because AE=CF$,$\therefore OE=OF$,$\therefore$ 四边形BEDF为菱形,$EF=AC-AE-CF=6$,$\therefore OB=6$,$OE=3$,$\therefore BE=\sqrt{OB^2+OE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$,$\therefore C_{\mathrm{菱形}BEDF}=4BE=12\sqrt{5}$. 故答案为$12\sqrt{5}$.

【分析】要解决这个问题，首先利用正方形对角线的性质，连接BD交AC于点O，得到对角线互相垂直平分且相等；再结合已知的AE=CF，推导出四边形BEDF的对角线互相垂直平分，判定其为菱形；最后利用勾股定理计算菱形的边长，进而求出周长。
【解析】连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，BD=AC=12，
∴OA=OC=1/2 AC=6。
又
∵AE=CF=3，
∴OE=OA - AE=6 - 3=3，OF=OC - CF=6 - 3=3，
∴OE=OF，结合OB=OD且AC⊥BD，可知四边形BEDF是菱形。
在Rt△BOE中，OB=6，OE=3，
由勾股定理得：BE=√(OB² + OE²)=√(6² + 3²)=√45=3√5，
∴菱形BEDF的周长=4BE=4×3√5=12√5。
【答案】12√5
【知识点】正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题综合考查正方形、菱形的性质及勾股定理的应用，核心是利用正方形对角线的特征判定四边形BEDF为菱形，再通过勾股定理计算边长，解题思路清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.6

17. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的4个红球,6个黑球,现在再放入$m(m＞1)$个黑球并摇匀.若随机摸出一个球是黑球的可能性大小是$\dfrac{4}{5}$,则$m$的值为.

17. 10 【点拨】本题考查概率公式.
【解析】根据题意,得$\frac{6+m}{10+m}=\frac{4}{5}$,解得$m=10$. 故答案为10.

【分析】要解决这个问题，需运用概率公式：随机事件的概率等于该事件发生的可能结果数除以所有可能结果数。首先确定放入$m$个黑球后，黑球的数量和球的总数量，再结合摸出黑球的概率为$\frac{4}{5}$列出方程，解方程并验证$m＞1$的条件即可得到结果。
【解析】放入$m$个黑球后，黑球的数量为$(6+m)$个，球的总数量为$(4+6+m)=10+m$个。根据概率公式，随机摸出黑球的概率为$\frac{6+m}{10+m}$，结合题意列方程：
$\frac{6+m}{10+m}=\frac{4}{5}$
交叉相乘得：$5(6+m)=4(10+m)$
展开计算：$30+5m=40+4m$
移项得：$5m-4m=40-30$
解得：$m=10$
验证：$m=10＞1$，符合题意。
【答案】10
【知识点】概率公式
【点评】本题是概率公式的基础应用题，核心是准确找出变化后的黑球数和总球数，通过列方程求解，步骤清晰，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8

18. 如图,正方形ABCD的边长为4,动点P从B点出发,沿BD方向匀速运动,运动到D点时停止,同时另一个动点Q从D点出发,以与点P相同的速度沿DA方向匀速运动,点P停止运动时点Q也停止运动,连接CP,BQ,则$CP+BQ$的最小值为.

18. $4\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【解析】如图,过点D作$DE ⊥ BD$,且使$DE=BC$,连接EQ,EB.$\because$ 点P,Q分别从点B,D同时出发,运动的速度相同,$\therefore$ 运动路程$DQ=BP$.
$\because$ 四边形ABCD为正方形,且边长为4,$\therefore AB=BC=AD=4$,$∠ A=90°$,$∠ DBC=∠ ADB=45°$.
$\because DE ⊥ BD$,$\therefore ∠ QDE=45°$,$\therefore ∠ QDE=∠ PBC=45°$.
在$△ QDE$和$△ PBC$中,$\begin{cases} DE=BC, \\ ∠ QDE=∠ PBC, \\ DQ=BP, \end{cases}$
$\therefore △ QDE ≌ △ PBC(\mathrm{SAS})$,$\therefore EQ=CP$,$\therefore CP+BQ=EQ+BQ$.
$\because EQ+BQ ≥ BE$,$\therefore$ 当B,Q,E三点共线时,$EQ+BQ$最小,最小值为线段BE的长,即$CP+BQ$的最小值为线段BE的长.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$. 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$DE=BC=4$,$\therefore BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=4\sqrt{3}$,$\therefore CP+BQ$的最小值为$4\sqrt{3}$. 故答案为$4\sqrt{3}$.

【分析】要解决CP+BQ的最小值问题，需利用动点速度相同的条件，结合正方形性质构造全等三角形，将CP转化为EQ，把CP+BQ转化为EQ+BQ，再根据“两点之间线段最短”，找到当B、Q、E三点共线时，和的最小值为线段BE的长度，进而计算BE即可。
【解析】
∵动点P、Q速度相同，运动时间相同，
∴BP=DQ。
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴BC=AD=4，∠PBC=∠ADB=45°。
作DE⊥BD，且DE=BC=4，则∠QDE=∠ADB=45°，
∴∠QDE=∠PBC=45°。
在△QDE和△PBC中：
$\{\begin{array}{l} DE=BC \\ ∠QDE=∠PBC \\ DQ=BP \end{array} $
∴△QDE≌△PBC（SAS），
∴EQ=CP，因此CP+BQ=EQ+BQ。
根据两点之间线段最短，EQ+BQ≥BE，当B、Q、E三点共线时，EQ+BQ取得最小值，最小值为BE的长度。
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
在Rt△BDE中，DE=4，
∴BE=$\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=\sqrt{32+16}=4\sqrt{3}$，即CP+BQ的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、最短路径
【点评】本题通过构造全等三角形实现线段转化，将两条线段和的最小值问题转化为两点间线段最短的问题，核心是辅助线的构造，综合考查了正方形的性质与全等三角形的应用。
【难度系数】0.5

三、解答题(本大题共10小题,共96分.解答应写出过程)
19. (8分)(1)计算:$\sqrt{12} - \sqrt{27} + (\sqrt{3} - 1)^0$; (2)解分式方程:$\frac{2}{x+1} + \frac{1}{2x-3} = 0$.

19. 【点拨】本题考查二次根式的运算,解分式方程.
【解析】(1) $\sqrt{12} - \sqrt{27} + (\sqrt{3} - 1)^0$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+1$
$=-\sqrt{3}+1$.
(2)$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2x-3}=0$,
方程两边同乘$(x+1)(2x-3)$,得$2(2x-3)+x+1=0$,
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x+1)(2x-3) ≠ 0$,
所以原分式方程的解为$x=1$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问是二次根式加减与零指数幂的综合计算，解题思路为：先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，同时依据零指数幂的性质计算常数项；第(2)问是解分式方程，解题思路为：先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再检验解是否使原分式方程的分母不为0，确保解的有效性。
【解析】
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{27} + (\sqrt{3} - 1)^0$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+1$
$=-\sqrt{3}+1$。
(2)$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2x-3}=0$，
方程两边同乘$(x+1)(2x-3)$，得$2(2x-3)+x+1=0$，
展开计算：$4x-6+x+1=0$，
合并同类项得$5x-5=0$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(2x-3)=(1+1)(2×1-3)=2×(-1)=-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=1$。
【答案】
(1) $1 - \sqrt{3}$；(2) $x=1$
【知识点】
二次根式的运算、零指数幂、分式方程的解法
【点评】
本题考查初中数学基础运算与解分式方程的核心步骤，要求学生掌握二次根式化简、零指数幂性质，以及分式方程必须验根的关键要点，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7