24.（9分）(1)比较大小：$\sqrt{2}+1$ $\sqrt{5}$（填“＞”“＜”或“=”），我们发现可以利用数形结合法来解决问题，借助三角形三边关系，在方格纸上构造出以这三个数为三边的三角形，从而得出结论，请利用图1中三角形的三边关系比较大小（设小正方形的边长均为1）；
(2)用(1)中的方法在图2中画图比较大小：$\sqrt{5}+1$ $\sqrt{10}$（填“＞”“＜”或“=”）；
(3)用(1)中的方法在图3中画图比较大小：$\sqrt{13}-\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$（填“＞”“＜”或“=”）。

24. 【点拨】本题考查作图——应用与设计作图,实数的大小比较,二次根式,三角形的三边关系,勾股定理,数形结合的思想的应用是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,由三角形的三边关系可知$\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$. 故答案为$＞$.

(2)如图1,由三角形的三边关系可知$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$. 故答案为$＞$.

(3)如图2,由三角形的三边关系可知$\sqrt{13}-\sqrt{2}＜\sqrt{5}$. 故答案为$＜$.

【分析】本题利用数形结合思想，通过勾股定理构造对应边长的三角形，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）比较二次根式的大小。每一问先确定各二次根式对应的线段长度，再构造三角形，利用三边关系推导大小结论。
【解析】
(1) 对于$\sqrt{2}+1$和$\sqrt{5}$，在图1中构造三角形，三边长度分别为$1$、$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$1+\sqrt{2}＞\sqrt{5}$，故$\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。
(2) 对于$\sqrt{5}+1$和$\sqrt{10}$，在图2中构造三角形，三边长度分别为$1$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。根据三角形三边关系，可得$1+\sqrt{5}＞\sqrt{10}$，故$\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$。
(3) 对于$\sqrt{13}-\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$，构造三角形，三边长度分别为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得$\sqrt{13}-\sqrt{2}＜\sqrt{5}$，故$\sqrt{13}-\sqrt{2}＜\sqrt{5}$。
【答案】(1)＞；(2)＞；(3)＜
【知识点】勾股定理，三角形三边关系，实数大小比较
【点评】本题考查数形结合思想的应用，核心是利用勾股定理计算线段长度，结合三角形三边关系比较二次根式大小，需掌握三角形三边关系的基本性质，正确构造对应三角形是解题关键。
【难度系数】0.5

25. (12分)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$. 设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^2$(其中$a,b,m,n$均为正整数),则有$a + b\sqrt{2} = m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}, \therefore a = m^2 + 2n^2, b = 2mn$,这样可以把部分$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式.
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a = \_\_\_\_\_\_,b = \_\_\_\_\_\_;$
(2)找一组正整数$a,b,m,n$填空:$\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_\sqrt{5} = (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_\sqrt{5})^2;$
(3)化简:$\frac{1}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}}$.

25. 【点拨】本题考查分母有理化,完全平方公式,二次根式的化简.
【解析】(1)$\because a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$,$(m + n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + 3n^2$,
$\therefore a = m^2 + 3n^2$,$b = 2mn$. 故答案为$m^2 + 3n^2$,$2mn$.
(2)设$a + b\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^2$,$\therefore a = m^2 + 5n^2$,$b = 2mn$,
若令$m=1$,$n=2$,则$a=21$,$b=4$.
故答案为21,4,1,2(答案不唯一).
(3) $\frac{1}{\sqrt{16-6\sqrt{7}}}-\frac{1}{\sqrt{11+4\sqrt{7}}}$
$=\frac{1}{\sqrt{(3-\sqrt{7})^2}}-\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}+2)^2}}$
$=\frac{1}{3-\sqrt{7}}-\frac{1}{\sqrt{7}+2}$
$=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}-\frac{\sqrt{7}-2}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}$
$=\frac{3+\sqrt{7}}{2}-\frac{\sqrt{7}-2}{3}$
$=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{\sqrt{7}}{3}$
$=\frac{13}{6}+\frac{\sqrt{7}}{6}$
$=\frac{13+\sqrt{7}}{6}$.

【分析】
本题围绕含根号的式子化为平方式展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用完全平方公式展开$(m+n\sqrt{3})^2$，将展开后的有理部分、无理部分分别与$a+b\sqrt{3}$对应，即可用$m,n$表示$a,b$；
2. 第(2)问：根据第(1)问的结论，选取正整数$m,n$，代入$a=m^2+5n^2$、$b=2mn$计算出$a,b$，即可填空；
3. 第(3)问：先将根号内的式子化为完全平方式，开根号后化简，再通过分母有理化计算分式的差，最终得到结果。
【解析】
(1) 展开$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + 3n^2$，对比$a + b\sqrt{3}$，可得有理部分$a = m^2 + 3n^2$，无理部分系数$b = 2mn$。
(2) 根据(1)的结论，$a=m^2+5n^2$，$b=2mn$，取$m=1,n=2$，则$a=1^2 +5×2^2=21$，$b=2×1×2=4$，故可填$21 + 4\sqrt{5} = (1 + 2\sqrt{5})^2$（答案不唯一）。
(3) 化简：
$\frac{1}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}}$
$=\frac{1}{\sqrt{(3-\sqrt{7})^2}} - \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{7}+2)^2}}$
$=\frac{1}{3-\sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{7}+2}$
$=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} - \frac{\sqrt{7}-2}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}$
$=\frac{3+\sqrt{7}}{2} - \frac{\sqrt{7}-2}{3}$
$=\frac{9 + 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 4}{6}$
$=\frac{13+\sqrt{7}}{6}$
【答案】
(1) $m^2 + 3n^2$，$2mn$；
(2) $21$，$4$，$1$，$2$（答案不唯一）；
(3) $\frac{13+\sqrt{7}}{6}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、分母有理化
【点评】
本题通过类比的方式考查含根号式子的变形，核心是利用完全平方公式建立等式关系，再结合分母有理化进行二次根式的化简，需要学生掌握公式的灵活应用，难度适中。
【难度系数】
0.5