26. (13 分)如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ A = 30°$, $D,E,F$ 分别是 $AC,AB,BC$ 的中点,连接 $ED,EF$.
(1)求证:四边形 $DEFC$ 是矩形;
(2)请用无刻度的直尺在图中作出 $∠ ABC$ 的平分线(保留作图痕迹,不写作法).

26. 【点拨】本题考查三角形中位线定理,矩形的判定和性质,角平分线的定义.
【解析】(1)证明:$\because D,E,F$分别是$AC,AB,BC$的中点,
$\therefore DE // FC$,$EF // CD$,$\therefore$ 四边形DEFC是平行四边形.
$\because ∠ C=90°$,$\therefore$ 平行四边形DEFC是矩形.
(2)如图,连接EC,DF相交于点O,作射线BO,射线BO即为所求.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形DEFC是矩形，思路是先利用三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再结合直角条件判定矩形；第(2)问作∠ABC的平分线，需利用矩形对角线的性质，找到对角线交点后连接对应点得到角平分线。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得 DE//BC，EF//AC，
即 DE//FC，EF//DC，
∴ 四边形DEFC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ ∠C=90°，
∴ 平行四边形DEFC是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 作图：连接EC、DF，两线交于点O，作射线BO，射线BO即为∠ABC的平分线，作图痕迹保留EC、DF、BO即可。
【答案】
(1) 四边形DEFC是矩形，证明如上；
(2) 射线BO为∠ABC的平分线，作图如下：
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，角平分线的作法
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，第(1)问需掌握平行四边形及矩形的判定条件，第(2)问需灵活运用矩形对角线的性质作图，整体难度适中，侧重基础几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

27. (14 分)如果两个分式 $ M $ 与 $ N $ 的和为常数 $ k $,且 $ k $ 为正整数,则称 $ M $ 与 $ N $ 互为“和整分式”,常数 $ k $ 称为“和整值”. 如分式 $ M=\frac{x}{x+1},N=\frac{1}{x+1},M+N=\frac{x+1}{x+1}=1 $,则 $ M $ 与 $ N $ 互为“和整分式”,“和整值”$ k=1 $.
(1)已知分式 $ A=\frac{x-1}{x-4},B=\frac{x-7}{x-4} $,判断 $ A $ 与 $ B $ 是否互为“和整分式”,若不是,请说明理由;若是,请求出“和整值”$ k $;
(2)已知分式 $ C=\frac{4x-4}{x-2},D=\frac{G}{x^2-4},C $ 与 $ D $ 互为“和整分式”,且“和整值”$ k=4 $,若 $ x $ 为正整数,分式 $ D $ 的值也为正整数.
①求 $ G $ 所代表的代数式;
②求 $ x $ 的值.

27. 【点拨】本题考查分式的加减,理解新定义“和整分式”及“和整值”是解题的关键.
【解析】(1)$\because A=\frac{x-1}{x-4}$,$B=\frac{x-7}{x-4}$,
$\therefore A+B=\frac{x-1}{x-4}+\frac{x-7}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2$,
$\therefore A$与$B$互为“和整分式”,“和整值”$k=2$.
(2)①$\because C=\frac{4x-4}{x-2}$,$D=\frac{G}{x^2-4}$,
$\therefore C+D=\frac{4x-4}{x-2}+\frac{G}{x^2-4}=\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{G}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$.
$\because C$与$D$互为“和整分式”,且“和整值”$k=4$,
$\therefore \frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}=4$,即$4x^2+4x-8+G=4(x+2)(x-2)$,
$\therefore G=4(x^2-4)-4x^2-4x+8=-4x-8$.
②$\because D=\frac{G}{x^2-4}=\frac{-4x-8}{x^2-4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{-4}{x-2}$,且$x$为正整数,分式$D$的值也为正整数,
$\therefore x-2=-1$或$x-2=-2$或$x-2=-4$,
$\therefore x=1$或$x=0$(舍去)或$x=-2$(舍去),$\therefore x$的值为1.

【分析】首先明确“和整分式”的定义：若两个分式的和为正整数k，则称它们互为“和整分式”，k为“和整值”。解题时，(1)直接计算分式A与B的和，判断结果是否为正整数；(2)①根据C与D的和为k=4，利用分式通分、等式性质求解G；②化简分式D，结合x为正整数、D的值为正整数，以及分式有意义的条件，确定x的取值。
【解析】(1)
∵A=$\frac{x-1}{x-4}$，B=$\frac{x-7}{x-4}$，
∴A+B=$\frac{x-1}{x-4}$+$\frac{x-7}{x-4}$=$\frac{2x-8}{x-4}$=$\frac{2(x-4)}{x-4}$=2，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k=2。
(2)①
∵C=$\frac{4x-4}{x-2}$，D=$\frac{G}{x^2-4}$，
∴C+D=$\frac{4x-4}{x-2}$+$\frac{G}{x^2-4}$=$\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}$+$\frac{G}{(x+2)(x-2)}$=$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$。
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=4，
∴$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$=4，即4x²+4x-8+G=4(x+2)(x-2)，
∴G=4(x²-4)-4x²-4x+8=-4x-8。
②
∵D=$\frac{G}{x^2-4}$=$\frac{-4x-8}{x^2-4}$=$\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}$=$\frac{-4}{x-2}$，且x为正整数，分式D的值也为正整数，
∴x-2=-1或x-2=-2或x-2=-4，
∴x=1或x=0（舍去）或x=-2（舍去），
∴x的值为1。
【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整值”k=2；(2)①G=-4x-8；②x=1
【知识点】分式的加减运算、分式的化简求值、新定义应用
【点评】本题为新定义题型，解题关键是准确理解“和整分式”的定义，结合分式的运算规则、等式性质进行推导，同时需注意分式有意义的条件（分母不为零）以及题目对x的取值限制，考查学生的运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】0.5