28. (14分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A(0,8),C(6,0).动点P从B点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)当$t=$时,以OB,OP为邻边的平行四边形是菱形；
(2)当点P在OB的垂直平分线上时,求t的值；
(3)已知D为x轴上的一点,若B,D关于直线OP对称,求t的值.

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28. 【点拨】本题考查矩形、菱形、折叠的性质,勾股定理和线段垂直平分线的性质定理.
【解析】(1)如图1,$\because A(0,8)$,$C(6,0)$,
$\therefore OA=8$,$OC=6$.
$\because$ 四边形OABC是矩形,$\therefore BC=OA=8$.
$\because$ 以OB,OP为邻边的平行四边形是菱形,$\therefore CP=BC=OA=8$,
$\therefore BP=BC+CP=16$,$\therefore t=16 ÷ 1=16$.
故答案为16.

(2)如图2,$\because$ 点P在OB的垂直平分线上,
$\therefore PO=PB=t$,$\therefore PC=BC-PB=8-t$,
在$\mathrm{Rt}△ POC$中,$OC^2+PC^2=OP^2$,
即$6^2+(8-t)^2=t^2$,解得$t=\frac{25}{4}$,
$\therefore t$的值为$\frac{25}{4}$.

(3)如图3,当点P在x轴的上方时,
由对称,知$PD=PB=t$,$OD=OB=\sqrt{6^2+8^2}=10$,$\therefore CD=OD-OC=4$.
在$\mathrm{Rt}△ PCD$中,$CD=4$,$PC=BC-PB=8-t$,$PD=t$,
由勾股定理得$PC^2+CD^2=PD^2$,
即$(8-t)^2+4^2=t^2$,解得$t=5$;

如图4,点P在x轴下方时,
由对称,知$PB=PD=t$,$OD=OB=10$,
$\therefore CD=OD+OC=16$,$PC=t-8$,
在$\mathrm{Rt}△ PCD$中,由勾股定理得$PC^2+CD^2=PD^2$,即$(t-8)^2+16^2=t^2$,
解得$t=20$.

综上所述,若B,D关于直线OP对称,$t$的值为5或20.

【分析】
本题是平面直角坐标系中矩形相关的动点问题，需结合菱形性质、线段垂直平分线性质、轴对称性质及勾股定理求解：
(1) 以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形，根据菱形邻边相等得OB=OP，结合矩形边长计算OP对应的P点位置，进而求运动时间t；
(2) 点P在OB的垂直平分线上，根据垂直平分线性质得PO=PB，设PB=t，用t表示PC，在Rt△POC中利用勾股定理列方程求解；
(3) B、D关于直线OP对称，得OB=OD，分P在x轴上方、下方两种情况，用t表示相关线段长度，在直角三角形中用勾股定理列方程求解t。
【解析】
已知四边形OABC为矩形，A(0,8)，C(6,0)，故OA=BC=8，OC=AB=6，OB=√(6²+8²)=10。
(1) 若以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形，则OB=OP=10。
在Rt△POC中，PC=√(OP² - OC²)=√(10² -6²)=8。
动点P沿射线BC运动，BC长度为8，故BP=BC + CP=8+8=16，运动速度为1单位/秒，因此t=16÷1=16。
(2) 点P在OB的垂直平分线上，故PO=PB=t，此时PC=BC - PB=8 - t。
在Rt△POC中，由勾股定理得：OC² + PC²=OP²，即6² + (8 - t)² = t²，
展开化简得：36 + 64 -16t + t² = t² → 100 -16t=0，解得t=25/4。
(3) 因为B、D关于直线OP对称，所以OB=OD=10。
① 当点P在x轴上方时，CD=OD - OC=10 -6=4，PC=8 - t，PD=PB=t。
在Rt△PCD中，由勾股定理得：(8 - t)² +4² = t²，
展开化简得：64 -16t + t² +16 = t² → 80 -16t=0，解得t=5。
② 当点P在x轴下方时，CD=OD + OC=10 +6=16，PC=t -8，PD=PB=t。
在Rt△PCD中，由勾股定理得：(t -8)² +16² = t²，
展开化简得：t² -16t +64 +256 = t² → 320 -16t=0，解得t=20。
综上，t的值为5或20。
【答案】
(1) 16；(2) $\frac{25}{4}$；(3) 5或20
【知识点】
矩形性质、菱形性质、勾股定理、轴对称性质
【点评】
本题综合考查矩形、菱形、垂直平分线、轴对称的性质，结合勾股定理建立方程求解，需注意动点位置分情况讨论，避免漏解，是中等难度的动点问题。
【难度系数】
0.5