22. (2025·南京建邺区期末)在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,点$P(x,y)(xy ≠ 0)$是平面内任意一点.过点$P$分别作$x$轴,$y$轴的垂线,垂足分别为点$M$和点$N$.若四边形$PMON$的周长为$6$,则点$P$叫作“周六点”.例如:如图所示的$P(2,-1)$是一个“周六点”.
(1)若$D(m,2m+2)$为“周六点”,求$m$的值;
(2)点$Q$的坐标为$(2,2)$,若点$P$是“周六点”,则$PQ$的最小值为.
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $1$
C.$\sqrt{2}$
D. $2$
(3)若一次函数$y=kx+k-4$的图象上存在“周六点”,则$k$的取值范围是.

22. (1)解法一:①当点 D 在第一象限时,
m+2m+2=3,解得$m=\dfrac{1}{3}$;
②当点 D 在第二象限时,
-m+2m+2=3,解得 m=1(舍去);
③当点 D 在第三象限时,
-m+(-2m-2)=3,解得$m=-\dfrac{5}{3}$;
④当点 D 在第四象限时,
m+(-2m-2)=3,解得 m=-5(舍去).
综上所述,$m=-\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{1}{3}$.
解法二:由题意,得|m|+|2m+2|=3.
①当m≤-1时,
-m+(-2m-2)=3,解得$m=-\dfrac{5}{3}$;
②当-1＜m≤0时,
-m+2m+2=3,解得 m=1(舍去);
③当m＞0时,
m+2m+2=3,解得$m=\dfrac{1}{3}$.
综上所述,$m=-\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{1}{3}$.
解法三:由图(1)可得点 D 在第一象限或第三象限.

①当点 D 在第一象限时,
2m+2=-m+3,解得$m=\dfrac{1}{3}$.
②当点 D 在第三象限时,
2m+2=-m-3,解得$m=-\dfrac{5}{3}$.
综上所述,$m=-\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{1}{3}$.
(2)A [解析]
∵点 P 是“周六点”,
∴|x|+|y|=3.
①当x＜0,y＞0时,y=x+3.
如图(2),过点 Q(2,2)作直线 y=x+3 的垂线,垂足为 H,过点 O 作 OK⊥直线 y=x+3 于点 K.

∵OA=OB=3,
∴AB=$3\sqrt{2}$.
∵OK⊥AB,
∴OK=$\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
∵点 P 是直线 y=x+3 上的动点,
∴QH 是 PQ 的最小值.
∵Q(2,2),
∴OQ 的表达式为 y=x,
∴OQ//AB,则 QH=OK=$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴此时 PQ 的最小值为$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
②当x＞0,y＞0时,则 y=-x+3.
如图(3),过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H,过点 Q 作 QD⊥y 轴于点 D,作 QE⊥x 轴于点 E.

则 D(0,2),E(2,0),F(1,2),G(2,1),
∴△QFG 是等腰直角三角形,QF=QG=1,
∴QH=$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
∴此时 PQ 的最小值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
③当x＜0,y＜0时,则 y=-x-3.
如图(4),同理可得 PQ 的最小值为$\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.

当x＞0,y＜0时,则 y=x-3.
如图(5),同理可得 PQ 的最小值为$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

综上所述,PQ 的最小值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.故选 A.
(3)$k≥ 1$或$k＜-2$ [解析]由(2)知当点 P(x,y)(xy≠0)是“周六点”时,点 P 的图象如图(6)所示:

∵直线 y=kx+k-4=k(x+1)-4,当 x=-1 时,y=-4,
∴直线 y=kx+k-4 始终经过点 P(-1,-4).
当k＞0时,则 k-4≥-3,
∴k≥1;
当k＜0时,则 -3k+k-4＞0,
∴k＜-2.
综上所述,k 的取值范围为$k≥ 1$或$k＜-2$.

23. 对于平面直角坐标系$xOy$中的点$A(x,y)$，给出如下定义，若存在点$B(x\pm a,y\pm a)$（$a$为正数），称点$B$为点$A$的等距点. 例如：如图，对于点$A(1,1)$，存在点$B(3,3)$，点$C(-1,3)$，则点$B$，$C$分别为点$A$的等距点.
(1)若点$A$的坐标是$(0,1)$，写出当$a=4$时，点$A$在第一象限的等距点坐标；
(2)若点$A$的等距点$B$的坐标是$(-3,1)$，求当点$A$的横、纵坐标相同时的坐标；
(3)当将某个点$A(x,y)$的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长不大于$\dfrac{25}{4}$时，求$a$的取值范围.

23. (1)
∵点 A 的坐标是(0,1),
∴点 A 的等距点为(0+4,1+4),(0+4,1-4),(0-4,1+4),(0-4,1-4),
即(4,5),(4,-3),(-4,5),(-4,-3),
∴当 a=4 时,点 A 在第一象限的等距点坐标为(4,5).
(2)由题意,得-3+a=1-a 或-3-a=1+a,
解得 a=2 或 a=-2.
∵a 是正数,
∴a=2.
故当点 A 的横、纵坐标相同时的坐标为(-1,-1).
(3)点 A(x,y)的所有等距点的坐标分别为(x+a,y+a),(x+a,y-a),(x-a,y+a),(x-a,y-a),则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长为|8a|,
由题意,得$|8a|≤ \dfrac{25}{4}$,解得$0＜a≤ \dfrac{25}{32}$.

24. 中考新考法 长方形中的动点问题 如图(1)，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为$(6,3).$

(1)直接写出点A，B，C的坐标.
(2)设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且$△ CME$的面积是长方形ABCD面积的$\dfrac{1}{6}$，求点M的坐标.
(3)如图(2)，若点P从点C出发向CB方向匀速移动(不超过点B)，点Q从点B出发向BA方向匀速移动(不超过点A)，且点Q的速度是点P的一半，P，Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，点P的横坐标为$6-2t$，此时①$CP=$，$AQ=$(用含t的式子表示).
②在点P，Q移动的过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围.

24. (1)点 A,B,C 的坐标分别为(-6,3),(-6,-3),(6,-3).
(2)由题意,得点 E 的坐标为(0,3),设点 M 的坐标为(0,a),则$\dfrac{1}{2}×|a-3|×6=\dfrac{1}{6}×12×6$,
解得 a=-1 或 a=7,
∴点 M 的坐标为(0,-1)或(0,7).
(3)①2t 6-t
②不变.理由如下:
∵四边形 PBQD 的面积=$12×6-\dfrac{1}{2}(6-t)×12-\dfrac{1}{2}×2t×6=36$,
∴四边形 PBQD 的面积不发生变化,面积为 36.