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13. 如图，$△ A'B'C'$ 是 $△ ABC$ 经过某种变换后得到的图形，如果 $△ ABC$ 中有一点 $P$ 的坐标为 $(a,2)$，那么变换后它的对应点 $Q$ 的坐标为
(a+5,-2)
。答案
13. (a+5,-2) [解析]由题图可知 A(-4,3),A'(1,-1),
∴平移规律为向右平移 5 个单位长度,向下平移 4 个单位长度.
∵点 P 的坐标为(a,2),
∴对应点 Q 的坐标为(a+5,-2).
∴平移规律为向右平移 5 个单位长度,向下平移 4 个单位长度.
∵点 P 的坐标为(a,2),
∴对应点 Q 的坐标为(a+5,-2).
14. 已知点$P(a,-2),Q(3,b)$且$PQ// y$轴，则$a$
=3
,$b$≠-2
.答案
14. =3 ≠-2 [解析]
∵PQ//y 轴,则 P,Q 的横坐标相同,纵坐标不同,
∴a=3,b≠-2.
∵PQ//y 轴,则 P,Q 的横坐标相同,纵坐标不同,
∴a=3,b≠-2.
15. 已知点$P(2m - 5,m - 1)$，则当$m =$
4
时，点$P$在第一、三象限的角平分线上.答案
15. 4 [解析]
∵点 P 在第一、三象限的角平分线上，
∴点 P 的横、纵坐标相等,即 2m-5=m-1,解得 m=4.
知识拓展 本题考查了点的坐标规律,在第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等,在第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.
∵点 P 在第一、三象限的角平分线上，
∴点 P 的横、纵坐标相等,即 2m-5=m-1,解得 m=4.
知识拓展 本题考查了点的坐标规律,在第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等,在第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.
16. 如图,将正方形$OABC$放在平面直角坐标系中,$O$是原点,点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$,则点$C$的坐标为
(-√3,1)
.答案
16. (-√3,1) [解析]如图,作 AD⊥x 轴于点 D,CE⊥x 轴于点 E,则∠OEC=∠ADO=90°,
∴∠COE+∠OCE=90°.
∵点 A 的坐标为(1,√3),
∴AD=√3,OD=1.
∵四边形 OABC 是正方形,
∴OA = OC,∠AOC = 90°,
∴∠AOD+∠COE=90°,
∴∠AOD=∠OCE.
在△OCE 和△AOD 中,
$\begin{cases}∠OEC=∠ADO,\\∠OCE=∠AOD,\\OC=AO,\end{cases}$
∴△OCE≌△AOD(AAS),
∴OE=AD=√3,CE=OD=1,
∴点 C 的坐标为(-√3,1).
17.(2025·南京鼓楼区期末)在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$与点$B(-2,3)$是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点$C(4,-1)$成轴对称的点$D$坐标是
(-4,-1)
。答案
17. (-4,-1) [解析]
∵点 A(2,3)与点 B(-2,3)是一个轴对称图形上对称的两点,该图形只有一条对称轴,
∴该图形的对称轴为 y 轴,
∴图形中与点 C(4,-1)成轴对称的点 D 坐标是(-4,-1).
∵点 A(2,3)与点 B(-2,3)是一个轴对称图形上对称的两点,该图形只有一条对称轴,
∴该图形的对称轴为 y 轴,
∴图形中与点 C(4,-1)成轴对称的点 D 坐标是(-4,-1).
18. 如图,线段 $OB,OC,OA$ 的长度分别是 1,2,3,且 $OC$ 平分$∠ AOB$. 若将点 $A$ 表示为 $(3,$$30°)$,点 $B$ 表示为 $(1,120°)$,则点 $C$ 可表示为
(2,75°)
.答案
18. (2,75°) [解析]由 OC 平分∠AOB,得∠AOC=$\dfrac{1}{2}$(120°-30°)=45°.
由角的和差,得 OC 的方向角为 30°+45°=75°,
又 OC 的长为 2,
∴点 C 表示为(2,75°).
由角的和差,得 OC 的方向角为 30°+45°=75°,
又 OC 的长为 2,
∴点 C 表示为(2,75°).
三、解答题
19. 在平面直角坐标系中, 已知点 $A(-3,1)$, $B(-1,0),C(-2,-1)$, 请在图中画出 $△ ABC$, 并画出与 $△ ABC$ 关于 $y$ 轴对称的图形.
19. 在平面直角坐标系中, 已知点 $A(-3,1)$, $B(-1,0),C(-2,-1)$, 请在图中画出 $△ ABC$, 并画出与 $△ ABC$ 关于 $y$ 轴对称的图形.
答案
19. 如图所示,△ABC 与△DEF 即为所求作.
20. 为更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的5棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视.
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系$xOy$，使得古树$A$，$B$的位置分别表示为$A(1,2)$，$B(0,-1)$；
(2)在(1)建立的平面直角坐标系$xOy$中，
①表示古树$C$的位置的坐标为
②标出另外两棵古树$D(-1,-2)$，$E(1,-2)$的位置；
③连接$AC$，$DE$，请直接写出$AC$和$DE$的关系：
(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系$xOy$，使得古树$A$，$B$的位置分别表示为$A(1,2)$，$B(0,-1)$；
(2)在(1)建立的平面直角坐标系$xOy$中，
①表示古树$C$的位置的坐标为
(-1,2)
；②标出另外两棵古树$D(-1,-2)$，$E(1,-2)$的位置；
③连接$AC$，$DE$，请直接写出$AC$和$DE$的关系：
AC//DE,AC=DE
.答案
20. (1)如图：
(2)①(-1,2)
②标出 D(-1,-2),E(1,-2)的位置如图所示.
③AC//DE,AC=DE
21. (2025·宿迁宿城区期末)在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$M$的坐标为$(2-t,2t)$，将点$M$到$x$轴的距离记作$d_{1}$，到$y$轴的距离记作$d_{2}$。
(1)若$t=3$，则$d_{1}+d_{2}=$
(2)若$t＜0$，$d_{1}=d_{2}$，求点$M$的坐标；
(3)若点$M$在第二象限，且$md_{1}-5d_{2}=10$($m$为常数)，求$m$的值。
(1)若$t=3$，则$d_{1}+d_{2}=$
7
；(2)若$t＜0$，$d_{1}=d_{2}$，求点$M$的坐标；
(3)若点$M$在第二象限，且$md_{1}-5d_{2}=10$($m$为常数)，求$m$的值。
答案
21. (1)7 [解析]
∵点 M 的坐标为(2-t,2t),将点 M 到 x 轴的距离记作$d_1$,到 y 轴的距离记作$d_2$,
∴$d_1=|2t|$,$d_2=|2-t|$.
∵t=3,
∴$d_1=|2t|=2×3=6$,$d_2=|2-t|=|2-3|=1$,
∴$d_1+d_2=6+1=7$.
(2)
∵t＜0,
∴2-t＞0,2t＜0,
∴$d_1=|2t|=-2t$,$d_2=|2-t|=2-t$.
∵$d_1=d_2$,
∴-2t=2-t,
∴t=-2,
∴2-t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4,
∴M(4,-4).
(3)
∵点 M 在第二象限,
∴2-t＜0,2t＞0,
∴$d_1=|2t|=2t$,$d_2=|2-t|=t-2$.
∵$md_1-5d_2=10$,
∴$m×2t-5×(t-2)=10$,解得$m=\dfrac{5}{2}$.
∵点 M 的坐标为(2-t,2t),将点 M 到 x 轴的距离记作$d_1$,到 y 轴的距离记作$d_2$,
∴$d_1=|2t|$,$d_2=|2-t|$.
∵t=3,
∴$d_1=|2t|=2×3=6$,$d_2=|2-t|=|2-3|=1$,
∴$d_1+d_2=6+1=7$.
(2)
∵t＜0,
∴2-t＞0,2t＜0,
∴$d_1=|2t|=-2t$,$d_2=|2-t|=2-t$.
∵$d_1=d_2$,
∴-2t=2-t,
∴t=-2,
∴2-t=2-(-2)=4,2t=2×(-2)=-4,
∴M(4,-4).
(3)
∵点 M 在第二象限,
∴2-t＜0,2t＞0,
∴$d_1=|2t|=2t$,$d_2=|2-t|=t-2$.
∵$md_1-5d_2=10$,
∴$m×2t-5×(t-2)=10$,解得$m=\dfrac{5}{2}$.
