1. 教材 P90 尝试 T1·变式 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，分别以四边形为边长向外作正方形甲、乙、丙、丁，如果用 $S_\mathrm{甲}$，$S_\mathrm{乙},S_\mathrm{丙},S_\mathrm{丁}$ 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是().

A.$S_\mathrm{甲}=S_\mathrm{丁}$
B.$S_\mathrm{乙}=S_\mathrm{丙}$
C.$S_\mathrm{甲}+S_\mathrm{乙}=S_\mathrm{丙}+S_\mathrm{丁}$
D.$S_\mathrm{甲}-S_\mathrm{乙}=S_\mathrm{丙}-S_\mathrm{丁}$

连接 AC. 由勾股定理,得 $AB^2 + BC^2 = AC^2$, $AD^2 + CD^2 = AC^2$,$\therefore S_甲 + S_乙 = S_丙 + S_丁$. 故选 C.
归纳总结 本题考查了勾股定理的知识,关键是能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系.

2. (2024·淮安涟水期中) 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$是$BC$上的一点，且$BD=2$，$DC=3$，则$AB^2 - AD^2$的值为().

A.4
B.9
C.16
D.25

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 与 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,由勾股定理,得 $AB^2 = AC^2 + BC^2$,$AD^2 = AC^2 + CD^2$,
$\therefore AB^2 - AD^2 = BC^2 - CD^2 = (BD + CD)^2 - CD^2 = 5^2 - 3^2 = 16$. 故选 C.

3. (2024·广东佛山顺德区期末) 如图，$BD$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边 $AC$ 上的中线. $AB=6$，$BC=8$，点 $P$ 是 $BC$ 上一个动点，过点 $P$ 分别作 $AC$ 和 $BD$ 的垂线，垂足为 $E$，$F$，则 $PE+PF$ 的值是.

如图,连接 $DP$.
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AB=6$,
$BC=8$,
$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$,$\therefore AC=10$.
$\because BD$ 是斜边 $AC$ 上的中线,
$\therefore BD = CD = AD = \frac{1}{2}AC = 5$,
$\therefore △BDC$ 的面积 $= △ABD$ 的面积 $= \frac{1}{2}△ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB·BC = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×8 = 12$.
$\because PE⊥CD$,$PF⊥BD$,且 $△BDP$ 的面积 $+ △CDP$ 的面积 $= △BDC$ 的面积,$\therefore \frac{1}{2}BD·PF + \frac{1}{2}CD·PE = 12$,
$\therefore 5PF + 5PE = 24$,$\therefore PF + PE = 4.8$.
思路引导 连接 $DP$,在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,利用勾股定理,可求出 $AC=10$,然后利用直角三角形斜边上的中线性质,可得 $BD=CD=AD=5$,从而可得 $△BDC$ 的面积 $= △ABD$ 的面积 $= \frac{1}{2}△ABC$ 的面积 $=12$,最后根据 $△BDP$ 的面积 $+ △CDP$ 的面积 $= △BDC$ 的面积,进行计算即可解答.

4. 教材P89练习T2·变式（2025·无锡期末）如图，以$\mathrm{Rt}△ ACB$的两边$AB,BC$为边向外作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2,10\ \mathrm{cm}^2$，则以另一边$AC$为直径向外作半圆的面积为$\mathrm{cm}^2$.

$\because$ 以 $\mathrm{Rt}△ACB$ 的两边 $AB$,$BC$ 为边向外作正方形的面积分别是 $26\ \mathrm{cm}^2$,$10\ \mathrm{cm}^2$,$AC^2 = AB^2 - BC^2$,
$\therefore AC^2 = 26 - 10 = 16$,
$\therefore$ 以另一边 $AC$ 为直径向外作半圆的面积为 $\frac{1}{2}π × (\frac{AC}{2})^2 = \frac{1}{2}π × \frac{16}{4} = 2π(\mathrm{cm}^2)$.

5. (2025·淮安期中) 如图,在长方形 ABCD 中,
$AB=8,AD=10$,E 是 AB 边上一点,将
$△ BCE$ 沿直线 CE 折叠,点 B 的对应点 F 恰好落在边 AD 上,求 AE 的长.

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,将 $△BCE$ 沿直线 $CE$ 折叠,点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $AD$ 上,
$\therefore AB = CD = 8$,$BC = AD = FC = 10$,
$\therefore DF = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$,$\therefore AF = 10 - 6 = 4$.
设 $AE = x$,则 $BE = FE = 8 - x$,
在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中,$\because AE^2 + AF^2 = EF^2$,
$\therefore x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$,解得 $x = 3$,$\therefore AE = 3$.

6. 传统文化 《数书九章》 （2023·南京中考）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是().

A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里

如图,过点 $A$ 作 $AD⊥BC$ 于点 $D$.
设 $BD = x$ 里,则 $CD = (14 - x)$ 里.
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD^2 = 13^2 - x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,$AD^2 = 15^2 - (14 - x)^2$,
$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$,解得 $x = 5$.
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$AD = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$(里),
$\therefore △ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2}BC·AD = \frac{1}{2}×14×12 = 84$(平方里). 故选 C.
归纳总结 本题考查了三角形的面积、勾股定理,解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点.主要利用了勾股定理.

7. (苏州自主招生)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式. 后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若$a=3$，$b=4$，则该长方形的面积为().

A.20
B.24
C.$\dfrac{99}{4}$
D.$\dfrac{53}{2}$

设小正方形的边长为 $x$,
$\because a=3$,$b=4$,$\therefore AB = 3 + 4 = 7$.
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AC^2 + BC^2 = AB^2$,
即 $(3 + x)^2 + (x + 4)^2 = 7^2$,
整理,得 $x^2 + 7x - 12 = 0$,
而长方形面积为 $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12 = 12 + 12 = 24$,$\therefore$ 该长方形的面积为 24. 故选 B.
思路引导 欲求长方形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为 $x$,在直角三角形 $ABC$ 中,利用勾股定理可建立关于 $x$ 的方程,利用整体代入的思想解决问题,进而可求出该长方形的面积.