8. 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m,梯子的顶端下滑 2 m后,底端将水平滑动 2 m 吗? 请说明理由.

底端将滑动 2 m. 理由如下:
如图,在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AB = 10\ \mathrm{m}$,$AC = 8\ \mathrm{m}$,
$\therefore BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$,$\therefore BC = 6\ \mathrm{m}$.
$\because AD = 2\ \mathrm{m}$,$\therefore CD = AC - AD = 8 - 2 = 6(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△CDE$ 中,$DE = AB = 10\ \mathrm{m}$,$CD = 6\ \mathrm{m}$,
$\therefore CE^2 = DE^2 - CD^2 = 10^2 - 6^2 = 64$,
$\therefore CE = 8\ \mathrm{m}$,$\therefore EB = CE - BC = 8 - 6 = 2(\mathrm{m})$.
故梯子底端将水平滑动 2 m.

9. (2025·苏州太仓期中)弦图(图(1))在三国时期被赵爽发明,是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形.2002年国际数学家大会在北京召开,大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”,体现了数学研究中的继承和发展.在学习了勾股定理后,小亮同学受此启发,探究后发现,若将4个直角边长为a,b,斜边长为c的直角三角形(图(2)中涂色部分)拼成如图所示的五边形.通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理.请利用图(2)完成勾股定理的验证.

①五边形的面积 $S = c^2 + \frac{1}{2}ab × 2 = c^2 + ab$,
②五边形的面积 $S = a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab × 2 = a^2 + b^2 + ab$.
$\therefore c^2 + ab = a^2 + b^2 + ab$,$\therefore a^2 + b^2 = c^2$.

10. (2025·扬州江都区期中) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,已知 $∠ A=90°$,$D$ 是斜边 $BC$ 的中点,$DE⊥ BC$交$AB$于点$E$,连接$CE$.
(1)求证:$BE^2-AE^2=AC^2$;
(2)若 $AC=6$,$BD=5$,求 $AE$ 的长.

(1)$\because DE⊥BC$,$D$ 是斜边 $BC$ 的中点,
$\therefore DE$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线,$\therefore BE = CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,由勾股定理,得 $CE^2 = AC^2 + AE^2$,
$\therefore BE^2 = AC^2 + AE^2$,$\therefore BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(2)$\because BD = 5$,$D$ 是斜边 $BC$ 的中点,
$\therefore BC = 2BD = 10$.
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$,
$\therefore AB = BE + AE = 8$.
设 $AE = x$,则 $BE = CE = 8 - x$,
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,由勾股定理得 $CE^2 = AC^2 + AE^2$,
即 $(8 - x)^2 = 6^2 + x^2$,解得 $x = \frac{7}{4}$,
$\therefore AE = \frac{7}{4}$,即 $AE$ 的长为 $\frac{7}{4}$.

11. 中考新考法 动点问题 (2025·无锡江阴期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=21\ \mathrm{cm}$,$AC=17\ \mathrm{cm}$,$BC=$$10\ \mathrm{cm}$,点$M$从$A$点开始以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$向$B$点运动,设出发的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)$BM=$(用含$t$的代数式表示).
(2)当$t$为何值时,$△ BCM$为等腰三角形?
(3)当$t=\_\_\_\_\_\_\mathrm{s}$时,点$M$在$∠ BCA$的平分线上.

(1)$(21-2t)\ \mathrm{cm}$
(2)
如图(1),过点 $C$ 作 $CH⊥AB$ 于点 $H$,
设 $BH = x\ \mathrm{cm}$,则 $AH = (21 - x)\ \mathrm{cm}$,
由勾股定理可得,$BC^2 - BH^2 = AC^2 - AH^2$,
$\because AB = 21\ \mathrm{cm}$,$AC = 17\ \mathrm{cm}$,$BC = 10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 10^2 - x^2 = 17^2 - (21 - x)^2$,
$\therefore x = 6$,$\therefore BH = 6$,$\therefore CH = \sqrt{BC^2 - BH^2} = 8$.
①当 $BM = BC$ 时,$21 - 2t = 10$,$\therefore t = \frac{11}{2}$;
②当 $BC = CM$ 时,$BM = 2BH = 12$,
$\therefore 21 - 2t = 12$,$\therefore t = \frac{9}{2}$;
③当 $BM = CM$ 时,
$\because BH = 6\ \mathrm{cm}$,$\therefore AH = AB - BH = 21 - 6 = 15(\mathrm{cm})$,
$\therefore MH = AH - AM = (15 - 2t)\ \mathrm{cm}$.
$\because CM^2 = MH^2 + CH^2$,
$\therefore (15 - 2t)^2 + 8^2 = (21 - 2t)^2$,$\therefore t = \frac{19}{3}$.
综上所述,当 $t$ 的值是 $\frac{11}{2}$ 或 $\frac{9}{2}$ 或 $\frac{19}{3}$ 时,$△BCM$ 为等腰三角形.
(3)
点 $M$ 在 $∠BCA$ 的平分线上,过点 $M$ 作 $MD⊥BC$,$ME⊥AC$ 于点 $D$,$E$,$\therefore MD = ME$.
由(2)知 $CH = 8\ \mathrm{cm}$,
$\because$ 三角形 $ABC$ 的面积 $=$ 三角形 $BCM$ 的面积 $+$ 三角形 $ACM$ 的面积,
$\therefore \frac{1}{2}AB·CH = \frac{1}{2}BC·DM + \frac{1}{2}AC·ME$,
$\therefore \frac{1}{2}×21×8 = \frac{1}{2}×10ME + \frac{1}{2}×17ME$,$\therefore ME = \frac{56}{9}$.
$\because$ 三角形 $AMC$ 的面积 $= \frac{1}{2}AM·CH = \frac{1}{2}AC·ME$,
$\therefore 2t×8 = 17×\frac{56}{9}$,$\therefore t = \frac{119}{18}$.