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一、选择题(每小题5分,共25分)
1. 方程$x(x-1)=0$的根是（
A.$x_{1}=0,x_{2}=-1$
B.$x_{1}=0,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=0$
D.$x_{1}=x_{2}=1$
1. 方程$x(x-1)=0$的根是（
B
）A.$x_{1}=0,x_{2}=-1$
B.$x_{1}=0,x_{2}=1$
C.$x_{1}=x_{2}=0$
D.$x_{1}=x_{2}=1$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题是求解因式分解形式的一元二次方程，解题思路是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，直接将原方程拆分为两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的两个根，再匹配对应选项即可。观察到原方程已经是两个一次因式相乘等于0的形式，不需要额外展开整理，直接令每个因式分别等于0，解出两个x的取值，就能选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$x(x-1)=0$，
根据“两数相乘乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，可得：
$x=0$ 或者 $x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程：
① 由$x=0$直接得到第一个根$x_1=0$；
② 对$x-1=0$移项可得第二个根$x_2=1$。
因此方程的根为$x_{1}=0,x_{2}=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的入门基础题，无需对原方程进行展开变形，直接利用乘积为零的因式性质即可快速得到结果，易错点是部分同学会误把$x-1=0$的解错算为$x=-1$从而错选A，只要牢记解一元一次方程的移项规则就能避免这类错误。
【难度系数】
0.9
这道题是求解因式分解形式的一元二次方程，解题思路是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，直接将原方程拆分为两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的两个根，再匹配对应选项即可。观察到原方程已经是两个一次因式相乘等于0的形式，不需要额外展开整理，直接令每个因式分别等于0，解出两个x的取值，就能选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$x(x-1)=0$，
根据“两数相乘乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，可得：
$x=0$ 或者 $x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程：
① 由$x=0$直接得到第一个根$x_1=0$；
② 对$x-1=0$移项可得第二个根$x_2=1$。
因此方程的根为$x_{1}=0,x_{2}=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的入门基础题，无需对原方程进行展开变形，直接利用乘积为零的因式性质即可快速得到结果，易错点是部分同学会误把$x-1=0$的解错算为$x=-1$从而错选A，只要牢记解一元一次方程的移项规则就能避免这类错误。
【难度系数】
0.9
2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^2 - 3x + k = 0$ 有实数根,则实数 $k$ 的取值范围是 （
A.$k ＜ \dfrac{9}{8}$
B.$k ≤ \dfrac{9}{8}$
C.$k ≥ \dfrac{9}{8}$
D.$k ＜ -\dfrac{9}{8}$
B
）A.$k ＜ \dfrac{9}{8}$
B.$k ≤ \dfrac{9}{8}$
C.$k ≥ \dfrac{9}{8}$
D.$k ＜ -\dfrac{9}{8}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确题目核心条件：给定的是一元二次方程且有实数根。解题思路为：回忆一元二次方程根的判别式规则，对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根时，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，该条件包含了方程有两个相等实数根的情况。接下来从给定方程中确定$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解出不等式即可得到$k$的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴ 方程的根的判别式满足$\Delta ≥ 0$，
对应一元二次方程一般形式的系数为$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入判别式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ≥ 0$
计算整理得：
$9 - 8k ≥ 0$
移项后解得：
$k ≤ \frac{9}{8}$
因此实数$k$的取值范围是$k ≤ \frac{9}{8}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规题型，重点考察根的判别式的基础应用。常见易错点有两个：一是容易忽略“有实数根”包含两个相等实数根的情况，误把条件写为$\Delta＞0$错选A；二是解不等式时两边同除以负数忘记改变不等号方向，解题时要注意留意这类细节问题。
【难度系数】
0.8
首先明确题目核心条件：给定的是一元二次方程且有实数根。解题思路为：回忆一元二次方程根的判别式规则，对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方程有实数根时，判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，该条件包含了方程有两个相等实数根的情况。接下来从给定方程中确定$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解出不等式即可得到$k$的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴ 方程的根的判别式满足$\Delta ≥ 0$，
对应一元二次方程一般形式的系数为$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入判别式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ≥ 0$
计算整理得：
$9 - 8k ≥ 0$
移项后解得：
$k ≤ \frac{9}{8}$
因此实数$k$的取值范围是$k ≤ \frac{9}{8}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规题型，重点考察根的判别式的基础应用。常见易错点有两个：一是容易忽略“有实数根”包含两个相等实数根的情况，误把条件写为$\Delta＞0$错选A；二是解不等式时两边同除以负数忘记改变不等号方向，解题时要注意留意这类细节问题。
【难度系数】
0.8
3. $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$是下列哪个一元二次方程的根 （
A.$3x^2+5x+1=0$
B.$3x^2-5x+1=0$
C.$3x^2-5x-1=0$
D.$3x^2+5x-1=0$
D
）A.$3x^2+5x+1=0$
B.$3x^2-5x+1=0$
C.$3x^2-5x-1=0$
D.$3x^2+5x-1=0$
答案
3.D
解析
【分析】
这道题是一元二次方程求根公式的逆向考察，有两种清晰的解题思路：第一种是直接对照求根公式的结构反向推导原方程的系数：首先看题干给出的根表达式的分母是2×3，对应求根公式里的2a，直接得到a=3；再看分子的一次项部分是-5，对应求根公式里的-b，得到b=5；最后看根号内的判别式部分，代入已经求出的a、b就能算出c的值，直接得到原方程。第二种思路是把四个选项的方程分别代入求根公式计算根的表达式，和题干给出的式子逐一比对，匹配的就是正确答案，两种方法都可以快速得出结果。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$和求根公式逐项对应：
1. 分母对应：2a=2×3，解得a=3；
2. 分子一次项对应：-b=-5，解得b=5；
3. 根号内判别式对应：$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，把a=3、b=5代入得：
$ 5^2 - 4×3× c = 5^2 + 4×3×1 $化简得-12c=12，解得c=-1。因此对应的一元二次方程为$3x^2+5x-1=0$，也可逐一验证选项：选项A：$3x^2+5x+1=0$的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{6}$，不符合题干；选项B：$3x^2-5x+1=0$的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{25-12}}{6}$，不符合题干；选项C：$3x^2-5x-1=0$的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{25+12}}{6}$，不符合题干；选项D：$3x^2+5x-1=0$的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+12}}{6}=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$，完全匹配题干表达式。【答案】D【知识点】一元二次方程求根公式，一元二次方程一般形式【点评】本题属于求根公式的基础逆向应用题，核心易错点是判别式$b^2-4ac$的符号处理，不少同学容易把根号里的加号直接当成+4ac，忽略判别式自带的减号，选错c的符号，解题时严格对照求根公式的每一项匹配系数，就可以避开这类错误。
【难度系数】0.7
这道题是一元二次方程求根公式的逆向考察，有两种清晰的解题思路：第一种是直接对照求根公式的结构反向推导原方程的系数：首先看题干给出的根表达式的分母是2×3，对应求根公式里的2a，直接得到a=3；再看分子的一次项部分是-5，对应求根公式里的-b，得到b=5；最后看根号内的判别式部分，代入已经求出的a、b就能算出c的值，直接得到原方程。第二种思路是把四个选项的方程分别代入求根公式计算根的表达式，和题干给出的式子逐一比对，匹配的就是正确答案，两种方法都可以快速得出结果。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$和求根公式逐项对应：
1. 分母对应：2a=2×3，解得a=3；
2. 分子一次项对应：-b=-5，解得b=5；
3. 根号内判别式对应：$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，把a=3、b=5代入得：
$ 5^2 - 4×3× c = 5^2 + 4×3×1 $化简得-12c=12，解得c=-1。因此对应的一元二次方程为$3x^2+5x-1=0$，也可逐一验证选项：选项A：$3x^2+5x+1=0$的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{6}$，不符合题干；选项B：$3x^2-5x+1=0$的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{25-12}}{6}$，不符合题干；选项C：$3x^2-5x-1=0$的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{25+12}}{6}$，不符合题干；选项D：$3x^2+5x-1=0$的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{25+12}}{6}=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$，完全匹配题干表达式。【答案】D【知识点】一元二次方程求根公式，一元二次方程一般形式【点评】本题属于求根公式的基础逆向应用题，核心易错点是判别式$b^2-4ac$的符号处理，不少同学容易把根号里的加号直接当成+4ac，忽略判别式自带的减号，选错c的符号，解题时严格对照求根公式的每一项匹配系数，就可以避开这类错误。
【难度系数】0.7
4. 小刚在解关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$时,只抄对了$a=1$,$c=4$,解出其中一个根是$x=-1$.他核对时发现所抄的$b$是原方程中$b$的相反数,则原方程的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个根是$x=-1$
D.不存在实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个根是$x=-1$
D.不存在实数根
答案
4.A
解析
【分析】
我们的解题思路是：首先明确小刚解的是参数错误的方程，他仅把b抄成了原方程b的相反数，a和c都是正确的。已知错误方程的一个根是x=-1，我们可以先把这个根代入错误方程，求出他抄错的b的数值，再根据“抄的b是原方程b的相反数”的关系，得到原方程真实的b的取值，最后通过一元二次方程根的判别式计算Δ的正负，就能直接判断原方程根的情况了，不需要额外求解原方程的根。
【解析】
1. 设小刚抄错的参数为$b'$，根据他抄对的$a=1$、$c=4$，可得他所解的错误方程为：
$x^2 + b'x + 4 = 0$
2. 把已知根$x=-1$代入上述错误方程：
$(-1)^2 + b'×(-1) + 4 = 0$
化简得：$1 - b' + 4 = 0$，解得$b'=5$。
3. 由题意可知，抄错的$b'$是原方程中$b$的相反数，即$b'=-b$，因此原方程的真实参数$b=-b'=-5$。
4. 计算原一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$
根据判别式的性质，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，根的判别式
【点评】
本题的易错点是容易混淆抄错的b和原方程b的符号关系，解题核心是利用错误方程的已知根反推参数，不需要直接求解原方程的根，仅通过判别式就能快速判断根的情况，整体考察对一元二次方程基础性质的掌握。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是：首先明确小刚解的是参数错误的方程，他仅把b抄成了原方程b的相反数，a和c都是正确的。已知错误方程的一个根是x=-1，我们可以先把这个根代入错误方程，求出他抄错的b的数值，再根据“抄的b是原方程b的相反数”的关系，得到原方程真实的b的取值，最后通过一元二次方程根的判别式计算Δ的正负，就能直接判断原方程根的情况了，不需要额外求解原方程的根。
【解析】
1. 设小刚抄错的参数为$b'$，根据他抄对的$a=1$、$c=4$，可得他所解的错误方程为：
$x^2 + b'x + 4 = 0$
2. 把已知根$x=-1$代入上述错误方程：
$(-1)^2 + b'×(-1) + 4 = 0$
化简得：$1 - b' + 4 = 0$，解得$b'=5$。
3. 由题意可知，抄错的$b'$是原方程中$b$的相反数，即$b'=-b$，因此原方程的真实参数$b=-b'=-5$。
4. 计算原一元二次方程的根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$
根据判别式的性质，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，根的判别式
【点评】
本题的易错点是容易混淆抄错的b和原方程b的符号关系，解题核心是利用错误方程的已知根反推参数，不需要直接求解原方程的根，仅通过判别式就能快速判断根的情况，整体考察对一元二次方程基础性质的掌握。
【难度系数】
0.7
5. (2025·苏州期中)已知$m$为方程$x^{2}+3x-2022=0$的根，那么$m^{3}+2m^{2}-2025m+2025$的值为（
A.$-1999$
B.$3$
C.$2025$
D.$4047$
B
）A.$-1999$
B.$3$
C.$2025$
D.$4047$
答案
5.B
解析
【分析】
首先，已知m是给定一元二次方程的根，根据方程根的定义可以直接得到关于m的等式$m^2+3m-2022=0$。待求式是三次多项式，若直接求解m的数值代入计算会非常繁琐，因此我们采用降次的思路：先从已知等式变形得到二次项$m^2$的一次表达式，再将三次项$m^3$转化为$m·m^2$，代入后也转化为一次式，随后将所有高次项全部替换为低次的一次项，合并化简后利用整体代入的方法，就能快速算出最终结果，不需要求出m的具体值。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^{2}+3x-2022=0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 3m - 2022 = 0$，即 $m^2 = -3m + 2022$，且 $m^2 + 3m = 2022$。
对三次项变形：
$m^3 = m · m^2$，将$m^2=-3m+2022$代入得：
$m^3 = m(-3m + 2022) = -3m^2 + 2022m$。
将$m^3=-3m^2+2022m$代入待求式：
$\begin{aligned}m^3 + 2m^2 - 2025m + 2025&= -3m^2 + 2022m + 2m^2 -2025m + 2025\\&= -m^2 -3m + 2025\\&= -(m^2 + 3m) + 2025\end{aligned}$
再将$m^2+3m=2022$代入上式：
原式$= -2022 + 2025 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根；整体代入求值；代数式降次
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典代数式求值题型，核心技巧是利用方程根的性质对高次多项式进行降次转化，避免了直接求解无理数根的复杂运算，通过整体代入大幅简化计算，同学们需要熟练掌握这类降次转化的解题思路。
【难度系数】
0.6
首先，已知m是给定一元二次方程的根，根据方程根的定义可以直接得到关于m的等式$m^2+3m-2022=0$。待求式是三次多项式，若直接求解m的数值代入计算会非常繁琐，因此我们采用降次的思路：先从已知等式变形得到二次项$m^2$的一次表达式，再将三次项$m^3$转化为$m·m^2$，代入后也转化为一次式，随后将所有高次项全部替换为低次的一次项，合并化简后利用整体代入的方法，就能快速算出最终结果，不需要求出m的具体值。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^{2}+3x-2022=0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 3m - 2022 = 0$，即 $m^2 = -3m + 2022$，且 $m^2 + 3m = 2022$。
对三次项变形：
$m^3 = m · m^2$，将$m^2=-3m+2022$代入得：
$m^3 = m(-3m + 2022) = -3m^2 + 2022m$。
将$m^3=-3m^2+2022m$代入待求式：
$\begin{aligned}m^3 + 2m^2 - 2025m + 2025&= -3m^2 + 2022m + 2m^2 -2025m + 2025\\&= -m^2 -3m + 2025\\&= -(m^2 + 3m) + 2025\end{aligned}$
再将$m^2+3m=2022$代入上式：
原式$= -2022 + 2025 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根；整体代入求值；代数式降次
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典代数式求值题型，核心技巧是利用方程根的性质对高次多项式进行降次转化，避免了直接求解无理数根的复杂运算，通过整体代入大幅简化计算，同学们需要熟练掌握这类降次转化的解题思路。
【难度系数】
0.6
6. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-x+c=0$有两个相等的实数根，则$c$的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
6.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
首先看到题目给出的是一元二次方程且有两个相等的实数根，首先要联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定该一元二次方程中二次项系数a、一次项系数b的取值，代入判别式等于0的等式中，得到关于待求参数c的一元一次方程，求解该方程即可得到c的值，注意区分判别式公式里的通用参数和本题待求的参数，避免符号代入错误。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 对应本题方程$x^2 - x + c = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，方程的常数项为待求参数$c$；
2. 已知该方程有两个相等的实数根，因此满足判别式$\Delta=0$，代入参数得：
$$(-1)^2 - 4×1× c = 0$3. 化简计算： $$1 - 4c = 0$
$$4c = 1$ $$c=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，直接考察根的判别式的基础性质，解题时只需牢记不同根的情况对应的判别式取值即可，注意代入一次项系数时不要遗漏负号，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
首先看到题目给出的是一元二次方程且有两个相等的实数根，首先要联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先确定该一元二次方程中二次项系数a、一次项系数b的取值，代入判别式等于0的等式中，得到关于待求参数c的一元一次方程，求解该方程即可得到c的值，注意区分判别式公式里的通用参数和本题待求的参数，避免符号代入错误。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 对应本题方程$x^2 - x + c = 0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，方程的常数项为待求参数$c$；
2. 已知该方程有两个相等的实数根，因此满足判别式$\Delta=0$，代入参数得：
$$(-1)^2 - 4×1× c = 0$3. 化简计算： $$1 - 4c = 0$
$$4c = 1$ $$c=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，直接考察根的判别式的基础性质，解题时只需牢记不同根的情况对应的判别式取值即可，注意代入一次项系数时不要遗漏负号，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
7.将一元二次方程$x^{2}-8x-5=0$化成$(x+a)^{2}=b$($a,b$为常数)的形式，则$a+b$的值是
17
.答案
7.17
解析
【分析】
这道题的核心是用配方法将一元二次方程的一般式转化为指定的完全平方形式，解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；第二步对左侧进行配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式；第三步将整理好的完全平方式和给定的$(x+a)^2=b$的形式做对比，直接读出a、b的数值，最后代入计算$a+b$即可，这里要特别注意a的符号不要出错。
【解析】
解：
1. 移项：将原方程$x^2 - 8x -5 = 0$的常数项移到等号右边，可得：
$x^2 - 8x = 5$
2. 配方：一次项系数为-8，它的一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2 = 16$，给等式左右两边同时加上16：
$x^2 -8x +16 = 5 + 16$
3. 整理为完全平方形式：左侧利用完全平方公式因式分解，右侧计算求和，可得：
$(x-4)^2 = 21$
4. 对比形式$(x+a)^2 = b$，可得$a=-4$，$b=21$
5. 计算$a+b$：$a+b = -4 + 21 =17$
【答案】
17
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题，难度较低，最容易出错的地方是忽略完全平方式中减号对应的a为负数，误将a取值为4得到错误结果25，解题时要注意对应形式的符号匹配，不要直接取绝对值计算。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是用配方法将一元二次方程的一般式转化为指定的完全平方形式，解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；第二步对左侧进行配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式；第三步将整理好的完全平方式和给定的$(x+a)^2=b$的形式做对比，直接读出a、b的数值，最后代入计算$a+b$即可，这里要特别注意a的符号不要出错。
【解析】
解：
1. 移项：将原方程$x^2 - 8x -5 = 0$的常数项移到等号右边，可得：
$x^2 - 8x = 5$
2. 配方：一次项系数为-8，它的一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2 = 16$，给等式左右两边同时加上16：
$x^2 -8x +16 = 5 + 16$
3. 整理为完全平方形式：左侧利用完全平方公式因式分解，右侧计算求和，可得：
$(x-4)^2 = 21$
4. 对比形式$(x+a)^2 = b$，可得$a=-4$，$b=21$
5. 计算$a+b$：$a+b = -4 + 21 =17$
【答案】
17
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题，难度较低，最容易出错的地方是忽略完全平方式中减号对应的a为负数，误将a取值为4得到错误结果25，解题时要注意对应形式的符号匹配，不要直接取绝对值计算。
【难度系数】
0.8
8.(2025·东海县期中)有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
.答案
8.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
首先我们需要把题目中的文字描述转化为对应的代数等式：“m与1的和乘以m与1的差仍得m”，也就是(m+1)乘(m-1)的结果等于m。接下来第一步可以用平方差公式把左边的乘积展开，整理得到标准形式的一元二次方程，求解该方程后，再结合题目给出的“m是正数”的条件，舍去不符合要求的负根，就能得到m的正确取值。
【解析】
解：根据题意列出对应方程：
$(m+1)(m-1) = m$
利用平方差公式展开左侧项：
$m^2 - 1 = m$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$m^2 - m - 1 = 0$
该方程中二次项系数a=1，一次项系数b=-1，常数项c=-1，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得：
$m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
已知m是正数，其中$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合正数的要求，将其舍去，最终得到$m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
平方差公式；一元二次方程求解；根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，核心考查文字表述转代数方程的能力，易错点是忽略题目给出的“m是正数”的限定，误将负根保留，整体计算步骤简单，属于得分率较高的常规习题。
【难度系数】
0.7
首先我们需要把题目中的文字描述转化为对应的代数等式：“m与1的和乘以m与1的差仍得m”，也就是(m+1)乘(m-1)的结果等于m。接下来第一步可以用平方差公式把左边的乘积展开，整理得到标准形式的一元二次方程，求解该方程后，再结合题目给出的“m是正数”的条件，舍去不符合要求的负根，就能得到m的正确取值。
【解析】
解：根据题意列出对应方程：
$(m+1)(m-1) = m$
利用平方差公式展开左侧项：
$m^2 - 1 = m$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$m^2 - m - 1 = 0$
该方程中二次项系数a=1，一次项系数b=-1，常数项c=-1，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得：
$m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
已知m是正数，其中$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合正数的要求，将其舍去，最终得到$m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
平方差公式；一元二次方程求解；根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，核心考查文字表述转代数方程的能力，易错点是忽略题目给出的“m是正数”的限定，误将负根保留，整体计算步骤简单，属于得分率较高的常规习题。
【难度系数】
0.7
9. (2025·相城区月考) 已知关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+1=0$ 的两根为 $x_1=1,x_2=2$，则方程$a(x+2)^2+b(x+2)+1=0$ 的两根之和为
$-1$
。答案
9.$-1$
解析
【分析】
首先观察两个给定方程的结构特征，发现第二个方程的括号内整体替换后和已知根的第一个方程形式完全一致，因此优先考虑用整体换元的思路解题：第一步，设新元t = x+2，将第二个方程转化为和已知两根的原方程完全相同的形式，直接得到t的两个根就是原方程的x₁=1和x₂=2；第二步，建立t的根和新方程的x的根的对应关系，利用等式相加直接求出新方程两根之和，不需要额外求解参数a、b，大幅简化计算。也可以先用韦达定理根据原方程两根求出a、b的关系，再代入新方程用韦达定理求两根之和，换元法解题效率更高。
【解析】
解：设 $ t = x + 2 $，则方程 $ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $ 可转化为：
$ at^2 + bt + 1 = 0 $
由题可知该方程的两根为 $ t_1=1 $，$ t_2=2 $。
设方程 $ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $ 的两根为 $ x_3 $、$ x_4 $，则满足：
$ t_1 = x_3 + 2 $，$ t_2 = x_4 + 2 $
将两式相加得：
$ t_1 + t_2 = (x_3 + 2) + (x_4 + 2) = x_3 + x_4 + 4 $
代入 $ t_1 + t_2 = 1 + 2 = 3 $，可得：
$ 3 = x_3 + x_4 + 4 $
解得 $ x_3 + x_4 = 3 - 4 = -1 $
【答案】-1
【知识点】换元法，一元二次方程根与系数关系
【点评】本题核心考察整体代换的数学思想，不需要求出参数a、b的具体值，通过换元直接关联两个方程的根的对应关系，避免了繁琐的参数计算，能有效提升解题速度和正确率，部分同学会选择先求a、b再代入新方程求解，计算量更大容易出错。
【难度系数】0.6
首先观察两个给定方程的结构特征，发现第二个方程的括号内整体替换后和已知根的第一个方程形式完全一致，因此优先考虑用整体换元的思路解题：第一步，设新元t = x+2，将第二个方程转化为和已知两根的原方程完全相同的形式，直接得到t的两个根就是原方程的x₁=1和x₂=2；第二步，建立t的根和新方程的x的根的对应关系，利用等式相加直接求出新方程两根之和，不需要额外求解参数a、b，大幅简化计算。也可以先用韦达定理根据原方程两根求出a、b的关系，再代入新方程用韦达定理求两根之和，换元法解题效率更高。
【解析】
解：设 $ t = x + 2 $，则方程 $ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $ 可转化为：
$ at^2 + bt + 1 = 0 $
由题可知该方程的两根为 $ t_1=1 $，$ t_2=2 $。
设方程 $ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $ 的两根为 $ x_3 $、$ x_4 $，则满足：
$ t_1 = x_3 + 2 $，$ t_2 = x_4 + 2 $
将两式相加得：
$ t_1 + t_2 = (x_3 + 2) + (x_4 + 2) = x_3 + x_4 + 4 $
代入 $ t_1 + t_2 = 1 + 2 = 3 $，可得：
$ 3 = x_3 + x_4 + 4 $
解得 $ x_3 + x_4 = 3 - 4 = -1 $
【答案】-1
【知识点】换元法，一元二次方程根与系数关系
【点评】本题核心考察整体代换的数学思想，不需要求出参数a、b的具体值，通过换元直接关联两个方程的根的对应关系，避免了繁琐的参数计算，能有效提升解题速度和正确率，部分同学会选择先求a、b再代入新方程求解，计算量更大容易出错。
【难度系数】0.6
10.若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两根为m,n,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为
6
.答案
10.6
解析
【分析】
本题若直接求出方程的两个根再代入代数式计算，运算量较大且容易出错，我们采用整体代换的思路求解：首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程得到2m²-4m=1，对所求代数式拆分降次，把原式转化为1+m²+n²的形式；再结合韦达定理得到两根之和m+n、两根之积mn的值，利用完全平方公式将m²+n²变形为(m+n)²-2mn，整体代入数值即可快速算出结果，无需单独求解根的具体值。
【解析】
解：
∵ m是一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的根，
∴ 把x=m代入方程可得：$2m^2 -4m -1=0$，即$2m^2 -4m=1$。
由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），方程两根m、n满足：
$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求代数式进行拆分变形：
$\begin{aligned}3m^2 -4m +n^2&=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2\\&=1 + m^2 +n^2\end{aligned}$
根据完全平方公式，$m^2 +n^2=(m+n)^2 - 2mn$，将$m+n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$代入得：
$m^2 +n^2=2^2 - 2×(-\frac{1}{2})=4+1=5$
因此原式$=1+5=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数关系，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，核心考察整体代换的数学思想，通过根的定义对高次项降次，结合韦达定理避免了复杂的无理根运算，解题思路简洁高效，需要学生熟练掌握相关变形技巧。
【难度系数】
0.6
本题若直接求出方程的两个根再代入代数式计算，运算量较大且容易出错，我们采用整体代换的思路求解：首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程得到2m²-4m=1，对所求代数式拆分降次，把原式转化为1+m²+n²的形式；再结合韦达定理得到两根之和m+n、两根之积mn的值，利用完全平方公式将m²+n²变形为(m+n)²-2mn，整体代入数值即可快速算出结果，无需单独求解根的具体值。
【解析】
解：
∵ m是一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的根，
∴ 把x=m代入方程可得：$2m^2 -4m -1=0$，即$2m^2 -4m=1$。
由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），方程两根m、n满足：
$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求代数式进行拆分变形：
$\begin{aligned}3m^2 -4m +n^2&=(2m^2 -4m)+m^2 +n^2\\&=1 + m^2 +n^2\end{aligned}$
根据完全平方公式，$m^2 +n^2=(m+n)^2 - 2mn$，将$m+n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$代入得：
$m^2 +n^2=2^2 - 2×(-\frac{1}{2})=4+1=5$
因此原式$=1+5=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数关系，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的典型题型，核心考察整体代换的数学思想，通过根的定义对高次项降次，结合韦达定理避免了复杂的无理根运算，解题思路简洁高效，需要学生熟练掌握相关变形技巧。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共50分)
11.(20分)按要求解下列方程:
(1)$(x+3)^{2}=25$;(直接开平方方法)
(2)$3x^{2}-2x-1=0$;(配方法)
(3)$(x+3)(2x-1)=1$;(公式法)
(4)$2(x+5)^{2}=x(x+5)$.(因式分解法)
11.(20分)按要求解下列方程:
(1)$(x+3)^{2}=25$;(直接开平方方法)
(2)$3x^{2}-2x-1=0$;(配方法)
(3)$(x+3)(2x-1)=1$;(公式法)
(4)$2(x+5)^{2}=x(x+5)$.(因式分解法)
答案
11. 解:(1)$x+3=\pm5$,$\therefore x_1=-8$,$x_2=2$.
(2)原方程可变形为$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$,
$x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$,
$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{2}{3}$,
$\therefore x_1=1$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理,得$2x^2+5x-4=0$.$\because a=2$,$b=5$,$c=-4$,
$\therefore b^2-4ac=5^2-4×2×(-4)=57$,$\therefore x=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{2×2}$,
$\therefore x_1=\frac{-5+\sqrt{57}}{4}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{57}}{4}$.
(4)$2(x+5)^2-x(x+5)=0$,
$(x+5)[2(x+5)-x]=0$,
$x+5=0$或$2(x+5)-x=0$,
$\therefore x_1=-5$,$x_2=-10$.
(2)原方程可变形为$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$,
$x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$,
$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{2}{3}$,
$\therefore x_1=1$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理,得$2x^2+5x-4=0$.$\because a=2$,$b=5$,$c=-4$,
$\therefore b^2-4ac=5^2-4×2×(-4)=57$,$\therefore x=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{2×2}$,
$\therefore x_1=\frac{-5+\sqrt{57}}{4}$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{57}}{4}$.
(4)$2(x+5)^2-x(x+5)=0$,
$(x+5)[2(x+5)-x]=0$,
$x+5=0$或$2(x+5)-x=0$,
$\therefore x_1=-5$,$x_2=-10$.
解析
【分析】
这道题要求分别用指定的四种方法求解4个一元二次方程，我们可以按照每种方法的规则逐步推导：
1. 第(1)题用直接开平方法：将方程左边的完全平方式看作整体，直接对等式两边开平方，得到两个互为相反数的结果，拆分得到两个一元一次方程求解即可。
2. 第(2)题用配方法：首先把二次项系数化为1，将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，后续再开平方求解。
3. 第(3)题用公式法：先把原方程展开整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定$a、b、c$的取值，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$验证根的情况，再代入求根公式计算得到根。
4. 第(4)题用因式分解法：先把所有项移到等号左侧，让等号右侧为0，提取公因式$(x+5)$将左侧转化为两个一次因式乘积的形式，令每个因式分别等于0，即可得到两个一元一次方程求解，注意不能直接两边除以$(x+5)$，避免漏掉$x=-5$这个根。
【解析】
(1) 对等式$(x+3)^2=25$两边直接开平方，可得：
$x+3=\pm5$
当$x+3=5$时，解得$x=2$；当$x+3=-5$时，解得$x=-8$。
(2) 用配方法求解$3x^2-2x-1=0$：
第一步：将二次项系数化为1，移项得：$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$
第二步：等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{1}{3})^2$，得：
$x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$
左侧凑完全平方得：$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$
开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{2}{3}$
当$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$时，解得$x=1$；当$x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$时，解得$x=-\frac{1}{3}$。
(3) 用公式法求解$(x+3)(2x-1)=1$：
第一步：展开并整理为一般形式：$2x^2+5x-3-1=0$，即$2x^2+5x-4=0$
可得$a=2$，$b=5$，$c=-4$
计算判别式：$b^2-4ac=5^2-4×2×(-4)=25+32=57＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{4}$
(4) 用因式分解法求解$2(x+5)^2=x(x+5)$：
第一步：移项将右侧所有项移到左侧，得：$2(x+5)^2-x(x+5)=0$
提取公因式$(x+5)$，得：$(x+5)[2(x+5)-x]=0$
化简后得：$(x+5)(x+10)=0$
令两个因式分别为0：$x+5=0$或$x+10=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=-10$
【答案】
(1) $x_1=-8$，$x_2=2$；
(2) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$；
(3) $x_1=\frac{-5+\sqrt{57}}{4}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{57}}{4}$；
(4) $x_1=-5$，$x_2=-10$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、因式分解法与公式法解一元二次方程
【点评】
本题针对性指定了四种一元二次方程的常用解法，核心目的是帮助学生熟练掌握不同解法的操作流程，同时规避常见易错点：比如配方法需先将二次项系数化为1，公式法必须先把方程整理为一般形式再计算判别式，因式分解法不能随意约去含未知数的公因式避免丢根，是巩固一元二次方程基础解法的典型习题。
【难度系数】
0.75
这道题要求分别用指定的四种方法求解4个一元二次方程，我们可以按照每种方法的规则逐步推导：
1. 第(1)题用直接开平方法：将方程左边的完全平方式看作整体，直接对等式两边开平方，得到两个互为相反数的结果，拆分得到两个一元一次方程求解即可。
2. 第(2)题用配方法：首先把二次项系数化为1，将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，后续再开平方求解。
3. 第(3)题用公式法：先把原方程展开整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定$a、b、c$的取值，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$验证根的情况，再代入求根公式计算得到根。
4. 第(4)题用因式分解法：先把所有项移到等号左侧，让等号右侧为0，提取公因式$(x+5)$将左侧转化为两个一次因式乘积的形式，令每个因式分别等于0，即可得到两个一元一次方程求解，注意不能直接两边除以$(x+5)$，避免漏掉$x=-5$这个根。
【解析】
(1) 对等式$(x+3)^2=25$两边直接开平方，可得：
$x+3=\pm5$
当$x+3=5$时，解得$x=2$；当$x+3=-5$时，解得$x=-8$。
(2) 用配方法求解$3x^2-2x-1=0$：
第一步：将二次项系数化为1，移项得：$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$
第二步：等式两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{1}{3})^2$，得：
$x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$
左侧凑完全平方得：$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$
开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{2}{3}$
当$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$时，解得$x=1$；当$x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$时，解得$x=-\frac{1}{3}$。
(3) 用公式法求解$(x+3)(2x-1)=1$：
第一步：展开并整理为一般形式：$2x^2+5x-3-1=0$，即$2x^2+5x-4=0$
可得$a=2$，$b=5$，$c=-4$
计算判别式：$b^2-4ac=5^2-4×2×(-4)=25+32=57＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{-5\pm\sqrt{57}}{4}$
(4) 用因式分解法求解$2(x+5)^2=x(x+5)$：
第一步：移项将右侧所有项移到左侧，得：$2(x+5)^2-x(x+5)=0$
提取公因式$(x+5)$，得：$(x+5)[2(x+5)-x]=0$
化简后得：$(x+5)(x+10)=0$
令两个因式分别为0：$x+5=0$或$x+10=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=-10$
【答案】
(1) $x_1=-8$，$x_2=2$；
(2) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$；
(3) $x_1=\frac{-5+\sqrt{57}}{4}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{57}}{4}$；
(4) $x_1=-5$，$x_2=-10$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、因式分解法与公式法解一元二次方程
【点评】
本题针对性指定了四种一元二次方程的常用解法，核心目的是帮助学生熟练掌握不同解法的操作流程，同时规避常见易错点：比如配方法需先将二次项系数化为1，公式法必须先把方程整理为一般形式再计算判别式，因式分解法不能随意约去含未知数的公因式避免丢根，是巩固一元二次方程基础解法的典型习题。
【难度系数】
0.75
