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12. (10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$.
(1)若$k=-6$,求此方程的解；
(2)若该方程无实数根,求$k$的取值范围.
(1)若$k=-6$,求此方程的解；
(2)若该方程无实数根,求$k$的取值范围.
答案
12. 解:(1)根据题意,得$x^2-2x-6+2=0$,
$x^2-2x-4=0$,
$x^2-2x+1=5$,
$(x-1)^2=5$,
$x-1=\pm\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(2)$\because$一元二次方程$x^2-2x+k+2=0$无实数根,
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4(k+2)＜0$,
解得$k＞-1$,
$\therefore k$的取值范围为$k＞-1$.
$x^2-2x-4=0$,
$x^2-2x+1=5$,
$(x-1)^2=5$,
$x-1=\pm\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(2)$\because$一元二次方程$x^2-2x+k+2=0$无实数根,
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4(k+2)＜0$,
解得$k＞-1$,
$\therefore k$的取值范围为$k＞-1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，我们可以分步梳理思路：
1. 第一问已知k=-6，首先直接把k的数值代入原方程，得到仅含未知数x的一元二次方程，该方程二次项系数为1、一次项系数为-2，选择配方法求解非常简便，通过凑完全平方后直接开方就能得到解，也可以代入求根公式计算。
2. 第二问已知方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质：对于ax²+bx+c=0（a≠0），当判别式Δ=b²-4ac＜0时方程没有实数根，先找出原方程对应的a、b、c的取值，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
【解析】
(1) 将k=-6代入原方程$x^{2}-2x+k+2=0$，可得：
$x^2 - 2x -6 +2 = 0$
整理得：$x^2 -2x -4 = 0$
对等式进行配方，两边同时加1凑完全平方：
$x^2 -2x +1 = 5$
即$(x-1)^2 = 5$
对等式两边直接开平方：$x-1 = \pm\sqrt{5}$
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
(2) 对于一元二次方程$x^2 -2x +k +2 =0$，对应参数a=1，b=-2，c=k+2，
因为方程无实数根，因此根的判别式满足$\Delta = b^2 -4ac ＜ 0$，代入参数得：
$(-2)^2 - 4×1×(k+2) ＜ 0$
化简计算：$4 -4k -8 ＜ 0$，即$-4k ＜4$
两边同时除以-4，注意不等号方向改变，解得$k ＞ -1$，即k的取值范围为$k ＞ -1$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；(2) $k ＞ -1$
【知识点】
一元二次方程求解，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规考题，整体计算量小，第一问可灵活选择配方法、求根公式法完成求解，第二问直接考察根的判别式和根的存在性的对应关系，解题时要注意解不等式两边除以负数时不等号方向需要改变，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，我们可以分步梳理思路：
1. 第一问已知k=-6，首先直接把k的数值代入原方程，得到仅含未知数x的一元二次方程，该方程二次项系数为1、一次项系数为-2，选择配方法求解非常简便，通过凑完全平方后直接开方就能得到解，也可以代入求根公式计算。
2. 第二问已知方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质：对于ax²+bx+c=0（a≠0），当判别式Δ=b²-4ac＜0时方程没有实数根，先找出原方程对应的a、b、c的取值，代入判别式列出关于k的不等式，解不等式就能得到k的取值范围。
【解析】
(1) 将k=-6代入原方程$x^{2}-2x+k+2=0$，可得：
$x^2 - 2x -6 +2 = 0$
整理得：$x^2 -2x -4 = 0$
对等式进行配方，两边同时加1凑完全平方：
$x^2 -2x +1 = 5$
即$(x-1)^2 = 5$
对等式两边直接开平方：$x-1 = \pm\sqrt{5}$
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
(2) 对于一元二次方程$x^2 -2x +k +2 =0$，对应参数a=1，b=-2，c=k+2，
因为方程无实数根，因此根的判别式满足$\Delta = b^2 -4ac ＜ 0$，代入参数得：
$(-2)^2 - 4×1×(k+2) ＜ 0$
化简计算：$4 -4k -8 ＜ 0$，即$-4k ＜4$
两边同时除以-4，注意不等号方向改变，解得$k ＞ -1$，即k的取值范围为$k ＞ -1$。
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；(2) $k ＞ -1$
【知识点】
一元二次方程求解，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规考题，整体计算量小，第一问可灵活选择配方法、求根公式法完成求解，第二问直接考察根的判别式和根的存在性的对应关系，解题时要注意解不等式两边除以负数时不等号方向需要改变，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
13. (10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0.$
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,求$m$的值.
答案
13. (1)证明:$\because x^2-(m+2)x+m-1=0$,
$\therefore a=1$,$b=-(m+2)$,$c=m-1$,
则$b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$.
$\because m^2≥0$,$\therefore m^2+8＞0$,即$b^2-4ac＞0$,
$\therefore$无论$m$取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_1$,$x_2$,则$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$.
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
$\therefore(m+2)^2-3(m-1)=9$.
整理,得$m^2+m-2=0$,
$\therefore(m+2)(m-1)=0$,
解得$m_1=-2$,$m_2=1$.
$\therefore a=1$,$b=-(m+2)$,$c=m-1$,
则$b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8$.
$\because m^2≥0$,$\therefore m^2+8＞0$,即$b^2-4ac＞0$,
$\therefore$无论$m$取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_1$,$x_2$,则$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$.
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
$\therefore(m+2)^2-3(m-1)=9$.
整理,得$m^2+m-2=0$,
$\therefore(m+2)(m-1)=0$,
解得$m_1=-2$,$m_2=1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明无论m取何值方程都有两个不相等的实数根，首先回忆一元二次方程根的情况由判别式Δ=b²-4ac决定，只要证明Δ恒大于0即可，我们先把方程的a、b、c对应找出来，代入Δ化简，最后根据平方的非负性就能得到Δ始终大于0的结论。第二问给出了关于两根的代数式的值，不需要直接求解方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先把待求的代数式通过完全平方公式变形，转化为只含两根之和、两根之积的形式，再把用m表示的两根和、两根积代入，就能得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+2)$，常数项$c=m-1$，
代入根的判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta = b^2 -4ac&=[-(m+2)]^2 -4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4 -4m +4\\&=m^2 +8\end{aligned}$
因为任意实数的平方都满足$m^2≥0$，所以$m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立，
因此无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$，
已知$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=9$，利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2=9$，
将$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$代入上式：
$(m+2)^2 -3(m-1)=9$
展开整理得：
$m^2 +m -2=0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $m$的值为$-2$和$1$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程章节的常规基础题型，第一问重点考察判别式的应用，利用平方的非负性证明判别式恒正，第二问考察两根对称式的恒等变形，不需要直接求根即可得到参数值，由于第一问已经证明判别式恒大于0，因此求解得到的m无需额外验证，整体难度适中，是中考中一元二次方程部分的高频基础考法。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明无论m取何值方程都有两个不相等的实数根，首先回忆一元二次方程根的情况由判别式Δ=b²-4ac决定，只要证明Δ恒大于0即可，我们先把方程的a、b、c对应找出来，代入Δ化简，最后根据平方的非负性就能得到Δ始终大于0的结论。第二问给出了关于两根的代数式的值，不需要直接求解方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先把待求的代数式通过完全平方公式变形，转化为只含两根之和、两根之积的形式，再把用m表示的两根和、两根积代入，就能得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+2)$，常数项$c=m-1$，
代入根的判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta = b^2 -4ac&=[-(m+2)]^2 -4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4 -4m +4\\&=m^2 +8\end{aligned}$
因为任意实数的平方都满足$m^2≥0$，所以$m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立，
因此无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实数根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$，
已知$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=9$，利用完全平方公式变形可得：
$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2=9$，
将$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$代入上式：
$(m+2)^2 -3(m-1)=9$
展开整理得：
$m^2 +m -2=0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $m$的值为$-2$和$1$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程章节的常规基础题型，第一问重点考察判别式的应用，利用平方的非负性证明判别式恒正，第二问考察两根对称式的恒等变形，不需要直接求根即可得到参数值，由于第一问已经证明判别式恒大于0，因此求解得到的m无需额外验证，整体难度适中，是中考中一元二次方程部分的高频基础考法。
【难度系数】
0.6
14.(10分)(2025·南京月考)已知实数$m,n$满足$m^{2}-m-1=0,n^{2}-n-1=0$,且$m≠n$,则$m,n$是方程$x^{2}-x-1=0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知,$m+n=1,mn=-1$.
根据上述材料,解答以下问题:
(1)直接应用:已知实数$a,b$满足$a^{2}-7a+1=0,b^{2}-7b+1=0$,且$a≠b$,则$a+b=$
$ab=$
(2)拓展应用:已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}=7,n^{2}-n=7$,且$mn+1≠0$,求$\frac{mn-1}{m}$的值.
根据上述材料,解答以下问题:
(1)直接应用:已知实数$a,b$满足$a^{2}-7a+1=0,b^{2}-7b+1=0$,且$a≠b$,则$a+b=$
7
,$ab=$
1
,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$7
;(2)拓展应用:已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}=7,n^{2}-n=7$,且$mn+1≠0$,求$\frac{mn-1}{m}$的值.
答案
14. (1)7 1 7
(2)解:由题意,知$(\frac{1}{m})^2+\frac{1}{m}-7=0$,$(-n)^2+(-n)-7=0$.
$\because mn+1≠0$,$\therefore\frac{1}{m}≠-n$,
$\therefore\frac{1}{m},-n$是一元二次方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore\frac{1}{m}+(-n)=-1$,$\therefore\frac{mn-1}{m}=n-\frac{1}{m}=-(\frac{1}{m}-n)=1$.
(2)解:由题意,知$(\frac{1}{m})^2+\frac{1}{m}-7=0$,$(-n)^2+(-n)-7=0$.
$\because mn+1≠0$,$\therefore\frac{1}{m}≠-n$,
$\therefore\frac{1}{m},-n$是一元二次方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore\frac{1}{m}+(-n)=-1$,$\therefore\frac{mn-1}{m}=n-\frac{1}{m}=-(\frac{1}{m}-n)=1$.
解析
【分析】
这道题核心考查构造一元二次方程结合根与系数关系求解的思想，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，观察已知条件a、b满足的等式结构完全一致，且a≠b，直接对应构造出一元二次方程，利用韦达定理直接得到a+b和ab的值，再将待求的1/a +1/b通分，整体代入a+b、ab的结果即可算出答案。
2. 对于第(2)问，需要先对两个已知等式做变形，将它们整理为结构完全相同的一元二次方程形式，再结合条件mn+1≠0判断出两个对应参数是该方程的两个不等实根，利用韦达定理得到两根之和，最后将待求代数式拆分变形，整体代入即可得到结果，全程不需要求解m、n的具体数值。
【解析】
(1) 已知实数a、b满足$a^2-7a+1=0$，$b^2-7b+1=0$，且$a≠b$，根据材料给出的结论，可知a、b是一元二次方程$x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根。
由根与系数的关系可得：
$a+b=7$，$ab=1$；
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分可得：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{1}=7$。
(2) 对已知条件做变形：
① 由$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7$，移项可得$(\frac{1}{m})^2 + \frac{1}{m} -7=0$；
② 由$n^2 -n=7$，移项可得$n^2 -n -7=0$，将式子改写为$(-n)^2 + (-n) -7=0$。
已知$mn+1≠0$，变形可得$m≠-\frac{1}{n}$，即$\frac{1}{m}≠-n$，因此$\frac{1}{m}$和$-n$是一元二次方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，两根之和为$\frac{1}{m} + (-n) = -1$，整理得$\frac{1}{m} -n = -1$。
将待求式$\frac{mn-1}{m}$拆分化简：
$\frac{mn-1}{m} = \frac{mn}{m} - \frac{1}{m} = n - \frac{1}{m} = -(\frac{1}{m} -n)$，代入$\frac{1}{m}-n=-1$可得：
原式$=-(-1)=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式整体代入
【点评】
本题属于材料引导型的代数综合题，重点渗透了“同构构造方程”的数学思想，避免了直接求解变量的复杂运算，考察学生对材料方法的迁移应用能力，第二问的同构变形是本题的难点，需要学生灵活调整等式形式匹配统一的二次方程结构，同时要注意利用给定条件判断两个参数为不等实根，避免出现构造方程的逻辑漏洞。
【难度系数】
0.5
这道题核心考查构造一元二次方程结合根与系数关系求解的思想，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，观察已知条件a、b满足的等式结构完全一致，且a≠b，直接对应构造出一元二次方程，利用韦达定理直接得到a+b和ab的值，再将待求的1/a +1/b通分，整体代入a+b、ab的结果即可算出答案。
2. 对于第(2)问，需要先对两个已知等式做变形，将它们整理为结构完全相同的一元二次方程形式，再结合条件mn+1≠0判断出两个对应参数是该方程的两个不等实根，利用韦达定理得到两根之和，最后将待求代数式拆分变形，整体代入即可得到结果，全程不需要求解m、n的具体数值。
【解析】
(1) 已知实数a、b满足$a^2-7a+1=0$，$b^2-7b+1=0$，且$a≠b$，根据材料给出的结论，可知a、b是一元二次方程$x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根。
由根与系数的关系可得：
$a+b=7$，$ab=1$；
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分可得：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{1}=7$。
(2) 对已知条件做变形：
① 由$\frac{1}{m^2}+\frac{1}{m}=7$，移项可得$(\frac{1}{m})^2 + \frac{1}{m} -7=0$；
② 由$n^2 -n=7$，移项可得$n^2 -n -7=0$，将式子改写为$(-n)^2 + (-n) -7=0$。
已知$mn+1≠0$，变形可得$m≠-\frac{1}{n}$，即$\frac{1}{m}≠-n$，因此$\frac{1}{m}$和$-n$是一元二次方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，两根之和为$\frac{1}{m} + (-n) = -1$，整理得$\frac{1}{m} -n = -1$。
将待求式$\frac{mn-1}{m}$拆分化简：
$\frac{mn-1}{m} = \frac{mn}{m} - \frac{1}{m} = n - \frac{1}{m} = -(\frac{1}{m} -n)$，代入$\frac{1}{m}-n=-1$可得：
原式$=-(-1)=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式整体代入
【点评】
本题属于材料引导型的代数综合题，重点渗透了“同构构造方程”的数学思想，避免了直接求解变量的复杂运算，考察学生对材料方法的迁移应用能力，第二问的同构变形是本题的难点，需要学生灵活调整等式形式匹配统一的二次方程结构，同时要注意利用给定条件判断两个参数为不等实根，避免出现构造方程的逻辑漏洞。
【难度系数】
0.5
