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9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+2=0$的两个实数根分别为$α,β$，且$(2α+1)(2β+1)=21$，求$k$的值.
答案
9.解:$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+2=0$有实数根,
$\therefore [-2(k+1)]^{2}-4× 1× (k^{2}+2)≥ 0$,解得$k≥ \dfrac{1}{2}$.
$\because$方程的两个实数根分别为$α$,$β$,
$\therefore α +β =2k+2$,$α β =k^{2}+2$.
又$\because (2α +1)(2β +1)=21$,$\therefore 4α β +2(α +β )+1=21$,
即$4(k^{2}+2)+2(2k+2)+1=21$,解得$k=1$或$k=-2$.
又$\because k≥ \dfrac{1}{2}$,$\therefore k=1$.
$\therefore [-2(k+1)]^{2}-4× 1× (k^{2}+2)≥ 0$,解得$k≥ \dfrac{1}{2}$.
$\because$方程的两个实数根分别为$α$,$β$,
$\therefore α +β =2k+2$,$α β =k^{2}+2$.
又$\because (2α +1)(2β +1)=21$,$\therefore 4α β +2(α +β )+1=21$,
即$4(k^{2}+2)+2(2k+2)+1=21$,解得$k=1$或$k=-2$.
又$\because k≥ \dfrac{1}{2}$,$\therefore k=1$.
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程根的性质和韦达定理求参数k，解题思路可以按三步走：第一步，题目明确说明方程有两个实数根，所以首先要先计算根的判别式，得到参数k的取值范围，这一步是为了后续排除不符合“有实根”条件的解，避免出错；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），把两根之和α+β、两根之积αβ用含k的代数式表示出来；第三步，把给定的等式(2α+1)(2β+1)展开，将刚才得到的α+β和αβ的表达式代入，得到关于k的一元二次方程，解出k的两个候选值，最后结合第一步得到的k的取值范围，舍去不符合条件的解，就能得到最终正确的k值。
【解析】
解：
1. 先根据方程有两个实数根确定k的取值范围
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+2=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$[-2(k+1)]^2 - 4×1×(k^2+2) ≥ 0$
展开化简得$8k -4 ≥ 0$，解得$k≥ \frac{1}{2}$。
2. 利用韦达定理写出两根和与两根积
∵ α、β是方程的两个实数根，
∴ 由根与系数的关系可得：
$α + β = 2(k+1) = 2k+2$，$αβ = k^2 +2$。
3. 代入给定等式求解k
将$(2α+1)(2β+1)=21$展开整理得：
$4αβ + 2(α+β) +1 =21$。
把$α + β = 2k+2$、$αβ =k^2+2$代入上式：
$4(k^2+2) + 2(2k+2) +1 =21$
化简得$k^2 +k -2=0$，解得$k_1=1$，$k_2=-2$。
4. 结合k的取值范围筛选结果
∵ $k≥ \frac{1}{2}$，$k=-2$不满足该条件，舍去，
∴ k的值为1。
【答案】
$k=1$
【知识点】
一元二次方程判别式；韦达定理
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的常规考题，最容易出错的点是忽略“方程有两个实数根”的前提，跳过判别式的计算，直接解出k=1和k=-2两个值，没有舍去不符合实根条件的k=-2。解题时只要题目明确一元二次方程有实根，都要优先通过判别式锁定参数的取值范围，再结合韦达定理运算，就能避免这类错误。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用一元二次方程根的性质和韦达定理求参数k，解题思路可以按三步走：第一步，题目明确说明方程有两个实数根，所以首先要先计算根的判别式，得到参数k的取值范围，这一步是为了后续排除不符合“有实根”条件的解，避免出错；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），把两根之和α+β、两根之积αβ用含k的代数式表示出来；第三步，把给定的等式(2α+1)(2β+1)展开，将刚才得到的α+β和αβ的表达式代入，得到关于k的一元二次方程，解出k的两个候选值，最后结合第一步得到的k的取值范围，舍去不符合条件的解，就能得到最终正确的k值。
【解析】
解：
1. 先根据方程有两个实数根确定k的取值范围
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+2=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$[-2(k+1)]^2 - 4×1×(k^2+2) ≥ 0$
展开化简得$8k -4 ≥ 0$，解得$k≥ \frac{1}{2}$。
2. 利用韦达定理写出两根和与两根积
∵ α、β是方程的两个实数根，
∴ 由根与系数的关系可得：
$α + β = 2(k+1) = 2k+2$，$αβ = k^2 +2$。
3. 代入给定等式求解k
将$(2α+1)(2β+1)=21$展开整理得：
$4αβ + 2(α+β) +1 =21$。
把$α + β = 2k+2$、$αβ =k^2+2$代入上式：
$4(k^2+2) + 2(2k+2) +1 =21$
化简得$k^2 +k -2=0$，解得$k_1=1$，$k_2=-2$。
4. 结合k的取值范围筛选结果
∵ $k≥ \frac{1}{2}$，$k=-2$不满足该条件，舍去，
∴ k的值为1。
【答案】
$k=1$
【知识点】
一元二次方程判别式；韦达定理
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的常规考题，最容易出错的点是忽略“方程有两个实数根”的前提，跳过判别式的计算，直接解出k=1和k=-2两个值，没有舍去不符合实根条件的k=-2。解题时只要题目明确一元二次方程有实根，都要优先通过判别式锁定参数的取值范围，再结合韦达定理运算，就能避免这类错误。
【难度系数】
0.6
10. 已知 $x_1 , x_2$ 是一元二次方程 $x^2 - 2x + k + 2 = 0$ 的两个实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围.
(2)是否存在实数 $k$,使得等式 $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = k - 2$ 成立? 如果存在,请求出 $k$ 的值; 如果不存在,请说明理由.
(1)求 $k$ 的取值范围.
(2)是否存在实数 $k$,使得等式 $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = k - 2$ 成立? 如果存在,请求出 $k$ 的值; 如果不存在,请说明理由.
答案
10.解:(1)$\because$一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$有两个实数根,
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4× 1× (k+2)≥ 0$,解得$k≤ -1$.
(2)存在.$\because x_{1}$,$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=k+2$.
$\because \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=k-2$,$\therefore \dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{2}{k+2}=k-2$,
$\therefore k^{2}-6=0$,解得$k_{1}=-\sqrt{6}$,$k_{2}=\sqrt{6}$.
又$\because k≤ -1$,$\therefore k=-\sqrt{6}$,
$\therefore$存在这样的实数$k$,使得等式$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=k-2$成立,
$k$的值为$-\sqrt{6}$.
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4× 1× (k+2)≥ 0$,解得$k≤ -1$.
(2)存在.$\because x_{1}$,$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=k+2$.
$\because \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=k-2$,$\therefore \dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{2}{k+2}=k-2$,
$\therefore k^{2}-6=0$,解得$k_{1}=-\sqrt{6}$,$k_{2}=\sqrt{6}$.
又$\because k≤ -1$,$\therefore k=-\sqrt{6}$,
$\therefore$存在这样的实数$k$,使得等式$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=k-2$成立,
$k$的值为$-\sqrt{6}$.
解析
【分析】
这道题分两小问逐步思考即可：
1. 第一问求k的取值范围，已知该一元二次方程有两个实数根，直接联想到一元二次方程根的判别式性质：当判别式Δ≥0时，方程存在两个实数根，代入方程对应系数列出关于k的不等式，求解就能得到k的取值范围。
2. 第二问判断是否存在满足条件的k，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之和、两根之积的表达式，再把待求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于k的分式方程，解出k的值后，必须结合第一问得到的k的取值范围筛选，舍去不符合方程有实根前提的解，最终即可判断是否存在符合条件的k。
【解析】
(1) 已知一元二次方程 $x^2 - 2x + k + 2 = 0$ 有两个实数根，
根据一元二次方程根的判别式性质，可得 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=k+2$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(k+2) ≥ 0$
化简计算：$4 - 4k - 8 ≥ 0$，即 $-4k ≥ 4$，
解得：$k ≤ -1$。
(2) 存在符合条件的k，推导如下：
由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = k + 2$，
对 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 通分变形得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = k - 2$，可得：
$\frac{2}{k+2} = k - 2$
两边同乘 $k+2$ 整理得：
$2 = (k-2)(k+2)$
即 $k^2 - 4 = 2$，$k^2 = 6$，
解得 $k_1 = -\sqrt{6}$，$k_2 = \sqrt{6}$，
结合第一问得到的取值范围 $k ≤ -1$，可知 $\sqrt{6} ＞ -1$，不符合条件舍去，
而 $-\sqrt{6} \approx -2.45 ≤ -1$，满足方程有实根的要求，
因此存在符合条件的实数$k$。
【答案】
(1) $k ≤ -1$；(2) 存在，$k$的值为$-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，分式通分运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题型，核心考察根的判别式和韦达定理的应用，易错点是第二问解出k的两个值后，容易忽略第一问得到的k的取值范围，直接保留两个解导致错误，提醒学生在利用韦达定理解题时，必须优先保证方程有实根，对得到的参数结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
这道题分两小问逐步思考即可：
1. 第一问求k的取值范围，已知该一元二次方程有两个实数根，直接联想到一元二次方程根的判别式性质：当判别式Δ≥0时，方程存在两个实数根，代入方程对应系数列出关于k的不等式，求解就能得到k的取值范围。
2. 第二问判断是否存在满足条件的k，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之和、两根之积的表达式，再把待求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于k的分式方程，解出k的值后，必须结合第一问得到的k的取值范围筛选，舍去不符合方程有实根前提的解，最终即可判断是否存在符合条件的k。
【解析】
(1) 已知一元二次方程 $x^2 - 2x + k + 2 = 0$ 有两个实数根，
根据一元二次方程根的判别式性质，可得 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中 $a=1$，$b=-2$，$c=k+2$，代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(k+2) ≥ 0$
化简计算：$4 - 4k - 8 ≥ 0$，即 $-4k ≥ 4$，
解得：$k ≤ -1$。
(2) 存在符合条件的k，推导如下：
由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = k + 2$，
对 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ 通分变形得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = k - 2$，可得：
$\frac{2}{k+2} = k - 2$
两边同乘 $k+2$ 整理得：
$2 = (k-2)(k+2)$
即 $k^2 - 4 = 2$，$k^2 = 6$，
解得 $k_1 = -\sqrt{6}$，$k_2 = \sqrt{6}$，
结合第一问得到的取值范围 $k ≤ -1$，可知 $\sqrt{6} ＞ -1$，不符合条件舍去，
而 $-\sqrt{6} \approx -2.45 ≤ -1$，满足方程有实根的要求，
因此存在符合条件的实数$k$。
【答案】
(1) $k ≤ -1$；(2) 存在，$k$的值为$-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，分式通分运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题型，核心考察根的判别式和韦达定理的应用，易错点是第二问解出k的两个值后，容易忽略第一问得到的k的取值范围，直接保留两个解导致错误，提醒学生在利用韦达定理解题时，必须优先保证方程有实根，对得到的参数结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
11.若菱形$ABCD$的一条对角线长为8,边$CD$的长是方程$x^{2}-10x+24=0$的一个根,则菱形$ABCD$的周长为
24
.答案
11.24
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分为三步：第一步先求解给出的一元二次方程，得到边CD的两个可能取值；第二步结合菱形的性质，菱形四条边长度相等，同时菱形的任意一组邻边和对应对角线可以构成三角形，利用三角形三边关系对两个可能的边长逐一验证，排除不符合几何规则的取值；第三步用合法的边长乘以4，即可得到菱形的周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 - 10x + 24 = 0$因式分解，得$(x-4)(x-6)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=6$，即边CD的可能取值为4或6。
2. 结合几何性质验证边长合理性：
已知菱形的一条对角线长为8：
① 若边长CD=4，根据菱形四边相等，和这条长为8的对角线组成三角形的另外两条边长也为4，此时$4+4=8$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若边长CD=6，对应组成三角形的另外两条边长为6，此时$6+6＞8$、$6+8＞6$，满足三角形三边关系，可以构成菱形，符合要求。
3. 计算菱形周长：
菱形边长为6，因此周长$=4×6=24$。
【答案】24
【知识点】一元二次方程求解，菱形性质，三角形三边关系
【点评】本题的易错点是直接将方程的根当作菱形边长计算周长，忽略了菱形边长与对角线需要满足三角形三边关系的隐含约束，解题时必须对得到的边长取值做合理性验证，避免出现错解。
【难度系数】0.6
这道题的解题思路可以分为三步：第一步先求解给出的一元二次方程，得到边CD的两个可能取值；第二步结合菱形的性质，菱形四条边长度相等，同时菱形的任意一组邻边和对应对角线可以构成三角形，利用三角形三边关系对两个可能的边长逐一验证，排除不符合几何规则的取值；第三步用合法的边长乘以4，即可得到菱形的周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 - 10x + 24 = 0$因式分解，得$(x-4)(x-6)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=6$，即边CD的可能取值为4或6。
2. 结合几何性质验证边长合理性：
已知菱形的一条对角线长为8：
① 若边长CD=4，根据菱形四边相等，和这条长为8的对角线组成三角形的另外两条边长也为4，此时$4+4=8$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若边长CD=6，对应组成三角形的另外两条边长为6，此时$6+6＞8$、$6+8＞6$，满足三角形三边关系，可以构成菱形，符合要求。
3. 计算菱形周长：
菱形边长为6，因此周长$=4×6=24$。
【答案】24
【知识点】一元二次方程求解，菱形性质，三角形三边关系
【点评】本题的易错点是直接将方程的根当作菱形边长计算周长，忽略了菱形边长与对角线需要满足三角形三边关系的隐含约束，解题时必须对得到的边长取值做合理性验证，避免出现错解。
【难度系数】0.6
12. 若$△ ABC$的一条边$BC$的长为5,另两边$AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根,当$k=$
2或11
时,$△ ABC$是直角三角形.答案
12.2或11
解析
【分析】
解题时首先先对给定的一元二次方程因式分解，直接得到AB、AC两条边的长度表达式，可知两条边分别为k+1和k+2，且k+2＞k+1＞0。由于题目没有明确指定直角三角形的斜边，已知BC边长为5，因此需要分类讨论：第一种情况是BC作为斜边，第二种情况是三条边中最长的边AC作为斜边，不存在更短的AB作为斜边的可能，分别代入勾股定理列方程求解k，最后验证边长为正、符合三角形三边关系即可得到最终结果。
【解析】
1. 先求解一元二次方程：
对$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$因式分解，可得：
$[x-(k+1)][x-(k+2)]=0$
解得方程两个根为$x_1=k+1$，$x_2=k+2$，不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$，由边长为正可得$k+1＞0$，即$k＞-1$。
2. 分情况讨论直角三角形：
情况1：BC为斜边，即$∠ A=90°$，根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得：
$(k+1)^2+(k+2)^2=5^2$
展开整理得：$2k^2+6k-20=0$，即$k^2+3k-10=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$，结合$k＞-1$舍去$k=-5$，得$k=2$。
情况2：AC为斜边（AC是三条边中最长边），即$∠ B=90°$，根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，代入得：
$(k+1)^2+5^2=(k+2)^2$
展开整理得：$2k=22$，解得$k=11$，此时三边长为5、12、13，满足勾股定理，也符合三角形三边关系。
由于$AB＜AC$，AB不可能作为最长斜边，无需额外讨论。
综上可得k的值为2或11。
【答案】2或11
【知识点】一元二次方程求解，勾股定理，分类讨论思想
【点评】本题的易错点是容易遗漏斜边为AC的情况，仅计算BC为斜边得到k=2就结束，解题时要注意题目没有指定斜边，必须结合边的大小关系完整分类讨论，同时要注意边长为正的隐含条件，舍去不符合实际的负根。
【难度系数】0.4
解题时首先先对给定的一元二次方程因式分解，直接得到AB、AC两条边的长度表达式，可知两条边分别为k+1和k+2，且k+2＞k+1＞0。由于题目没有明确指定直角三角形的斜边，已知BC边长为5，因此需要分类讨论：第一种情况是BC作为斜边，第二种情况是三条边中最长的边AC作为斜边，不存在更短的AB作为斜边的可能，分别代入勾股定理列方程求解k，最后验证边长为正、符合三角形三边关系即可得到最终结果。
【解析】
1. 先求解一元二次方程：
对$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$因式分解，可得：
$[x-(k+1)][x-(k+2)]=0$
解得方程两个根为$x_1=k+1$，$x_2=k+2$，不妨设$AB=k+1$，$AC=k+2$，由边长为正可得$k+1＞0$，即$k＞-1$。
2. 分情况讨论直角三角形：
情况1：BC为斜边，即$∠ A=90°$，根据勾股定理$AB^2+AC^2=BC^2$，代入得：
$(k+1)^2+(k+2)^2=5^2$
展开整理得：$2k^2+6k-20=0$，即$k^2+3k-10=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-5$，结合$k＞-1$舍去$k=-5$，得$k=2$。
情况2：AC为斜边（AC是三条边中最长边），即$∠ B=90°$，根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，代入得：
$(k+1)^2+5^2=(k+2)^2$
展开整理得：$2k=22$，解得$k=11$，此时三边长为5、12、13，满足勾股定理，也符合三角形三边关系。
由于$AB＜AC$，AB不可能作为最长斜边，无需额外讨论。
综上可得k的值为2或11。
【答案】2或11
【知识点】一元二次方程求解，勾股定理，分类讨论思想
【点评】本题的易错点是容易遗漏斜边为AC的情况，仅计算BC为斜边得到k=2就结束，解题时要注意题目没有指定斜边，必须结合边的大小关系完整分类讨论，同时要注意边长为正的隐含条件，舍去不符合实际的负根。
【难度系数】0.4
13. 在等腰$△ ABC$中,三边长分别为$a,b,c$,其中$a=5$,若关于$x$的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根,求$△ ABC$的周长.
答案
13.解:$\because$关于$x$的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根,$\therefore (b+2)^{2}-4(6-b)=0$,即$b^{2}+8b-20=0$,
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底边长,$b$为腰长时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立;
②当$b$为底边长,$a$为腰长时,5,5,2能够构成三角形,此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上所述,$△ ABC$的周长是12.
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底边长,$b$为腰长时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立;
②当$b$为底边长,$a$为腰长时,5,5,2能够构成三角形,此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上所述,$△ ABC$的周长是12.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“方程有两个相等的实数根”切入，回忆一元二次方程根的判别式性质，令判别式Δ=0，代入方程系数列出关于b的方程，解出b的两个根后，根据三角形边长为正的要求舍去负根，得到b的合法取值。接下来结合等腰三角形的性质，已知a=5，分两种情况讨论：第一种是a为底边、b为腰，第二种是b为底边、a为腰，每一种情况都用三角形三边关系“两边之和大于第三边”验证三边能否组成三角形，排除不成立的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴该方程的根的判别式$\Delta=0$，即：
$(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$
展开整理得：$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$。
∵三角形边长为正数，因此$b=-10$不符合实际，舍去，即$b=2$。
接下来分两种情况讨论等腰$△ ABC$的三边：
① 当$a=5$为底边长，$b=2$为腰长时，三边长为2、2、5，此时$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立；
② 当$b=2$为底边长，$a=5$为腰长时，三边长为5、5、2，满足任意两边之和大于第三边，可以构成三角形，此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$。
综上所述，$△ ABC$的周长是12。
【答案】12
【知识点】一元二次方程判别式；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】本题是一元二次方程和等腰三角形的综合基础题，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是求出b的取值后直接默认三边合法，忽略用三边关系验证能否构成三角形，容易误得到周长为9的错误结果，解题时要注意边长的非负性和三角形构成的前提条件。
【难度系数】0.6
解题时先从已知条件“方程有两个相等的实数根”切入，回忆一元二次方程根的判别式性质，令判别式Δ=0，代入方程系数列出关于b的方程，解出b的两个根后，根据三角形边长为正的要求舍去负根，得到b的合法取值。接下来结合等腰三角形的性质，已知a=5，分两种情况讨论：第一种是a为底边、b为腰，第二种是b为底边、a为腰，每一种情况都用三角形三边关系“两边之和大于第三边”验证三边能否组成三角形，排除不成立的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$x^{2}+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴该方程的根的判别式$\Delta=0$，即：
$(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$
展开整理得：$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$。
∵三角形边长为正数，因此$b=-10$不符合实际，舍去，即$b=2$。
接下来分两种情况讨论等腰$△ ABC$的三边：
① 当$a=5$为底边长，$b=2$为腰长时，三边长为2、2、5，此时$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况不成立；
② 当$b=2$为底边长，$a=5$为腰长时，三边长为5、5、2，满足任意两边之和大于第三边，可以构成三角形，此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$。
综上所述，$△ ABC$的周长是12。
【答案】12
【知识点】一元二次方程判别式；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】本题是一元二次方程和等腰三角形的综合基础题，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是求出b的取值后直接默认三边合法，忽略用三边关系验证能否构成三角形，容易误得到周长为9的错误结果，解题时要注意边长的非负性和三角形构成的前提条件。
【难度系数】0.6
