1.若一元二次方程$(k-3)x^{2}+3x+k^{2}-9=0$的一个根为0,则$k$的值为（）

A.0
B.3
C.$-3$
D.3或$-3$

1.C

【分析】
我们可以分两步思考这道题：首先根据方程的根的定义，已知x=0是方程的根，把x=0代入原方程，就能得到关于k的等式，解出k的所有候选取值。接着注意题目明确说明这是一元二次方程，一元二次方程的核心要求是二次项系数不能为0，我们需要用这个条件对刚才得到的候选k值做筛选，排除不符合要求的取值，就能得到正确的k值。
【解析】
1. 代入根求解候选k值
因为x=0是方程$(k-3)x^{2}+3x+k^{2}-9=0$的根，将x=0代入原方程可得：
$(k-3)×0^2 + 3×0 + k^2 -9 = 0$
化简得$k^2=9$，解得$k=3$或$k=-3$。
2. 根据一元二次方程定义筛选k值
一元二次方程的二次项系数不能为0，因此有：
$k-3 ≠ 0$
即$k≠3$。
3. 综合两步结果，排除k=3，最终得到k=-3。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，方程的根的性质
【点评】
本题属于易错题，很多同学代入根算出k=3和k=-3之后，会直接错选D选项，遗漏了一元二次方程二次项系数不为0的隐藏限制条件，解题时遇到一元二次方程相关问题，要首先确认二次项系数不为0，避免漏掉关键限制条件。
【难度系数】
0.6

2. 关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（）

A.$m≤ 4$
B.$m≥ 4$
C.$m≥ -4$且$m≠ 2$
D.$m≤ 4$且$m≠ 2$

2.D

【分析】
拿到这道题首先要抓住两个核心限定条件：第一，题目明确说明这是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；第二，方程有两个实数根，说明根的判别式非负。解题思路就是先根据一元二次方程的定义列出第一个限制条件，再根据根的判别式≥0列出第二个不等式，分别求解后取两个条件的交集，就能得到m的取值范围，最终匹配对应选项。
【解析】
解：
1. 满足一元二次方程的前提：
已知方程$(m-2)x^{2}+4x+2=0$是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 根据方程有两个实数根计算判别式范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，有两个实数根时判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 ≥ 0$ 化简计算： $$16 - 8(m-2) ≥ 0$
$$16 -8m +16 ≥ 0$ $$32 -8m ≥ 0$
解得$m≤4$。
3. 综合两个条件，得到m的取值范围是$m≤4$且$m≠2$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程定义，根的判别式
【点评】本题的高频易错点是容易忽略“一元二次方程”的隐含要求，漏掉二次项系数不为0的限制，仅通过判别式得到$m≤4$就错选A，解题时要先确认方程类型，再结合根的情况列不等式，避免遗漏限定条件。
【难度系数】0.7

3. 已知方程$(n-3)x^{|n|-1}+3x+3n=0$是关于$x$的一元二次方程，则$n=$.

3.-3

【分析】
要确定n的取值，我们需要紧扣一元二次方程的定义来推导：首先，一元二次方程要求未知数x的最高次数为2，因此可以先让方程中最高次项的指数等于2，列出关于n的第一个方程；其次，要保证二次项真实存在，不能出现二次项系数为0的情况，否则方程就不存在二次项，不再是一元二次方程，因此需要额外满足二次项系数不等于0的条件，最后取两个条件的公共解就能得到正确的n值。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：
即 $|n| - 1 = 2$
移项得 $|n| = 3$，解得 $n=3$ 或 $n=-3$
2. 二次项系数不为0：
二次项为$(n-3)x^2$，因此系数需满足 $n - 3 ≠ 0$，即 $n ≠ 3$
综合两个条件，排除$n=3$，可得$n=-3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程定义，绝对值运算
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础易错题，核心易错点是容易忽略“二次项系数不能为0”的隐藏约束，直接由指数条件得到n=±3的错误结果，解题时要牢记判断一元二次方程必须同时满足次数要求和二次项非零两个要求。
【难度系数】
0.6

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为 0.
求:(1)$m$ 的值;
(2)一元二次方程的解.

4.解:(1)由题意,得$m^{2}-3m+2=0$,解得$m=2$或$m=1$.
由$m-1≠0$,得$m≠1,\therefore m=2$.
(2)当$m=2$时,原方程为$x^{2}+5x=0$,$x(x+5)=0$,
解得$x_{1}=0$,$x_{2}=-5$.

【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：首先解决第一问求m的值，题目给出两个核心限定条件，一是该方程是一元二次方程，二是方程的常数项为0。先利用“常数项为0”的条件列出关于m的方程，解出所有候选的m值，之后必须结合一元二次方程的定义，排除让二次项系数为0的m值，就能得到正确的m。第二问把求出的m代回原方程，得到具体的一元二次方程，用因式分解法即可快速求出方程的解。
【解析】
(1) 由方程的常数项为0，可得：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得$(m-1)(m-2)=0$，解得$m=1$或$m=2$。
又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$m-1 ≠ 0$，也就是$m ≠ 1$
舍去不符合要求的$m=1$，最终得到$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原方程，可得：
$(2-1)x^2 +5x + 2^2 - 3×2 +2 = 0$，化简得$x^2 +5x = 0$
对左侧因式分解得$x(x+5)=0$，令两个因式分别为0：
$x=0$ 或 $x+5=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-5$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 方程的解为$x_1=0$，$x_2=-5$
【知识点】
一元二次方程定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的高频易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐藏条件，直接把m=1也作为合法解导致失分，解题时要牢记一元二次方程的隐含要求，后续求解方程时选择因式分解法计算更简便，也不容易漏根。
【难度系数】
0.7

5. 若 $m$ 是非负整数,且关于 $x$ 的方程 $(m-1)x^2-2mx+m+2=0$ 有两个实数根,求 $m$ 的值及方程的根.

5.解:$\because (m-1)x^{2}-2mx+m+2=0$有两个实数根,
$\therefore b^{2}-4ac≥ 0$,
即$4m^{2}-4× (m-1)(m+2)=4m^{2}-4m^{2}-4m+8=$$-4m+8≥ 0$,解得$m≤ 2$.
$\because m$是非负整数,且$m-1≠0$,$\therefore m=0$或$m=2$.
当$m=0$时,$-x^{2}+2=0$,解得$x_{1}=\sqrt{2}$,$x_{2}=-\sqrt{2}$;
当$m=2$时,$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2$.

【分析】
这道题的核心条件是“方程有两个实数根”，首先要明确：有两个实数根说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，其次一元二次方程有实根要求判别式Δ≥0。我们可以先结合这两个条件，再搭配“m是非负整数”的限定，筛选出所有符合要求的m值，最后把得到的m分别代入原方程，求解对应的根即可，解题时要注意不能漏掉二次项系数不为0的隐含条件。
【解析】
∵方程$(m-1)x^2-2mx+m+2=0$有两个实数根，
∴该方程是一元二次方程，需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$m-1≠0$，即$m≠1$
2. 判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+2$
代入计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2m)^2 - 4×(m-1)(m+2)\\&=4m^2 -4(m^2 +m -2)\\&=4m^2 -4m^2 -4m +8\\&=-4m+8\end{aligned}$
由$\Delta≥0$得$-4m+8≥0$，解得$m≤2$。
又
∵m是非负整数，即$m≥0$且为整数，结合$m≠1$、$m≤2$，可得符合条件的m取值为$m=0$或$m=2$。
分情况代入求解方程：
① 当$m=0$时，原方程为$-x^2 +2=0$，整理得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2 -4x +4=0$，整理得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$。
【答案】
m的值为0或2；当m=0时，方程的根为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$；当m=2时，方程的根为$x_1=x_2=2$。
【知识点】
一元二次方程判别式，一元二次方程定义，解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是忽略“有两个实数根”隐含的二次项系数不为0的要求，容易误将m=1纳入可选范围，同时计算判别式展开时要注意符号运算，避免出现计算错误，整体属于基础的一元二次方程限定条件求解类题型。
【难度系数】
0.6

6. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^2+(1-k)x-1=0$,下列说法正确的是（）

A.当 $k=0$ 时,方程无解
B.当 $k=1$ 时,方程有一个实数解
C.当 $k=-1$ 时,方程有两个相等的实数解
D.当 $k≠0$ 时,方程总有两个不相等的实数解

6.C

【分析】
这道题是含参数的整式方程根的判定类题目，解题思路如下：首先要明确，当二次项系数k=0时，原方程不再是二次方程，而是一元一次方程，不能直接套用一元二次方程根的判别式规则；当k≠0时，原方程是标准的一元二次方程，可以通过计算根的判别式Δ的取值来判断根的情况。我们只需要将每个选项给出的k值分别代入原方程，逐一验证对应的根的描述是否正确，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
1. 验证选项A：当k=0时，原方程变为$x - 1 = 0$，解得$x=1$，方程有唯一实数解，并非无解，因此A选项说法错误。
2. 验证选项B：当k=1时，将k=1代入原方程得$x^2 - 1 = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，方程有两个不相等的实数解，并非只有一个实数解，因此B选项说法错误。
3. 验证选项C：当k=-1时，将k=-1代入原方程得$-x^2 + 2x - 1 = 0$，整理为$x^2 - 2x + 1 = 0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$，方程有两个相等的实数解，因此C选项说法正确。
4. 验证选项D：当k≠0时，计算一元二次方程的判别式$\Delta=(1-k)^2 - 4· k·(-1) = k^2 - 2k + 1 +4k = (k+1)^2$，显然$\Delta=(k+1)^2≥0$，当k=-1时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数解，并非总有两个不相等的实数解，因此D选项说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元一次方程的解
【点评】
本题的易错点是容易直接默认方程是一元二次方程，忽略二次项系数k可以取0，此时方程退化为一元一次方程的情况，同时部分同学计算判别式时容易算错，没有发现判别式是完全平方式可以取到0，导致误选D，解题时要注意对参数分类讨论，区分一次方程和二次方程的判定规则。
【难度系数】
0.7

7. 已知等式$(m+2)x^{2}+2mx+1=0$，其中$m$为常数，当有且只有一个$x$值满足等式时，$m$的值是。

7.-2或-1或2

【分析】
我们要得到“有且只有一个x值满足等式”的结果，不能直接默认该等式是一元二次方程，需要分两类讨论：第一类是等式为一元一次方程的情况，此时二次项系数为0，一元一次方程在一次项系数不为0时必然只有唯一解，满足条件；第二类是等式为一元二次方程的情况，此时二次项系数不为0，一元二次方程有且仅有一个解的等价条件是根的判别式Δ=0，也就是存在两个相等的实数根，此时也只有一个x值满足等式，最后汇总两类情况得到的所有符合要求的m值即可。
【解析】
我们分两种情况进行讨论：
1. 当等式为一元一次方程时：
此时二次项系数为0，即 $ m+2=0 $，解得 $ m=-2 $。
将$ m=-2 $代入原等式，得：$ -4x +1 =0 $，该一元一次方程仅有唯一解$ x=\frac{1}{4} $，符合“有且只有一个x值满足等式”的要求。
2. 当等式为一元二次方程时：
此时二次项系数不为0，即 $ m+2 ≠ 0 $，也就是$ m ≠ -2 $。
对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0 $，有且仅有一个实数解的条件是判别式$ \Delta = b^2-4ac=0 $，本题中$ a=m+2 $，$ b=2m $，$ c=1 $，代入得：
$\Delta=(2m)^2 - 4×(m+2)×1 = 0$
化简得：$ 4m^2 -4m -8 = 0 $，两边同除以4得$ m^2 -m -2=0 $，因式分解得$ (m-2)(m+1)=0 $，解得$ m=2 $或$ m=-1 $，两个解都满足$ m≠-2 $的前提，此时方程有两个相等的实数根，也满足“有且只有一个x值满足等式”的要求。
综上，符合条件的m的值为-2或-1或2。
【答案】
-2或-1或2
【知识点】
一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是很多同学会直接默认该方程是一元二次方程，直接用判别式求解，漏掉二次项系数为0时的一元一次方程的特殊情况，导致漏解。处理含参数的整式方程的解的个数问题时，要优先判断方程的次数，分一次、二次两类情况分别验证，才能得到全部正确结果。
【难度系数】
0.4

8. 关于$x$的方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}-2=0$的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，且$(x_{1}-2)(x_{1}-x_{2})=0$，则$k$的值是.

8.-2或$-\dfrac{9}{4}$

【分析】
解题思路如下：首先根据乘积为0的性质，由$(x_1-2)(x_1-x_2)=0$可拆分出两种不同的情况：第一种是$x_1=2$，即2是原方程的一个实根；第二种是$x_1=x_2$，即原方程有两个相等的实数根。首先我们需要先根据一元二次方程有实根的前提，计算出判别式的取值范围，得到k的取值边界，再分别对两种情况代入计算k的值，最后验证得到的k是否满足实根要求，舍去不符合的结果即可得到最终答案。
【解析】
解：首先计算原方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}-2=0$的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2-2)\\&=4k^2+4k+1-4k^2+8\\&=4k+9\end{aligned}$
因为方程存在两个实根$x_1,x_2$，因此要求$\Delta≥0$，即$4k+9≥0$，解得$k≥-\frac{9}{4}$。
接下来分两种情况讨论：
1. 当$x_1-2=0$，即$x_1=2$时，将$x=2$代入原方程：
$$2^2 + 2(2k+1) +k^2 -2 =0$ 整理得：$k^2+4k+4=0$，即$(k+2)^2=0$，解得$k=-2$。 验证：$-2≥-\frac{9}{4}$，满足实根条件，有效。2. 当$x_1-x_2=0$，即$x_1=x_2$时，说明方程有两个相等的实根，此时$\Delta=0$： $$4k+9=0$
解得$k=-\frac{9}{4}$。
验证：$-\frac{9}{4}≥-\frac{9}{4}$，满足实根条件，有效。
综上，k的值为$-2$或$-\frac{9}{4}$。
【答案】
$-2$或$-\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程判别式，方程根的定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏“两根相等”的情况，很多同学仅考虑到2是方程根的第一种情况，漏掉第二种情况导致少解，解题前先确定判别式的取值范围，可以避免后续得到不符合实根要求的无效解，是这类题的重要解题习惯。
【难度系数】
0.4