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1. 下列说法正确的是（
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
B
）A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道圆相关的概念辨析题，我们可以逐个对照相关概念对每个选项进行排查判断：首先回忆确定圆的前提条件，再结合三角形外接圆、四边形外接圆、圆的内接三角形的定义逐一验证，排除错误选项就能得到正确答案。首先判断A选项，要注意三点确定一个圆是有前提的；再看B选项，三角形三个顶点天然不共线，刚好符合三点定圆的要求；接着看C选项，不是所有四边形都满足四个顶点共圆的条件；最后看D选项，一个圆上有无数个点，能组成的内接三角形数量是无限的，这样就能把所有选项的对错梳理清楚。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：“三点确定一个圆”的表述缺少前提条件，只有不在同一条直线上的三点才能确定唯一的圆，若三点处于同一直线上，不存在同时经过这三个点的圆，因此A错误。
2. 选项B：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，完全满足“不在同一直线上的三点确定一个圆”的要求，因此三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点（外心），B表述正确。
3. 选项C：只有对角互补的四边形才存在外接圆，并非所有四边形都有外接圆，例如普通的凹四边形、对角不互补的凸四边形都无法作出同时经过四个顶点的圆，因此C错误。
4. 选项D：在同一个圆上任意选取三个不共线的点，都可以构成该圆的内接三角形，一个圆上有无数个点，因此圆有无数个内接三角形，D表述错误。
【答案】
B
【知识点】
三点定圆，三角形外接圆，圆的内接多边形
【点评】
本题属于圆章节的基础概念考察题，重点检验学生对核心概念的准确掌握程度，易错点是容易忽略“三点定圆”的隐含前提，混淆三角形外接圆的唯一性和圆的内接三角形的多样性，做题时要牢记每个概念的限定条件，避免概念混淆丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道圆相关的概念辨析题，我们可以逐个对照相关概念对每个选项进行排查判断：首先回忆确定圆的前提条件，再结合三角形外接圆、四边形外接圆、圆的内接三角形的定义逐一验证，排除错误选项就能得到正确答案。首先判断A选项，要注意三点确定一个圆是有前提的；再看B选项，三角形三个顶点天然不共线，刚好符合三点定圆的要求；接着看C选项，不是所有四边形都满足四个顶点共圆的条件；最后看D选项，一个圆上有无数个点，能组成的内接三角形数量是无限的，这样就能把所有选项的对错梳理清楚。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：“三点确定一个圆”的表述缺少前提条件，只有不在同一条直线上的三点才能确定唯一的圆，若三点处于同一直线上，不存在同时经过这三个点的圆，因此A错误。
2. 选项B：任意三角形的三个顶点都不在同一条直线上，完全满足“不在同一直线上的三点确定一个圆”的要求，因此三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点（外心），B表述正确。
3. 选项C：只有对角互补的四边形才存在外接圆，并非所有四边形都有外接圆，例如普通的凹四边形、对角不互补的凸四边形都无法作出同时经过四个顶点的圆，因此C错误。
4. 选项D：在同一个圆上任意选取三个不共线的点，都可以构成该圆的内接三角形，一个圆上有无数个点，因此圆有无数个内接三角形，D表述错误。
【答案】
B
【知识点】
三点定圆，三角形外接圆，圆的内接多边形
【点评】
本题属于圆章节的基础概念考察题，重点检验学生对核心概念的准确掌握程度，易错点是容易忽略“三点定圆”的隐含前提，混淆三角形外接圆的唯一性和圆的内接三角形的多样性，做题时要牢记每个概念的限定条件，避免概念混淆丢分。
【难度系数】
0.8
2. (2025·工业园区月考)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
2. A
解析
【分析】
要选出能配到和原圆形镜子大小一致的碎片，核心思路是回忆确定圆的条件：要确定一个圆的位置和大小，需要找到圆心和半径，而不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆。我们只需要判断哪块碎片保留了足够长的原圆周弧，能在这段弧上选取3个不共线的点，就可以通过作弦的垂直平分线找到圆心，进而得到原圆的半径。观察三块碎片：①号碎片带有一段连续的、长度足够的原圆弧，完全可以在这段弧上取3个不共线的点来确定原圆；②和③号碎片保留的圆弧段过短，无法满足取点确定圆心的要求，因此就能选出正确答案。
【解析】
要复原和原来完全相同的圆形镜子，本质是确定原圆的圆心和半径：
根据不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，只要碎片上保留了足够长的连续原圆周弧，就可以在这段弧上任取3个不共线的点，连接其中两点得到两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，进而可以求出原圆的半径，得到和原镜子完全一致的圆。
对比三块碎片：
1. 碎片①保留了足够长的连续原圆弧，满足取点确定圆心和半径的条件，可以复原原圆；
2. 碎片②、③保留的圆弧段长度不足，无法通过取点确定原圆的圆心和半径，不能复原原圆。
因此最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是①。
【答案】
A
【知识点】
三点确定一个圆
【点评】
本题结合生活实际场景考察确定圆的定理的应用，解题关键是理解“足够长的连续圆弧才能提供圆周上不共线的三个点，进而确定完整的圆”，将几何知识点和生活应用结合，帮助学生加深对三点确定圆定理的实际应用理解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要选出能配到和原圆形镜子大小一致的碎片，核心思路是回忆确定圆的条件：要确定一个圆的位置和大小，需要找到圆心和半径，而不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆。我们只需要判断哪块碎片保留了足够长的原圆周弧，能在这段弧上选取3个不共线的点，就可以通过作弦的垂直平分线找到圆心，进而得到原圆的半径。观察三块碎片：①号碎片带有一段连续的、长度足够的原圆弧，完全可以在这段弧上取3个不共线的点来确定原圆；②和③号碎片保留的圆弧段过短，无法满足取点确定圆心的要求，因此就能选出正确答案。
【解析】
要复原和原来完全相同的圆形镜子，本质是确定原圆的圆心和半径：
根据不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，只要碎片上保留了足够长的连续原圆周弧，就可以在这段弧上任取3个不共线的点，连接其中两点得到两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，进而可以求出原圆的半径，得到和原镜子完全一致的圆。
对比三块碎片：
1. 碎片①保留了足够长的连续原圆弧，满足取点确定圆心和半径的条件，可以复原原圆；
2. 碎片②、③保留的圆弧段长度不足，无法通过取点确定原圆的圆心和半径，不能复原原圆。
因此最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是①。
【答案】
A
【知识点】
三点确定一个圆
【点评】
本题结合生活实际场景考察确定圆的定理的应用，解题关键是理解“足够长的连续圆弧才能提供圆周上不共线的三个点，进而确定完整的圆”，将几何知识点和生活应用结合，帮助学生加深对三点确定圆定理的实际应用理解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ 1+∠ 2+∠ 3$的度数为
$90°$
。答案
3. $90°$
解析
【分析】
这道题的解题突破口是外心的性质：三角形的外心是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。首先由OA=OB=OC得到三组等腰三角形，利用等边对等角的性质，将∠1、∠2、∠3分别和对应的等腰三角形底角建立等量关系，再结合三角形内角和为180°，对△ABC的三个内角拆分后整体代换，就能直接推导出三个角的和。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，即△OAB、△OBC、△OAC都是等腰三角形，
由等边对等角可得：
∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB，
根据三角形内角和定理，在△ABC中：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
将三个内角拆分替换：
∠BAC = ∠1 + ∠OAB = ∠1 + ∠3，
∠ABC = ∠3 + ∠OBC = ∠3 + ∠2，
∠ACB = ∠2 + ∠OCA = ∠2 + ∠1，
代入内角和公式得：
(∠1+∠3)+(∠3+∠2)+(∠2+∠1) = 180°，
整理后得到：2(∠1+∠2+∠3)=180°，
因此∠1+∠2+∠3=90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
外心性质，等边对等角，三角形内角和
【点评】
本题是三角形外心性质的基础应用题，不需要复杂的圆周角推导，核心是利用外心到三顶点距离相等的特点构造等腰三角形，通过整体代换快速求出三个角的和，能帮助学生巩固对外心定义的理解，属于几何基础性质的常规考察。
【难度系数】
0.7
这道题的解题突破口是外心的性质：三角形的外心是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。首先由OA=OB=OC得到三组等腰三角形，利用等边对等角的性质，将∠1、∠2、∠3分别和对应的等腰三角形底角建立等量关系，再结合三角形内角和为180°，对△ABC的三个内角拆分后整体代换，就能直接推导出三个角的和。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，即△OAB、△OBC、△OAC都是等腰三角形，
由等边对等角可得：
∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB，
根据三角形内角和定理，在△ABC中：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
将三个内角拆分替换：
∠BAC = ∠1 + ∠OAB = ∠1 + ∠3，
∠ABC = ∠3 + ∠OBC = ∠3 + ∠2，
∠ACB = ∠2 + ∠OCA = ∠2 + ∠1，
代入内角和公式得：
(∠1+∠3)+(∠3+∠2)+(∠2+∠1) = 180°，
整理后得到：2(∠1+∠2+∠3)=180°，
因此∠1+∠2+∠3=90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
外心性质，等边对等角，三角形内角和
【点评】
本题是三角形外心性质的基础应用题，不需要复杂的圆周角推导，核心是利用外心到三顶点距离相等的特点构造等腰三角形，通过整体代换快速求出三个角的和，能帮助学生巩固对外心定义的理解，属于几何基础性质的常规考察。
【难度系数】
0.7
4.(2025·无锡月考)一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm，8 cm，则它的外接圆的半径为
5
cm.答案
4. 5
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先明确解题思路：第一步先回忆三角形外接圆的相关性质，直角三角形的外心（外接圆圆心）位置有特殊性，就在斜边的中点处，因此它的外接圆直径恰好等于直角三角形的斜边长，只需要先求出斜边长度，再取一半就能得到外接圆半径。我们可以先用勾股定理，代入已知的两条直角边长度计算出斜边，再直接套用直角三角形外接圆半径的结论即可算出结果。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
设该直角三角形的斜边长为c，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入直角边6cm、8cm可得：
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
2. 推导外接圆半径：
直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，因此外接圆的直径等于斜边长，即$2R = c$，因此半径$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础题型，核心考察直角三角形外接圆的特殊性质，不需要使用普通三角形外接圆半径的复杂推导，只要牢记直角三角形外心在斜边中点、半径为斜边的一半这一结论，结合勾股定理就能快速求解，是常见的基础考点，解题时注意不要混淆直角三角形和普通三角形外接圆的计算逻辑即可。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们首先明确解题思路：第一步先回忆三角形外接圆的相关性质，直角三角形的外心（外接圆圆心）位置有特殊性，就在斜边的中点处，因此它的外接圆直径恰好等于直角三角形的斜边长，只需要先求出斜边长度，再取一半就能得到外接圆半径。我们可以先用勾股定理，代入已知的两条直角边长度计算出斜边，再直接套用直角三角形外接圆半径的结论即可算出结果。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
设该直角三角形的斜边长为c，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入直角边6cm、8cm可得：
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
2. 推导外接圆半径：
直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，因此外接圆的直径等于斜边长，即$2R = c$，因此半径$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础题型，核心考察直角三角形外接圆的特殊性质，不需要使用普通三角形外接圆半径的复杂推导，只要牢记直角三角形外心在斜边中点、半径为斜边的一半这一结论，结合勾股定理就能快速求解，是常见的基础考点，解题时注意不要混淆直角三角形和普通三角形外接圆的计算逻辑即可。
【难度系数】
0.8
5. (1) 如图①,请只用无刻度直尺找出$△ ABC$的外心$O$;其外接圆半径为
(2) 如图②,请用直尺和圆规将图中的弧补成圆,并标记圆心$P$.
$\sqrt{10}$
.(2) 如图②,请用直尺和圆规将图中的弧补成圆,并标记圆心$P$.
答案
5. 解:(1)如答图①,点$O$即为所求. $\sqrt{10}$
(2)如答图②,$\odot P$即为所求.
解析
【分析】
首先明确解题思路：(1) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，在网格中我们可以先找到两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心O。首先观察△ABC的边BC是水平线段，很容易作出它的垂直平分线，再作出另一条边的垂直平分线，交点即为外心，最后用勾股定理计算外心到顶点A的距离，就是外接圆半径。(2) 要把一段弧补成完整的圆，依据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理，在弧上任意取三个点，作其中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心，确定圆心和半径后就能画出完整的圆。
【解析】
(1) 步骤1：设网格每个小格边长为1，观察△ABC，边BC水平，长度为6，取BC中点，过该中点作BC的竖直垂线，即为BC的垂直平分线。
步骤2：再作边AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心O。
步骤3：用勾股定理计算OA的长度：O点到A点的横向距离为1，纵向距离为3，因此OA=√(1²+3²)=√10，即外接圆半径为√10。
(2) 补全圆弧步骤：
① 在给定的弧上任取3个不重合的点；
② 分别连接其中两个点得到两条不同的弦，用尺规作图作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心P；
③ 以P为圆心，P到弧上任意一点的距离为半径作圆，即可将该弧补成完整的圆。
【答案】
(1) 点O即为所求外心，外接圆半径为$\sqrt{10}$；(2) 补全的$\odot P$即为所求，作图如下：
【知识点】
三角形外心，垂直平分线作图，三点定圆
【点评】
本题属于基础的尺规作图结合网格计算的题型，核心考察对外心定义、确定圆的条件的理解，第一问依托网格的特性快速定位垂直平分线交点，再用勾股定理计算半径，第二问掌握补全残缺弧的通用方法即可顺利完成，整体侧重对圆的基础性质的应用考察。
【难度系数】
0.6
首先明确解题思路：(1) 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，在网格中我们可以先找到两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心O。首先观察△ABC的边BC是水平线段，很容易作出它的垂直平分线，再作出另一条边的垂直平分线，交点即为外心，最后用勾股定理计算外心到顶点A的距离，就是外接圆半径。(2) 要把一段弧补成完整的圆，依据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理，在弧上任意取三个点，作其中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心，确定圆心和半径后就能画出完整的圆。
【解析】
(1) 步骤1：设网格每个小格边长为1，观察△ABC，边BC水平，长度为6，取BC中点，过该中点作BC的竖直垂线，即为BC的垂直平分线。
步骤2：再作边AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心O。
步骤3：用勾股定理计算OA的长度：O点到A点的横向距离为1，纵向距离为3，因此OA=√(1²+3²)=√10，即外接圆半径为√10。
(2) 补全圆弧步骤：
① 在给定的弧上任取3个不重合的点；
② 分别连接其中两个点得到两条不同的弦，用尺规作图作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心P；
③ 以P为圆心，P到弧上任意一点的距离为半径作圆，即可将该弧补成完整的圆。
【答案】
(1) 点O即为所求外心，外接圆半径为$\sqrt{10}$；(2) 补全的$\odot P$即为所求，作图如下：
【知识点】
三角形外心，垂直平分线作图，三点定圆
【点评】
本题属于基础的尺规作图结合网格计算的题型，核心考察对外心定义、确定圆的条件的理解，第一问依托网格的特性快速定位垂直平分线交点，再用勾股定理计算半径，第二问掌握补全残缺弧的通用方法即可顺利完成，整体侧重对圆的基础性质的应用考察。
【难度系数】
0.6
6. 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都相等,$△ ABC$的三个顶点$A,B$,$C$都在格点上,若格点$D$在$△ ABC$的外接圆上,则图中符合条件的格点$D$(点$D$与点$A,B,C$均不重合)的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6. C
解析
【分析】
我们先设每个小正方形的边长为1，首先观察图形发现△ABC中∠B为直角，AB长为1，BC长为3。第一步先通过勾股定理计算斜边AC的长度，利用直角三角形外接圆的性质：直角三角形外接圆圆心是斜边中点，半径为斜边长度的一半，确定该外接圆的圆心和半径。接下来只需要在网格中找出所有到该圆心距离等于半径的格点，排除A、B、C三个点后，统计剩余符合要求的点的数量，即可得到答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC相关边长：由图可知AB⊥BC，AB=1，BC=3，根据勾股定理可得斜边AC=√(AB²+BC²)=√(1²+3²)=√10。
2. 确定外接圆参数：因为△ABC是直角三角形，其外接圆圆心为斜边AC的中点，外接圆半径r=AC/2=√10/2。
3. 验证格点：遍历网格内所有格点，计算各格点到AC中点的距离，筛选出距离等于√10/2的格点，排除A、B、C三点后，剩余符合条件的格点共有5个。
因此符合要求的格点D的个数为5。
【答案】C
【知识点】直角三角形外接圆，勾股定理，点与圆位置关系
【点评】本题的核心突破口是快速识别出△ABC为直角三角形，直接得到外接圆的圆心和半径，无需复杂作图，通过距离验证格点是否在圆上即可，解题时注意不要漏数符合条件的格点。
【难度系数】0.4
我们先设每个小正方形的边长为1，首先观察图形发现△ABC中∠B为直角，AB长为1，BC长为3。第一步先通过勾股定理计算斜边AC的长度，利用直角三角形外接圆的性质：直角三角形外接圆圆心是斜边中点，半径为斜边长度的一半，确定该外接圆的圆心和半径。接下来只需要在网格中找出所有到该圆心距离等于半径的格点，排除A、B、C三个点后，统计剩余符合要求的点的数量，即可得到答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC相关边长：由图可知AB⊥BC，AB=1，BC=3，根据勾股定理可得斜边AC=√(AB²+BC²)=√(1²+3²)=√10。
2. 确定外接圆参数：因为△ABC是直角三角形，其外接圆圆心为斜边AC的中点，外接圆半径r=AC/2=√10/2。
3. 验证格点：遍历网格内所有格点，计算各格点到AC中点的距离，筛选出距离等于√10/2的格点，排除A、B、C三点后，剩余符合条件的格点共有5个。
因此符合要求的格点D的个数为5。
【答案】C
【知识点】直角三角形外接圆，勾股定理，点与圆位置关系
【点评】本题的核心突破口是快速识别出△ABC为直角三角形，直接得到外接圆的圆心和半径，无需复杂作图，通过距离验证格点是否在圆上即可，解题时注意不要漏数符合条件的格点。
【难度系数】0.4
