7.(2025·工业园区模拟)如图,点O为锐角三角形ABC的外心,四边形OCDE为正方形,其中E点在△ABC的外部,判断下列叙述不正确的是 （）

A.点O是△AEB的外心
B.点O是△BEC的外心
C.点O是△AEC的外心
D.点O是△ADB的外心

7. D

【分析】
这道题的核心判定依据是三角形外心的定义：三角形的外心是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离完全相等。我们的解题思路是：第一步先利用已知条件“O是△ABC的外心”，得到OA=OB=OC；第二步结合正方形OCDE的性质，明确正方形四条边相等，对角线长度为边长的√2倍，得到OC=OE，OD=√2 OC；第三步通过等量代换得到OA=OB=OC=OE，但OD≠OA；最后逐个验证四个选项，判断哪个选项里点O到对应三角形的三个顶点距离不全相等，即可选出不正确的叙述。
【解析】
解：根据三角形外心的性质，点O是锐角△ABC的外心，因此O到△ABC三个顶点的距离相等，即：
$OA = OB = OC$
已知四边形OCDE是正方形，根据正方形的性质：正方形的四条边长度相等，对角线长度为边长的$\sqrt{2}$倍，可得：
$OC = CD = DE = EO, \quad OD = \sqrt{2}OC$
通过等量代换可得：
$OA = OB = OC = OE, \quad OD = \sqrt{2}OC ≠ OA$
逐一分析选项：
1. 选项A：对于△AEB，点O到三个顶点的距离满足$OA=OB=OE$，即O到A、E、B三点距离相等，因此点O是△AEB的外心，该选项表述正确。
2. 选项B：对于△BEC，点O到三个顶点的距离满足$OB=OC=OE$，即O到B、E、C三点距离相等，因此点O是△BEC的外心，该选项表述正确。
3. 选项C：对于△AEC，点O到三个顶点的距离满足$OA=OC=OE$，即O到A、E、C三点距离相等，因此点O是△AEC的外心，该选项表述正确。
4. 选项D：对于△ADB，点O到A、B的距离为$OA=OB$，但O到D的距离$OD=\sqrt{2}OA ≠ OA$，即O到A、D、B三点距离不全相等，因此点O不是△ADB的外心，该选项表述错误。
综上，不正确的叙述是选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心性质，正方形的性质
【点评】
本题的易错点是容易误将OD当作正方形的边，错认为OD=OC，从而出现判断失误。解题的关键是牢牢抓住外心“到三角形三个顶点距离相等”的核心判定条件，结合正方形边和对角线的长度关系逐一验证，就能快速排除正确选项，得到错误结论。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$EF$是$AC$的垂直平分线,交$AD$于点$O$.若$OA=3$,则$△ ABC$外接圆的面积为.

8. $9π$

【分析】
我们可以顺着已知条件逐步推导思路：第一步，已知AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可直接得出AD同时是BC边上的高和中线，也就是AD是BC的垂直平分线；第二步，题目明确EF是AC的垂直平分线，三角形三边的垂直平分线交于同一点，这个点就是三角形外接圆的圆心（外心），因此两条垂直平分线的交点O就是△ABC外接圆的圆心；第三步，已知OA=3，OA就是外接圆的半径，直接代入圆的面积公式即可算出最终结果，不需要额外推导其他边长。
【解析】
解：
∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一），即AD是BC的垂直平分线。
又
∵ EF是AC的垂直平分线，AD与EF交于点O，
∴ 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，也就是△ABC外接圆的圆心，
∴ 该外接圆的半径R = OA = 3，
代入圆的面积公式可得：$S=π R^2=π×3^2=9π$。
【答案】$9π$
【知识点】等腰三角形三线合一，三角形外心性质，圆面积计算
【点评】本题是基础几何题型，核心考察等腰三角形性质和三角形外接圆的定义，解题的关键是快速识别点O为三角形外心，直接得到外接圆半径，避免不必要的复杂推导，部分同学容易忽略外心的定义，绕远路计算其他线段反而出现错误。
【难度系数】0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2\sqrt{10}$,$BC=4$,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆. 求$\odot O$的半径.

9. 解:如答图,过点$A$作$AD⊥ BC$,垂足为$D$,连接$OB$,$OC$.

$\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore AD$垂直平分$BC$.
$\because OB=OC$,$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上,
即点$O$在$AD$上.$\because BC=4$,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ ADB=90°$,$AB=2\sqrt{10}$,
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$.
设$OA=OB=r$,则$OD=6-r$,
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,$∠ ODB=90°$,
$\therefore OD^2+BD^2=OB^2$,即$(6-r)^2+2^2=r^2$,
解得$r=\dfrac{10}{3}$,即$\odot O$的半径为$\dfrac{10}{3}$.

【分析】
这道题是求等腰三角形外接圆的半径，我们可以利用等腰三角形的对称性来简化思考：首先，等腰三角形底边上的高垂直平分底边，而外接圆的圆心到三角形两个端点B、C的距离相等，所以圆心必然在BC的垂直平分线上，也就是这条底边上的高上。接下来我们先在直角三角形ABD中算出高AD的长度，再设外接圆半径为r，把OD的长度用含r的式子表示出来，最后在Rt△OBD中利用勾股定理列方程，就能解出半径r了，整个思路把未知的半径转化到直角三角形中用方程求解，非常清晰。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，连接$OB$，$OC$。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AD$垂直平分$BC$。
又$\because OB$、$OC$都是$\odot O$的半径，即$OB=OC$，$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上，由此可得点$O$在$AD$上。
已知$BC=4$，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$AB=2\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，即$OA=OB=r$，则$OD=AD-OA=6-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$∠ ODB=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+BD^2=OB^2$，代入对应线段得$(6-r)^2+2^2=r^2$，
展开方程：$36-12r+r^2+4=r^2$，化简后解得$r=\dfrac{10}{3}$。
【答案】

$\odot O$的半径为$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形外接圆性质
【点评】
本题利用等腰三角形的对称性直接确定外接圆圆心在底边的高线上，避免了复杂的辅助线构造，通过设半径为未知量，结合勾股定理列方程求解，是求等腰三角形外接圆半径的经典常用方法，能很好地锻炼学生利用几何性质转化线段关系的能力。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$∠ BAC$平分线上一点,$BD ⊥ AD$于点$D$,过点$D$作$DE // AC$交$AB$于点$E$. 求证:$E$是过$A$,$B$,$D$三点的圆的圆心.

10. 证明:$\because$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD$.
又$\because DE// AC$,$\therefore∠ CAD=∠ EDA$,
$\therefore∠ BAD=∠ EDA$,$\therefore AE=DE$.
又$\because BD⊥ AD$,$\therefore∠ ADB=90°$,
$\therefore∠ EBD+∠ BAD=∠ EDB+∠ EDA=90°$,
$\therefore∠ EBD=∠ EDB$,$\therefore BE=DE$,$\therefore AE=BE=DE$,
$\therefore$点$A$,$B$,$D$在以点$E$为圆心,$AE$的长为半径的圆上,
$\therefore$点$E$是过$A$,$B$,$D$三点的圆的圆心.

【分析】
要证明E是过A、B、D三点的圆的圆心，根据圆的圆心定义，只需证明点E到A、B、D三点的距离相等，即AE=BE=DE即可。首先利用角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，结合DE//AC的平行线内错角相等的性质，推导得到∠BAD=∠EDA，进而证出AE=DE；再结合BD⊥AD得到的直角条件，利用等角的余角相等，推导得到∠EBD=∠EDB，证出BE=DE，最终得到AE=BE=DE，即可完成证明。
【解析】
证明:
$\because$点$D$在$∠ BAC$的平分线上,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD$.
又$\because DE// AC$,$\therefore∠ CAD=∠ EDA$,
$\therefore∠ BAD=∠ EDA$,$\therefore AE=DE$.
又$\because BD⊥ AD$,$\therefore∠ ADB=90°$,
$\therefore∠ EBD+∠ BAD=∠ EDB+∠ EDA=90°$,
$\therefore∠ EBD=∠ EDB$,$\therefore BE=DE$,$\therefore AE=BE=DE$,
$\therefore$点$A$,$B$,$D$在以点$E$为圆心,$AE$的长为半径的圆上,
$\therefore$点$E$是过$A$,$B$,$D$三点的圆的圆心.
【答案】
证明成立，E是过A，B，D三点的圆的圆心，完整证明过程如上。
【知识点】
角平分线定义，平行线性质，等腰三角形判定
【点评】
本题核心思路是利用“到不在同一直线上的三点距离相等的点，是这三点所确定圆的圆心”的判定逻辑，无需添加额外辅助线，通过角的等量代换逐步推导出三组边相等，综合考察了角平分线、平行线、直角三角形余角性质的基础应用，能够帮助学生加深对三点定圆相关概念的理解。
【难度系数】
0.7

11. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 例如,线段 $AB$ 的最小覆盖圆就是以线段 $AB$ 为直径的圆.
(1)请分别作出图中两个三角形的最小覆盖圆;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律? 请写出你所得到的结论.(不要求证明)

11. 解:(1)如答图所示.

(2)锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆;
钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆.

【分析】
我们先紧扣题目给出的最小覆盖圆的定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆，分步解题：
1. 先判断两个已知三角形的类型：第一个三角形顶角∠A=80°，三个内角均小于90°，属于锐角三角形；第二个三角形顶角∠A=100°，存在大于90°的内角，属于钝角三角形。
2. 对于锐角三角形，尝试作它的外接圆，该圆刚好完全覆盖三角形，且不存在比它更小的能覆盖三角形的圆，因此它的最小覆盖圆就是自身的外接圆，尺规作图时只需作任意两边的垂直平分线找到外心，以到顶点的距离为半径画圆即可。
3. 对于钝角三角形，若作它的外接圆，圆心在三角形外部，外接圆半径大于最长边的一半，反而以最长边为直径作圆时，钝角顶点必然在圆内，该圆比外接圆更小，因此它的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，作图时只需找到最长边的中点，以该边为直径画圆即可。
4. 第二问结合两个三角形的结果，补充直角三角形的情况，分类归纳就能得到所有三角形的最小覆盖圆的通用规律。
【解析】
(1) 按照上述思路完成尺规作图：
锐角△ABC：作任意两边的垂直平分线，交点为外心，以外心为圆心、外心到任意顶点的距离为半径作圆，即为该三角形的最小覆盖圆。
钝角△ABC：作最长边BC的垂直平分线得到BC中点，以该中点为圆心、BC长度的一半为半径作圆，即为该三角形的最小覆盖圆，保留作图痕迹即可。
(2) 结合作图结果分类归纳：直角三角形的外接圆恰好是以斜边为直径的圆，刚好完全覆盖三角形，因此可以得到对应结论。
【答案】
(1) 作图结果如答图所示：
(2) 锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。
【知识点】
三角形外接圆，尺规作垂直平分线，新定义几何探究
【点评】
本题是典型的新定义探究题型，从陌生的最小覆盖圆概念入手，通过两个特殊三角形的作图实践引导学生自主推导通用规律，既考查了尺规作垂直平分线、作外接圆的基础操作能力，也锻炼了分类讨论、归纳总结的数学思维，易错点是误认为钝角三角形的最小覆盖圆也是它的外接圆，需要结合圆的性质验证区分。
【难度系数】
0.5