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1.(2025·徐州期中)下列说法正确的是（
A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
D
）A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道圆相关的基础概念辨析题，解题思路是逐个对照每个选项对应的数学定义、定理的完整内容，排查说法是否遗漏必要的限定前提：先回忆等弧的定义、圆心角与弦的对应关系、确定圆的条件这几个核心知识点，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧，如果所在圆的半径不同，是无法完全重合的，因此长度相等的弧不一定是等弧，A说法错误。
2. 选项B：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，该选项没有给出“同圆或等圆”这个必要前提，结论不成立，B说法错误。
3. 选项C：只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三个点的圆，“任意三点确定一个圆”的表述错误，C说法错误。
4. 选项D：半径相等的两个半圆，弧长都等于对应圆周长的一半即πr，形状大小完全一致，一定可以完全重合，完全符合等弧的定义，D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
等弧的定义；确定圆的条件；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题属于圆章节的典型概念易错题，命题人特意隐去了多个定理的必备限定条件设置陷阱，不少同学记忆概念时忽略前提条件，容易误选A或B，学习这类几何基础概念时要特别留意定义、定理中的限定修饰词，避免出现概念混淆。
【难度系数】
0.8
这是一道圆相关的基础概念辨析题，解题思路是逐个对照每个选项对应的数学定义、定理的完整内容，排查说法是否遗漏必要的限定前提：先回忆等弧的定义、圆心角与弦的对应关系、确定圆的条件这几个核心知识点，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：等弧的定义是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧，如果所在圆的半径不同，是无法完全重合的，因此长度相等的弧不一定是等弧，A说法错误。
2. 选项B：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，该选项没有给出“同圆或等圆”这个必要前提，结论不成立，B说法错误。
3. 选项C：只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三个点的圆，“任意三点确定一个圆”的表述错误，C说法错误。
4. 选项D：半径相等的两个半圆，弧长都等于对应圆周长的一半即πr，形状大小完全一致，一定可以完全重合，完全符合等弧的定义，D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
等弧的定义；确定圆的条件；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题属于圆章节的典型概念易错题，命题人特意隐去了多个定理的必备限定条件设置陷阱，不少同学记忆概念时忽略前提条件，容易误选A或B，学习这类几何基础概念时要特别留意定义、定理中的限定修饰词，避免出现概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. (2025·滨湖区期中) 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$,下列结论不正确的是 （
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ AOC$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
B
）A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ AOC$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，解题时先从已知条件$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$入手，给两条相等的弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，就能推出剩余的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，之后结合同圆的相关性质逐一验证每个选项，即可找出推导不成立的错误结论。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$：
1. 对两条等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{DB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此选项C的结论正确；
2. 根据同圆中等弧对等弦的性质，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可直接推出$AB=CD$，因此选项A的结论正确；
3. 由于$OA、OB、OC、OD$都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB=OC=OD$，结合$AB=CD$，可通过SSS判定$△ AOB ≌ △ COD$，因此两个三角形面积相等，即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，选项D的结论正确；
4. $∠ BOC$对应弧$\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC$对应弧$\overset{\frown}{AC}$，题目没有给出$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{AC}$相等的条件，无法推出$∠ BOC=∠ AOC$，因此选项B的结论错误。
综上，不正确的结论是B。
【答案】B
【知识点】
同圆弧弦关系，圆心角性质，全等三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质题，核心考察对同圆中弧、弦、圆心角等价对应关系的掌握，解题时要严格依据已知条件推导，不要凭空构造不存在的相等关系，通过逐一排除正确选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，解题时先从已知条件$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$入手，给两条相等的弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，就能推出剩余的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，之后结合同圆的相关性质逐一验证每个选项，即可找出推导不成立的错误结论。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$：
1. 对两条等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{DB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此选项C的结论正确；
2. 根据同圆中等弧对等弦的性质，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可直接推出$AB=CD$，因此选项A的结论正确；
3. 由于$OA、OB、OC、OD$都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB=OC=OD$，结合$AB=CD$，可通过SSS判定$△ AOB ≌ △ COD$，因此两个三角形面积相等，即$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，选项D的结论正确；
4. $∠ BOC$对应弧$\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC$对应弧$\overset{\frown}{AC}$，题目没有给出$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{AC}$相等的条件，无法推出$∠ BOC=∠ AOC$，因此选项B的结论错误。
综上，不正确的结论是B。
【答案】B
【知识点】
同圆弧弦关系，圆心角性质，全等三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础性质题，核心考察对同圆中弧、弦、圆心角等价对应关系的掌握，解题时要严格依据已知条件推导，不要凭空构造不存在的相等关系，通过逐一排除正确选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ COB=40^{\circ }$，则$∠ A$的度数是
55
$^{\circ }$。答案
3.55
解析
【分析】
我们可以按三步思路来解题：第一步，AB是圆的直径，因此∠AOB是180°的平角，结合已知的∠COB=40°，就能先算出∠AOC的度数；第二步，根据同圆里等弧对应的圆心角相等的性质，由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，可以得到∠AOD和∠COD大小相等，进而求出∠AOD的度数；第三步，OA和OD都是圆的半径，长度相等，△OAD是等腰三角形，利用三角形内角和性质就能算出底角∠A的度数。
【解析】
解：
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，
已知$∠ COB=40°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ COB = 180° - 40° = 140°$。
2. 由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOD = ∠ COD$，
因此$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
3. 又因为OA、OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$，所以$△ OAD$是等腰三角形，$∠ OAD=∠ ODA$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A = \frac{180° - ∠ AOD}{2} = \frac{180° -70°}{2} = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
等弧对等圆心角；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆章节的基础计算题型，核心考查同圆中等弧和圆心角的对应关系，结合等腰三角形内角和即可完成求解，难度较低，只要理清各角度之间的数量关系就不容易出错，是圆部分的常见入门考题。
【难度系数】
0.8
我们可以按三步思路来解题：第一步，AB是圆的直径，因此∠AOB是180°的平角，结合已知的∠COB=40°，就能先算出∠AOC的度数；第二步，根据同圆里等弧对应的圆心角相等的性质，由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，可以得到∠AOD和∠COD大小相等，进而求出∠AOD的度数；第三步，OA和OD都是圆的半径，长度相等，△OAD是等腰三角形，利用三角形内角和性质就能算出底角∠A的度数。
【解析】
解：
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，
已知$∠ COB=40°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ COB = 180° - 40° = 140°$。
2. 由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOD = ∠ COD$，
因此$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
3. 又因为OA、OD都是$\odot O$的半径，即$OA=OD$，所以$△ OAD$是等腰三角形，$∠ OAD=∠ ODA$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A = \frac{180° - ∠ AOD}{2} = \frac{180° -70°}{2} = 55°$。
【答案】
55
【知识点】
等弧对等圆心角；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆章节的基础计算题型，核心考查同圆中等弧和圆心角的对应关系，结合等腰三角形内角和即可完成求解，难度较低，只要理清各角度之间的数量关系就不容易出错，是圆部分的常见入门考题。
【难度系数】
0.8
4. 四等分弧$AB$.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
4.解:如答图.
解析
【分析】
要完成弧AB的四等分，核心思路是利用垂径定理，通过两次二等分操作实现四等分：首先第一步，连接A、B得到弦AB，作出弦AB的垂直平分线，根据垂径定理，该垂直平分线会平分弦AB所对的弧AB，得到弧AB的第一个二等分点，将原弧分为两段相等的弧；第二步，对得到的两段等弧，分别重复上述操作，分别作出两段小弧对应弦的垂直平分线，得到各自的二等分点，最终三个分点就可以将弧AB平均分为四份，全程不需要额外测量，仅用尺规即可完成。
【解析】
1. 连接端点A、B，得到弦AB；
2. 用尺规作图作出弦AB的垂直平分线，该线与弧AB的交点即为弧AB的二等分点，将弧AB分为两段相等的弧；
3. 分别连接A与上述二等分点、B与上述二等分点，得到两条新的弦；
4. 分别作出这两条新弦的垂直平分线，它们与对应小弧的交点即为两段小弧的二等分点，最终得到的三个分点就将弧AB四等分，保留全部作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
垂径定理，尺规作垂直平分线，等分弧
【点评】
本题是典型的尺规等分弧的基础作图题，核心考察对垂径定理的灵活运用，无需提前确定弧所在圆的圆心即可完成作图，需要注意严格按照尺规作图要求保留圆弧作图痕迹，不少同学容易遗漏后续两段小弧的垂直平分线作图步骤，出现等分错误。
【难度系数】
0.6
要完成弧AB的四等分，核心思路是利用垂径定理，通过两次二等分操作实现四等分：首先第一步，连接A、B得到弦AB，作出弦AB的垂直平分线，根据垂径定理，该垂直平分线会平分弦AB所对的弧AB，得到弧AB的第一个二等分点，将原弧分为两段相等的弧；第二步，对得到的两段等弧，分别重复上述操作，分别作出两段小弧对应弦的垂直平分线，得到各自的二等分点，最终三个分点就可以将弧AB平均分为四份，全程不需要额外测量，仅用尺规即可完成。
【解析】
1. 连接端点A、B，得到弦AB；
2. 用尺规作图作出弦AB的垂直平分线，该线与弧AB的交点即为弧AB的二等分点，将弧AB分为两段相等的弧；
3. 分别连接A与上述二等分点、B与上述二等分点，得到两条新的弦；
4. 分别作出这两条新弦的垂直平分线，它们与对应小弧的交点即为两段小弧的二等分点，最终得到的三个分点就将弧AB四等分，保留全部作图痕迹即可。
【答案】
【知识点】
垂径定理，尺规作垂直平分线，等分弧
【点评】
本题是典型的尺规等分弧的基础作图题，核心考察对垂径定理的灵活运用，无需提前确定弧所在圆的圆心即可完成作图，需要注意严格按照尺规作图要求保留圆弧作图痕迹，不少同学容易遗漏后续两段小弧的垂直平分线作图步骤，出现等分错误。
【难度系数】
0.6
5. (2025·崇川区月考)如图，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，D，E分别是半径OA和OB的中点，求证：$CD=CE$.
答案
5.证明:如答图,连接 OC. 在$\odot O$中,$\because \widehat{AC}=\widehat{CB}$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC.$
$\because OA=OB$,D,E 分别是半径 OA 和 OB 的中点,
$\therefore OD=OE.$
$\because OC=OC$(公共边),$\therefore △ COD≌ △ COE(SAS),$
$\therefore CD=CE$(全等三角形的对应边相等).
解析
【分析】
要证明线段CD=CE，我们可以优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：
1. 首先观察图形，CD和CE分别在△COD和△COE中，因此想到连接辅助线OC，构造出这两个待证全等的三角形。
2. 题目给出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可直接得到∠AOC=∠BOC。
3. 再结合同圆的半径相等，OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，可推出OD=OE。
4. 最后OC是两个三角形的公共边，满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，证明两个三角形全等后，即可由全等的性质得到CD=CE。
【解析】
证明：连接OC，
在$\odot O$中，
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，
又
∵ D，E分别是半径OA和OB的中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，$OE=\frac{1}{2}OB$，即$OD=OE$，
在$△ COD$和$△ COE$中：
$\{\begin{array}{l}OD=OE \\∠AOC=∠BOC \\OC=OC \quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ COD≌ △ COE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CD=CE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
【知识点】
等弧对等圆心角，SAS全等判定，同圆半径相等
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础证明题，解题的核心思路是通过连接公共半径OC构造全等三角形，将圆的弧相等条件转化为圆心角相等的条件，整体思路常规，重点考察学生对圆的基础性质和全等判定的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要证明线段CD=CE，我们可以优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：
1. 首先观察图形，CD和CE分别在△COD和△COE中，因此想到连接辅助线OC，构造出这两个待证全等的三角形。
2. 题目给出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可直接得到∠AOC=∠BOC。
3. 再结合同圆的半径相等，OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，可推出OD=OE。
4. 最后OC是两个三角形的公共边，满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，证明两个三角形全等后，即可由全等的性质得到CD=CE。
【解析】
证明：连接OC，
在$\odot O$中，
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，
又
∵ D，E分别是半径OA和OB的中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，$OE=\frac{1}{2}OB$，即$OD=OE$，
在$△ COD$和$△ COE$中：
$\{\begin{array}{l}OD=OE \\∠AOC=∠BOC \\OC=OC \quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ COD≌ △ COE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CD=CE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
【知识点】
等弧对等圆心角，SAS全等判定，同圆半径相等
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础证明题，解题的核心思路是通过连接公共半径OC构造全等三角形，将圆的弧相等条件转化为圆心角相等的条件，整体思路常规，重点考察学生对圆的基础性质和全等判定的掌握程度。
【难度系数】
0.8
6. 在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则弦$AB$和$2CD$的大小关系是（
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.不能确定
答案
6.C
解析
【分析】
我们要比较弦AB和2CD的大小，已知条件是同圆中弧AB的长度是弧CD的2倍，首先要明确：同圆中弦长和弧长并不是正比例关系，不能直接由弧的倍数关系直接推出弦的倍数关系。正确的思考路径是：将长弧AB拆分为两段相等的弧，让每一段都等于弧CD，这样就能得到两条长度等于CD的弦，再利用三角形三边的不等关系，就可以把AB和两条CD的和进行比较，从而得到结论。
【解析】
1. 取$\overset{\frown}{AB}$的中点为点E，连接AE、BE。
2. 由已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 根据同圆中等弧对应的弦相等，可得$AE=BE=CD$。
4. 在$△ ABE$中，由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$AE + BE ＞ AB$。
5. 将$AE=CD$、$BE=CD$代入上式，得到$CD + CD ＞ AB$，即$AB ＜ 2CD$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等弦，三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是直接默认弧的倍数等于对应弦的倍数，误选B选项。这类同圆中弧的倍数与弦的倍数比较的问题，常用拆分长弧构造等弦，再结合三角形三边关系推导的方法，要注意弦长随弧长的变化不是线性正比关系。
【难度系数】
0.5
我们要比较弦AB和2CD的大小，已知条件是同圆中弧AB的长度是弧CD的2倍，首先要明确：同圆中弦长和弧长并不是正比例关系，不能直接由弧的倍数关系直接推出弦的倍数关系。正确的思考路径是：将长弧AB拆分为两段相等的弧，让每一段都等于弧CD，这样就能得到两条长度等于CD的弦，再利用三角形三边的不等关系，就可以把AB和两条CD的和进行比较，从而得到结论。
【解析】
1. 取$\overset{\frown}{AB}$的中点为点E，连接AE、BE。
2. 由已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 根据同圆中等弧对应的弦相等，可得$AE=BE=CD$。
4. 在$△ ABE$中，由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$AE + BE ＞ AB$。
5. 将$AE=CD$、$BE=CD$代入上式，得到$CD + CD ＞ AB$，即$AB ＜ 2CD$。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等弦，三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是直接默认弧的倍数等于对应弦的倍数，误选B选项。这类同圆中弧的倍数与弦的倍数比较的问题，常用拆分长弧构造等弦，再结合三角形三边关系推导的方法，要注意弦长随弧长的变化不是线性正比关系。
【难度系数】
0.5
