7. (2025·南京月考) 如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,$∠ AOC=90°$,$AB=\sqrt{2}$,$BC=1$,则$\odot O$的半径为（）

A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$

7.C

【解析】
解：连接AC，
∵∠AOC=90°，OA=OC=r（r为⊙O的半径），
∴由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{2}r$，
根据圆周角相关性质，∠ABC所对的弧对应的圆心角为360°-∠AOC=270°，因此∠ABC=135°，
在△ABC中，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
则∠ABD=180°-135°=45°，
∵AB=$\sqrt{2}$，∴AD=BD=AB·sin45°=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
又∵BC=1，∴DC=BD+BC=2，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
结合$AC=\sqrt{2}r$，可得$\sqrt{2}r=\sqrt{5}$，解得$r=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；特殊角三角函数
【点评】
本题的核心难点是推导得到∠ABC=135°，通过构造含45°角的直角三角形转化已知线段长度，结合勾股定理建立半径的方程求解，综合考查了圆的性质和三角形计算的常用技巧，需要学生灵活转化钝角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=110°$,将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为（）

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

8.B

【分析】
解题时首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边相等，同时注意到点D在扇形的弧AB上，因此OD和扇形的两条半径OA、OB长度相等。第一步先连接辅助线OD，由折叠可得OB=BD，结合OB=OD可推出△OBD三边相等，得到等边三角形，算出∠DOB的度数，再用已知的∠AOB的度数减去∠DOB的度数，得到弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，而弧的度数等于它所对圆心角的度数，即可求出结果。
【解析】
解：连接OD，
1. 由折叠的性质可知：折痕BC是线段OD的垂直平分线，因此OB=BD。
2. 在扇形OAB中，OB、OD都是扇形的半径，因此OB=OD。
3. 由此可得OB=BD=OD，即△OBD为等边三角形，因此∠DOB=60°。
4. 已知∠AOB=110°，因此∠AOD = ∠AOB - ∠DOB = 110° - 60° = 50°。
5. 根据弧的度数定义，弧的度数等于其所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{AD}$的度数为50°。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，等边三角形判定，弧与圆心角关系
【点评】
本题是扇形折叠的基础题型，核心突破口是通过连接辅助线OD，结合折叠性质和扇形半径相等的特点构造出等边三角形，部分同学容易忽略点D在弧上得到OD=OB的隐含条件，想不到构造等边三角形，整体属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.7

9. (2025·无锡月考)如图,$AB$,$CD$是$\odot O$的直径,弦$CE// AB$,若$∠ AOC=75°$,则$\overset{\frown}{CE}$的度数是.

9.$30°$

【分析】
解题思路如下：首先明确弧的度数等于它所对的圆心角的度数，因此要得到弧CE的度数，只需要求出弧CE对应的圆心角∠COE的度数即可。首先我们连接半径OE，利用CE平行AB的条件，由平行线的内错角相等，可直接得到∠OCE=∠AOC=75°；再根据同圆的半径相等，可知OC=OE，因此△OCE是等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和为180°，计算出顶角∠COE的度数，就得到了弧CE的度数。
【解析】
解：连接OE，
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE = ∠AOC = 75°，
又
∵ OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OC = OE，
∴ ∠OEC = ∠OCE = 75°，
在△OCE中，根据三角形内角和为180°：
∠COE = 180° - ∠OCE - ∠OEC = 180° - 75° -75° = 30°，
根据弧的度数定义：弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{CE}$的度数为30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
平行线性质，等腰三角形性质，弧的度数定义
【点评】
本题属于圆章节的基础常规题型，解题核心是将求弧的度数的问题转化为求对应圆心角的度数，仅需要添加一条辅助线连接半径OE，结合平行线和等腰三角形的基础性质即可求解，难度较低，适合巩固圆的基础概念。
【难度系数】
0.7

10. 如图,以平行四边形$ABCD$的顶点$A$为圆心,$AB$长为半径作$\odot A$,分别交$BC$,$AD$于$E$,$F$两点,交$BA$的延长线于点$G$.
(1)求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2)连接$AE$,若$∠ EAG=140°$,求$∠ D$的度数.

10.(1)证明:如答图,连接 AE.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AD// BC,$
$\therefore ∠ EAF=∠ AEB,∠ GAF=∠ B.$
$\because AE=AB,\therefore ∠ B=∠ AEB,$
$\therefore ∠ EAF=∠ GAF,\therefore \widehat{EF}=\widehat{FG}.$
(2)解:$\because ∠ EAG=140°,$
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ EAG=180°-140°=40°,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.$
$\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ ABE=70°.$

【分析】
(1)要证明同圆中的两条弧相等，常规思路是证明两条弧所对的圆心角相等。首先连接辅助线AE，利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出∠EAF=∠AEB、∠GAF=∠B；再由同圆半径相等得AE=AB，根据等腰三角形等边对等角得到∠B=∠AEB，等量代换后即可得到两个圆心角∠EAF=∠GAF，由此可证两条弧相等。
(2)已知∠EAG=140°，先利用平角的性质算出∠BAE的度数，再在等腰△ABE中根据三角形内角和求出底角∠B的度数，最后利用平行四边形对角相等的性质，即可得到∠D=∠B，算出结果。
【解析】
(1) 证明：连接AE，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EAF=∠AEB，∠GAF=∠B。
又
∵ AE和AB都是⊙A的半径，
∴ AE=AB，
∴ ∠B=∠AEB，
通过等量代换可得∠EAF=∠GAF，
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$。
(2) 解：
∵ ∠EAG=140°，∠BAE和∠EAG组成平角，
∴ ∠BAE=180°-∠EAG=180°-140°=40°，
在等腰△ABE中，AE=AB，
∴ ∠AEB=∠ABE=$\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$，
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，
∴ ∠D=∠ABE=70°。
【答案】
10.(1)证明:如答图,连接 AE.
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AD// BC,$
$\therefore ∠ EAF=∠ AEB,∠ GAF=∠ B.$
$\because AE=AB,\therefore ∠ B=∠ AEB,$
$\therefore ∠ EAF=∠ GAF,\therefore \widehat{EF}=\widehat{FG}.$
(2)解:$\because ∠ EAG=140°,$
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ EAG=180°-140°=40°,$
$\therefore ∠ AEB=∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.$
$\because$ 四边形 ABCD 为平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ ABE=70°.$

【知识点】
平行四边形性质，圆心角与弧关系，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行四边形的基础综合题型，核心考点是将同圆内弧相等的证明转化为对应圆心角相等，结合平行四边形的平行性质、等腰三角形等边对等角的性质完成推导，整体侧重基础性质的灵活运用，适合巩固圆与四边形的关联基础考点。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$\odot O$中,$C,D$是直径$AB$上两点,且$AC=BD,MC⊥ AB,ND⊥ AB$,垂足分别为$C,D$,点$M,N$在$\odot O$上.
(1)求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$;
(2)若$C,D$分别为$OA,OB$的中点,则$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立吗? 请说明理由.

11.(1)证明:连接 OM,ON,如答图.
$\because AC=BD,\therefore OA-AC=OB-BD$,即$OC=OD.$
$\because MC⊥ AB,ND⊥ AB,\therefore ∠ OCM=∠ ODN=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ ODN$中,$\begin{cases} OM=ON,\\ OC=OD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌ \mathrm{Rt}△ ODN(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ COM=∠ DON,\therefore \widehat{AM}=\widehat{BN}.$
(2)解:$\widehat{AM}=\widehat{MN}=\widehat{NB}$成立.
理由:$\because C,D$分别为 OA,OB 的中点,
$\therefore OC=\frac{1}{2}OA,OD=\frac{1}{2}OB,$
$\therefore OC=\frac{1}{2}OM,OD=\frac{1}{2}ON,\therefore ∠ OMC=30°,∠ OND=30°,$
$\therefore ∠ MOC=∠ NOD=60°,\therefore ∠ MON=60°,$
$\therefore ∠ AOM=∠ MON=∠ BON,\therefore \widehat{AM}=\widehat{MN}=\widehat{NB}.$

【分析】
要证明同圆中两段弧相等，常规思路是转化为证明这两段弧所对的圆心角相等。第(1)问，首先连接半径OM、ON，利用直径AB上OA=OB的性质，结合已知AC=BD，可推导出OC=OD，再结合MC⊥AB、ND⊥AB得到两个直角三角形，通过HL证明Rt△OCM和Rt△ODN全等，得到对应圆心角∠COM=∠DON，即可推出弧AM等于弧BN。第(2)问，已知C、D是OA、OB中点，可得OC是OM的一半，利用含30°角的直角三角形的性质，推出∠MOC=∠NOD=60°，进而得到∠MON也为60°，三个圆心角相等，即可证明三段弧相等。
【解析】
(1) 证明：连接OM，ON，
∵ AB是⊙O的直径，O为圆心，
∴ OA=OB，
已知AC=BD，
∴ OA - AC = OB - BD，即OC=OD，
∵ MC⊥AB，ND⊥AB，
∴ ∠OCM=∠ODN=90°，
在Rt△OCM和Rt△ODN中：
$\begin{cases} OM=ON \\ OC=OD \end{cases}$
∴ Rt△OCM ≌ Rt△ODN（HL），
∴ ∠COM=∠DON，
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
(2) 解：$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立，理由如下：
∵ C、D分别为OA、OB的中点，
∴ $OC=\frac{1}{2}OA$，$OD=\frac{1}{2}OB$，
又
∵ OA=OM，OB=ON，
∴ $OC=\frac{1}{2}OM$，$OD=\frac{1}{2}ON$，
在Rt△OCM中，OC是斜边OM的一半，
∴ ∠OMC=30°，
∴ ∠MOC=90° - 30°=60°，
同理可得∠NOD=60°，
∴ ∠MON = 180° - ∠MOC - ∠NOD = 180° - 60° - 60° = 60°，
∴ ∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{NB}$成立，理由见上述过程

【知识点】
圆心角与弧的关系；HL全等判定；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查将证弧相等转化为证对应圆心角相等的解题思路，连接半径是圆相关题型的常用辅助线技巧，同时结合全等三角形、含30°角的直角三角形的性质完成推导，难度适中，适合巩固圆的基础性质。
【难度系数】
0.7