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1. 如图，$\odot O$的直径$AB ⊥ CD$于点$E$，则下列结论可能错误的是 （
A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE ≌ △ ODE$
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
B
）A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE ≌ △ ODE$
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
答案
1.B
解析
【分析】
这道题围绕垂径定理展开，我们可以结合已知条件逐个验证选项：已知AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，首先回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对的两条弧。首先验证A选项，由垂径定理可直接得到CD被AB平分，CE=DE，该结论必然成立；接着验证C选项，垂径定理同时说明AB平分弦CD所对的弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，该结论也必然成立；再验证D选项，OC、OD都是圆的半径，OC=OD，OE是两个三角形的公共边，且∠OEC=∠OED=90°，通过HL或者SSS都可以证明△OCE≌△ODE，该结论也一定成立；最后看B选项AE=OE，这个关系只有当E是线段AO的中点时才满足，题目没有给出任何条件能推出E是AO中点，因此这个结论不是必然成立，是可能错误的，符合题意。
【解析】
解：已知AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E：
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE$，因此A选项一定正确；
2. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此C选项一定正确；
3. 在$△ OCE$和$△ ODE$中，$\begin{cases}OC=OD\\OE=OE\\CE=DE\end{cases}$，由SSS可判定$△ OCE ≌ △ ODE$，也可通过HL直角三角形全等判定定理证明，因此D选项一定正确；
4. 题干没有给出任何条件可以推导得到$AE=OE$，该结论仅在E为AO中点时成立，不是必然成立，因此该结论可能错误。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】垂径定理，全等三角形判定
【点评】本题是垂径定理的基础考察题，核心是区分垂径定理直接推导的必然结论，和需要额外附加条件才能成立的结论，属于圆章节的入门基础题型，重点考察对垂径定理内容的准确记忆。
【难度系数】0.9
这道题围绕垂径定理展开，我们可以结合已知条件逐个验证选项：已知AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，首先回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对的两条弧。首先验证A选项，由垂径定理可直接得到CD被AB平分，CE=DE，该结论必然成立；接着验证C选项，垂径定理同时说明AB平分弦CD所对的弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，该结论也必然成立；再验证D选项，OC、OD都是圆的半径，OC=OD，OE是两个三角形的公共边，且∠OEC=∠OED=90°，通过HL或者SSS都可以证明△OCE≌△ODE，该结论也一定成立；最后看B选项AE=OE，这个关系只有当E是线段AO的中点时才满足，题目没有给出任何条件能推出E是AO中点，因此这个结论不是必然成立，是可能错误的，符合题意。
【解析】
解：已知AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E：
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE$，因此A选项一定正确；
2. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此C选项一定正确；
3. 在$△ OCE$和$△ ODE$中，$\begin{cases}OC=OD\\OE=OE\\CE=DE\end{cases}$，由SSS可判定$△ OCE ≌ △ ODE$，也可通过HL直角三角形全等判定定理证明，因此D选项一定正确；
4. 题干没有给出任何条件可以推导得到$AE=OE$，该结论仅在E为AO中点时成立，不是必然成立，因此该结论可能错误。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】垂径定理，全等三角形判定
【点评】本题是垂径定理的基础考察题，核心是区分垂径定理直接推导的必然结论，和需要额外附加条件才能成立的结论，属于圆章节的入门基础题型，重点考察对垂径定理内容的准确记忆。
【难度系数】0.9
2.(2025·武进区期中)如图,$\odot O$的半径为13,弦$AB=24,OC ⊥ AB$于点C,则OC的长为 （
A.10
B.6
C.5
D.12
C
）A.10
B.6
C.5
D.12
答案
2.C
解析
【分析】
这是圆中求弦心距的基础题型，首先看到OC垂直于弦AB的条件，可直接联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此就能先算出半弦长AC的数值；又因为OA是圆的半径，可知△OAC是直角三角形，代入勾股定理即可直接计算出OC的长度，整体思路就是通过垂径定理得到半弦长，将半径、半弦长、弦心距组合为直角三角形，用勾股定理完成求解。
【解析】
解：
1. 由垂径定理，因为OC⊥AB，可得AC = $\frac{1}{2}$AB，
已知AB=24，代入计算得AC = $\frac{1}{2}×24 = 12$。
2. 已知⊙O的半径为13，因此OA=13，
结合OC⊥AB，可知∠OCA=90°，△OAC为直角三角形。
3. 在Rt△OAC中，根据勾股定理：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5$。
因此OC的长为5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆部分的经典基础题，核心考察垂径定理和勾股定理的结合应用，只要掌握“半径、半弦长、弦心距”三者构成直角三角形的常用模型，就可以快速解决这类求弦长、弦心距、半径的同类题型，整体难度很低。
【难度系数】
0.8
这是圆中求弦心距的基础题型，首先看到OC垂直于弦AB的条件，可直接联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此就能先算出半弦长AC的数值；又因为OA是圆的半径，可知△OAC是直角三角形，代入勾股定理即可直接计算出OC的长度，整体思路就是通过垂径定理得到半弦长，将半径、半弦长、弦心距组合为直角三角形，用勾股定理完成求解。
【解析】
解：
1. 由垂径定理，因为OC⊥AB，可得AC = $\frac{1}{2}$AB，
已知AB=24，代入计算得AC = $\frac{1}{2}×24 = 12$。
2. 已知⊙O的半径为13，因此OA=13，
结合OC⊥AB，可知∠OCA=90°，△OAC为直角三角形。
3. 在Rt△OAC中，根据勾股定理：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5$。
因此OC的长为5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆部分的经典基础题，核心考察垂径定理和勾股定理的结合应用，只要掌握“半径、半弦长、弦心距”三者构成直角三角形的常用模型，就可以快速解决这类求弦长、弦心距、半径的同类题型，整体难度很低。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\odot O$中,半径$OC$过弦$AB$的中点$E$,$OC=2$,$OE=\sqrt{2}$,则弦$AB$的长为
$2\sqrt{2}$
.答案
3.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先题目给出半径OC过弦AB的中点E，我们可以直接联想到垂径定理的推论：平分非直径弦的半径垂直于这条弦，由此得到OC⊥AB。接下来连接半径OA，就能构造出直角三角形OAE，已知OA是半径等于OC=2，OE的长度为√2，利用勾股定理可以先算出半弦长AE，再根据垂径定理AB=2AE，就能求出弦AB的总长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ 半径OC过弦AB的中点E，由垂径定理可得：
$OC⊥ AB$，且$AE = BE = \frac{1}{2}AB$，
已知$\odot O$半径$OC=2$，因此$OA=OC=2$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$，
因此$AB = 2AE = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求解弦长的基础题型，核心考察垂径定理的应用，这类题的常规解题思路就是连接圆心与弦的端点构造直角三角形，结合勾股定理完成计算，是圆章节必须掌握的基础解题方法。
【难度系数】
0.8
首先题目给出半径OC过弦AB的中点E，我们可以直接联想到垂径定理的推论：平分非直径弦的半径垂直于这条弦，由此得到OC⊥AB。接下来连接半径OA，就能构造出直角三角形OAE，已知OA是半径等于OC=2，OE的长度为√2，利用勾股定理可以先算出半弦长AE，再根据垂径定理AB=2AE，就能求出弦AB的总长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ 半径OC过弦AB的中点E，由垂径定理可得：
$OC⊥ AB$，且$AE = BE = \frac{1}{2}AB$，
已知$\odot O$半径$OC=2$，因此$OA=OC=2$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$，
因此$AB = 2AE = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中求解弦长的基础题型，核心考察垂径定理的应用，这类题的常规解题思路就是连接圆心与弦的端点构造直角三角形，结合勾股定理完成计算，是圆章节必须掌握的基础解题方法。
【难度系数】
0.8
4. (2025·江阴期中)如图是某拱桥的截面,桥拱的形状是一段圆弧,A,B是桥拱与水面的交点.若A,B两点间的距离为10米,桥拱的最高点为C,点C到水面的距离为4米,则桥拱所在圆的半径为
$\frac{41}{8}$
米.答案
4.$\frac{41}{8}$
解析
【分析】
这是典型的利用圆的性质求解半径的应用题，解题思路如下：1. 先明确已知条件：弦AB长10米，弧最高点C到弦AB（水面）的距离为4米，目标求圆弧所在圆的半径；2. 按照这类题型的常规方法，先作辅助线：设圆心为O，过O作弦AB的垂线，连接OA，利用垂径定理得到弦长的一半为5米；3. 设圆半径为r，可表示出圆心到弦AB的距离为(r-4)米；4. 在构造出的直角三角形中应用勾股定理列方程，求解即可得到半径。
【解析】
解：设桥拱所在圆的圆心为O，半径为r米，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA。
由题意得：AB=10m，CD=4m，
根据垂径定理，AD = $\frac{1}{2}$AB = 5 m，
∵ C是弧AB的最高点，OC为圆的半径，OC⊥AB，
∴ OD = OC - CD = (r - 4) m，
在Rt△OAD中，由勾股定理可得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
代入对应数值：
$r^2 = 5^2 + (r - 4)^2$
展开并化简方程：
$r^2 = 25 + r^2 - 8r + 16$
消去$r^2$后整理得：$8r = 41$
解得：$r = \frac{41}{8}$
【答案】
$\frac{41}{8}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，是拱高、弦长求半径的经典模型，核心考点是垂径定理的辅助线构造，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，多数学生只要掌握该类题型的常规解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的利用圆的性质求解半径的应用题，解题思路如下：1. 先明确已知条件：弦AB长10米，弧最高点C到弦AB（水面）的距离为4米，目标求圆弧所在圆的半径；2. 按照这类题型的常规方法，先作辅助线：设圆心为O，过O作弦AB的垂线，连接OA，利用垂径定理得到弦长的一半为5米；3. 设圆半径为r，可表示出圆心到弦AB的距离为(r-4)米；4. 在构造出的直角三角形中应用勾股定理列方程，求解即可得到半径。
【解析】
解：设桥拱所在圆的圆心为O，半径为r米，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA。
由题意得：AB=10m，CD=4m，
根据垂径定理，AD = $\frac{1}{2}$AB = 5 m，
∵ C是弧AB的最高点，OC为圆的半径，OC⊥AB，
∴ OD = OC - CD = (r - 4) m，
在Rt△OAD中，由勾股定理可得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
代入对应数值：
$r^2 = 5^2 + (r - 4)^2$
展开并化简方程：
$r^2 = 25 + r^2 - 8r + 16$
消去$r^2$后整理得：$8r = 41$
解得：$r = \frac{41}{8}$
【答案】
$\frac{41}{8}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，是拱高、弦长求半径的经典模型，核心考点是垂径定理的辅助线构造，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，多数学生只要掌握该类题型的常规解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在以点$O$为圆心的两个同心圆中,大圆的弦$AB$交小圆于点$C$,$D$.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若大圆的半径为10,小圆的半径为8,且圆心$O$到直线$AB$的距离为6,求$AC$的长.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若大圆的半径为10,小圆的半径为8,且圆心$O$到直线$AB$的距离为6,求$AC$的长.
答案
5.(1)证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E,
则$CE=DE$,$AE=BE$,
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD$.
(2)解:如答图,连接$OC$,$OA$.$\because OE=6$,$OA=10$,$OC=8$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$,$AE=$$\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore AC=AE-CE=8-$$2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
这是同心圆相关的圆的基础题型，第一问要证明AC=BD，我们可以用圆中处理弦的通用思路：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可以同时平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，得到AE=BE、CE=DE两个等式，将两个等式相减就能直接推导出AC=BD。第二问求AC的长度，借助刚才作出的圆心到AB的垂线段OE，已知OE的长度、大圆半径OA、小圆半径OC，分别在两个直角三角形中用勾股定理算出AE和CE的长度，二者作差即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OE⊥AB$于点E，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可得：
$AE = BE$，$CE = DE$，
将两个等式左右分别相减，得 $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC = BD$，得证。
(2) 解：连接OA、OC，
已知圆心O到直线AB的距离$OE=6$，大圆半径$OA=10$，小圆半径$OC=8$，
在$Rt△OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$，
因此 $AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
5.(1)证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E,
则$CE=DE$,$AE=BE$,
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD$.
(2)解:如答图,连接$OC$,$OA$.$\because OE=6$,$OA=10$,$OC=8$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$,$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆部分的基础常考题，核心是考察垂径定理的典型应用，通过作圆心到弦的垂线段这条常用辅助线，同时满足两个同心圆的弦的平分条件，再结合勾股定理完成线段长度计算，能帮助学生熟练掌握圆中弦相关问题的通用解题思路。
【难度系数】
0.7
这是同心圆相关的圆的基础题型，第一问要证明AC=BD，我们可以用圆中处理弦的通用思路：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可以同时平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，得到AE=BE、CE=DE两个等式，将两个等式相减就能直接推导出AC=BD。第二问求AC的长度，借助刚才作出的圆心到AB的垂线段OE，已知OE的长度、大圆半径OA、小圆半径OC，分别在两个直角三角形中用勾股定理算出AE和CE的长度，二者作差即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OE⊥AB$于点E，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可得：
$AE = BE$，$CE = DE$，
将两个等式左右分别相减，得 $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC = BD$，得证。
(2) 解：连接OA、OC，
已知圆心O到直线AB的距离$OE=6$，大圆半径$OA=10$，小圆半径$OC=8$，
在$Rt△OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$，
因此 $AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
5.(1)证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E,
则$CE=DE$,$AE=BE$,
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD$.
(2)解:如答图,连接$OC$,$OA$.$\because OE=6$,$OA=10$,$OC=8$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$,$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆部分的基础常考题，核心是考察垂径定理的典型应用，通过作圆心到弦的垂线段这条常用辅助线，同时满足两个同心圆的弦的平分条件，再结合勾股定理完成线段长度计算，能帮助学生熟练掌握圆中弦相关问题的通用解题思路。
【难度系数】
0.7
6. (2025·梁溪区月考)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图,$EF=CD=$8 cm,则球的半径是（
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
B
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
6.B
解析
【分析】
这道题是球的截面与矩形结合的几何应用题，我们可以按照以下思路思考：首先明确截面中的虚线圆是球的大圆，圆心为O，ABCD是矩形。我们先作辅助线：过圆心O作EF的垂线，利用垂径定理得到EF的半长，再结合圆和BC边相切的性质，用半径r表示出圆心到EF的距离，最后在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程，就能解出球的半径。
【解析】
解：取EF的中点G，过点O作OG⊥AD，垂足为G，连接OF。
1. 由矩形性质可知：四边形ABCD中CD⊥AD，CD=8cm，AD//BC；
2. 因为圆O与BC边相切，根据切线的性质，圆心O到BC的距离等于球的半径r，因此圆心O到AD边的距离OG = CD - r = (8 - r) cm；
3. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此GF = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}×8 = 4$ cm；
4. 设球的半径为r cm，则OF = r cm，在Rt△OGF中由勾股定理得：
$OG^2 + GF^2 = OF^2$
代入对应数值：
$(8-r)^2 + 4^2 = r^2$
展开化简：
$64 -16r + r^2 +16 = r^2$
$80 = 16r$
解得r=5，即球的半径为5cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，切线性质
【点评】
本题属于圆的性质结合矩形的实际应用题型，核心考点是通过作辅助线构造直角三角形，将未知量设为未知数后利用勾股定理建立方程求解，解题的易错点是错误表示圆心到弦EF的距离，理清圆心到矩形两条对边的距离和矩形边长的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
这道题是球的截面与矩形结合的几何应用题，我们可以按照以下思路思考：首先明确截面中的虚线圆是球的大圆，圆心为O，ABCD是矩形。我们先作辅助线：过圆心O作EF的垂线，利用垂径定理得到EF的半长，再结合圆和BC边相切的性质，用半径r表示出圆心到EF的距离，最后在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程，就能解出球的半径。
【解析】
解：取EF的中点G，过点O作OG⊥AD，垂足为G，连接OF。
1. 由矩形性质可知：四边形ABCD中CD⊥AD，CD=8cm，AD//BC；
2. 因为圆O与BC边相切，根据切线的性质，圆心O到BC的距离等于球的半径r，因此圆心O到AD边的距离OG = CD - r = (8 - r) cm；
3. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此GF = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}×8 = 4$ cm；
4. 设球的半径为r cm，则OF = r cm，在Rt△OGF中由勾股定理得：
$OG^2 + GF^2 = OF^2$
代入对应数值：
$(8-r)^2 + 4^2 = r^2$
展开化简：
$64 -16r + r^2 +16 = r^2$
$80 = 16r$
解得r=5，即球的半径为5cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，切线性质
【点评】
本题属于圆的性质结合矩形的实际应用题型，核心考点是通过作辅助线构造直角三角形，将未知量设为未知数后利用勾股定理建立方程求解，解题的易错点是错误表示圆心到弦EF的距离，理清圆心到矩形两条对边的距离和矩形边长的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
7. 如图,$\odot O$的半径是8,$AB$是$\odot O$的直径,$M$为$AB$上一动点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,则$CM+DM$的最小值为
16
.答案
7.16
解析
【分析】
这是典型的动点在定直线上的线段和最小值问题，对应将军饮马模型，解题思路如下：
1. 首先明确动点M的运动轨迹是直径AB，要转化CM+DM的长度：作点C关于AB的对称点C'，根据轴对称性质，CM=C'M，因此CM+DM = C'M + DM，根据两点之间线段最短，当C'、M、D三点共线时，C'M+DM取得最小值，也就是线段C'D的长度。
2. 结合圆的轴对称性，C关于AB的对称点C'一定在⊙O上，再根据已知的三段弧相等的条件，推导C'D为圆的直径，即可直接算出最小值。
【解析】
解：作点C关于直径AB的对称点C'，根据圆的轴对称性，可知C'在⊙O上，连接C'D，交AB于点M，此时CM+DM取得最小值。
由题意，AB是⊙O的直径，因此下半圆对应的圆心角为180°，又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，可得每段弧对应的圆心角为$180°÷3=60°$。
根据轴对称性质，$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}=60°$，因此$∠ C'OD = ∠ AOC' + ∠ AOC + ∠ COD = 60°+60°+60°=180°$，即C'D是⊙O的直径。
已知⊙O半径为8，因此直径C'D=2×8=16，即CM+DM的最小值为16。
【答案】
16
【知识点】
轴对称最短路径，圆的对称性，弧与圆心角关系
【点评】
本题将将军饮马最短路径模型和圆的性质结合，巧妙利用圆的轴对称性将对称点落在圆上，通过弧的等量关系直接推得最小值对应的线段为直径，无需复杂计算，重点考察学生对线段和最小值的转化思路，以及圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这是典型的动点在定直线上的线段和最小值问题，对应将军饮马模型，解题思路如下：
1. 首先明确动点M的运动轨迹是直径AB，要转化CM+DM的长度：作点C关于AB的对称点C'，根据轴对称性质，CM=C'M，因此CM+DM = C'M + DM，根据两点之间线段最短，当C'、M、D三点共线时，C'M+DM取得最小值，也就是线段C'D的长度。
2. 结合圆的轴对称性，C关于AB的对称点C'一定在⊙O上，再根据已知的三段弧相等的条件，推导C'D为圆的直径，即可直接算出最小值。
【解析】
解：作点C关于直径AB的对称点C'，根据圆的轴对称性，可知C'在⊙O上，连接C'D，交AB于点M，此时CM+DM取得最小值。
由题意，AB是⊙O的直径，因此下半圆对应的圆心角为180°，又因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，可得每段弧对应的圆心角为$180°÷3=60°$。
根据轴对称性质，$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}=60°$，因此$∠ C'OD = ∠ AOC' + ∠ AOC + ∠ COD = 60°+60°+60°=180°$，即C'D是⊙O的直径。
已知⊙O半径为8，因此直径C'D=2×8=16，即CM+DM的最小值为16。
【答案】
16
【知识点】
轴对称最短路径，圆的对称性，弧与圆心角关系
【点评】
本题将将军饮马最短路径模型和圆的性质结合，巧妙利用圆的轴对称性将对称点落在圆上，通过弧的等量关系直接推得最小值对应的线段为直径，无需复杂计算，重点考察学生对线段和最小值的转化思路，以及圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
