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8. 已知$\odot O$的直径为10,弦$AB=6$,P 是弦 AB 上一动点,则 OP 长的取值范围是
$4≤ OP≤5$
.答案
8.$4≤ OP≤5$
解析
【分析】
要确定OP长的取值范围，我们可以从动点P的两个极端位置入手分析：
1. 首先由圆的直径得到圆的半径为5，先判断OP的最大值：P在弦AB上运动，当P运动到弦AB的端点A或B时，点P在圆上，此时OP的长度等于圆的半径，是OP能取到的最大值。
2. 再判断OP的最小值：根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，当OP垂直于弦AB时，OP的长度是点O到AB的垂线段，此时OP取得最小值，我们可以通过垂径定理结合勾股定理计算出这个最小值，最终就能得到OP的完整取值范围。
【解析】
解：已知⊙O的直径为10，因此⊙O的半径r=5，连接OA，过O作OP'⊥AB于点P'。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AP' = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} ×6 = 3$
在Rt△OAP'中，OA=5，AP'=3，由勾股定理可得：
$OP' = \sqrt{OA^2 - AP'^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$
当P在弦AB上运动时，OP的长度最小为垂线段OP'的长度4；当P与弦AB的端点A或B重合时，OP取得最大值，等于半径5。
因此OP长的取值范围是$4≤ OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中基础的动点距离问题，核心是利用极端位置法找OP的最值，部分同学容易错误认为OP最小值为0，忽略了点O到弦AB的最短距离是垂线段而非0，掌握垂径定理结合勾股定理的常规计算即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要确定OP长的取值范围，我们可以从动点P的两个极端位置入手分析：
1. 首先由圆的直径得到圆的半径为5，先判断OP的最大值：P在弦AB上运动，当P运动到弦AB的端点A或B时，点P在圆上，此时OP的长度等于圆的半径，是OP能取到的最大值。
2. 再判断OP的最小值：根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，当OP垂直于弦AB时，OP的长度是点O到AB的垂线段，此时OP取得最小值，我们可以通过垂径定理结合勾股定理计算出这个最小值，最终就能得到OP的完整取值范围。
【解析】
解：已知⊙O的直径为10，因此⊙O的半径r=5，连接OA，过O作OP'⊥AB于点P'。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AP' = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} ×6 = 3$
在Rt△OAP'中，OA=5，AP'=3，由勾股定理可得：
$OP' = \sqrt{OA^2 - AP'^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$
当P在弦AB上运动时，OP的长度最小为垂线段OP'的长度4；当P与弦AB的端点A或B重合时，OP取得最大值，等于半径5。
因此OP长的取值范围是$4≤ OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中基础的动点距离问题，核心是利用极端位置法找OP的最值，部分同学容易错误认为OP最小值为0，忽略了点O到弦AB的最短距离是垂线段而非0，掌握垂径定理结合勾股定理的常规计算即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
9. (2025·工业园区月考)已知 AB 是$\odot O$的直径，$AB=8$，E 是 OB 上一点，且$AE=7EB$，弦 CD过点 E.
(1) 如图①，当$CD⊥ AB$时，求 CD 的长；
(2) 如图②，当 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点时，求 CD 的长.
(1) 如图①，当$CD⊥ AB$时，求 CD 的长；
(2) 如图②，当 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点时，求 CD 的长.
答案
9.解:(1)如答图①,连接$OC$.
由条件可知$OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=4$,$AE=\frac{7}{7+1}AB=7$,
$\therefore OE=AE-AO=7-4=3$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2CE=2\sqrt{7}$.
(2)如答图②,连接$OC$,过点O作$OF⊥ CD$于点F.
由条件可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore∠ AOC=∠ BOC=90°$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
在$\mathrm{Rt}△ COF$中,$OF^2=OC^2-CF^2=4^2-CF^2$,
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,$OF^2=OE^2-EF^2=3^2-(5-CF)^2$,
$\therefore4^2-CF^2=3^2-(5-CF)^2$,解得$CF=3.2$.
$\because OF⊥ CD$,$\therefore CD=2CF=6.4$.
解析
【分析】
我们先从已知条件推导基础线段长度：AB是直径长为8，且AE=7EB，可算出AE=7，EB=1，圆的半径OA=OB=OC=4，进而得到OE=AE-OA=3，这是两小问共用的基础量。
第(1)问CD⊥AB，符合垂径定理的应用条件，连接半径OC后，在Rt△OCE中用勾股定理算出CE的长度，再根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，得到CD=2CE即可求出结果。
第(2)问C是弧AB的中点，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，先在Rt△OCE中算出CE的长度，再过O作OF⊥CD，利用垂径定理可知CD=2CF，设CF为未知数，利用公共边OF在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出OF²，列方程求解得到CF，最后乘2即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 连接OC，
已知AB=8，AB是⊙O直径，因此OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=4，
由AE=7EB，且AE+EB=AB=8，可得AE=7，EB=1，
因此OE=AE - AO =7 -4=3，
∵ CD⊥AB，根据垂径定理，E是CD中点，即CE=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，
∴ $CD=2CE=2\sqrt{7}$。
(2) 连接OC，过点O作OF⊥CD于点F，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，AB是直径，
∴ ∠AOC=∠BOC=90°，即OC⊥AB，
在Rt△OCE中，OC=4，OE=3，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 + OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
设CF=x，那么EF=CE - CF=5 - x，
在Rt△COF中，$OF^2=OC^2 - CF^2=4^2 - x^2$，
在Rt△OEF中，$OF^2=OE^2 - EF^2=3^2 - (5 - x)^2$，
联立得方程：$16 - x^2 = 9 - (5 - x)^2$，
化简后解得x=3.2，
∵ OF⊥CD，由垂径定理得$CD=2CF=2×3.2=6.4$。
【答案】
9.解:(1)如答图①,连接$OC$.
由条件可知$OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=4$,$AE=\frac{7}{7+1}AB=7$,
$\therefore OE=AE-AO=7-4=3$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2CE=2\sqrt{7}$.
(2)如答图②,连接$OC$,过点O作$OF⊥ CD$于点F.
由条件可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore∠ AOC=∠ BOC=90°$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
在$\mathrm{Rt}△ COF$中,$OF^2=OC^2-CF^2=4^2-CF^2$,
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,$OF^2=OE^2-EF^2=3^2-(5-CF)^2$,
$\therefore4^2-CF^2=3^2-(5-CF)^2$,解得$CF=3.2$.
$\because OF⊥ CD$,$\therefore CD=2CF=6.4$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧与圆心角关系
【点评】
本题是圆中弦长计算的经典基础题型，核心考察垂径定理和勾股定理的结合应用，第一问可直接套用垂径定理快速求解，第二问需要主动作弦心距构造直角三角形，利用公共边相等建立方程求解，渗透了方程思想，整体难度梯度合理，能有效检验学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
我们先从已知条件推导基础线段长度：AB是直径长为8，且AE=7EB，可算出AE=7，EB=1，圆的半径OA=OB=OC=4，进而得到OE=AE-OA=3，这是两小问共用的基础量。
第(1)问CD⊥AB，符合垂径定理的应用条件，连接半径OC后，在Rt△OCE中用勾股定理算出CE的长度，再根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，得到CD=2CE即可求出结果。
第(2)问C是弧AB的中点，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，先在Rt△OCE中算出CE的长度，再过O作OF⊥CD，利用垂径定理可知CD=2CF，设CF为未知数，利用公共边OF在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出OF²，列方程求解得到CF，最后乘2即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 连接OC，
已知AB=8，AB是⊙O直径，因此OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=4，
由AE=7EB，且AE+EB=AB=8，可得AE=7，EB=1，
因此OE=AE - AO =7 -4=3，
∵ CD⊥AB，根据垂径定理，E是CD中点，即CE=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，
∴ $CD=2CE=2\sqrt{7}$。
(2) 连接OC，过点O作OF⊥CD于点F，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，AB是直径，
∴ ∠AOC=∠BOC=90°，即OC⊥AB，
在Rt△OCE中，OC=4，OE=3，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 + OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
设CF=x，那么EF=CE - CF=5 - x，
在Rt△COF中，$OF^2=OC^2 - CF^2=4^2 - x^2$，
在Rt△OEF中，$OF^2=OE^2 - EF^2=3^2 - (5 - x)^2$，
联立得方程：$16 - x^2 = 9 - (5 - x)^2$，
化简后解得x=3.2，
∵ OF⊥CD，由垂径定理得$CD=2CF=2×3.2=6.4$。
【答案】
9.解:(1)如答图①,连接$OC$.
由条件可知$OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=4$,$AE=\frac{7}{7+1}AB=7$,
$\therefore OE=AE-AO=7-4=3$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.
$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2CE=2\sqrt{7}$.
(2)如答图②,连接$OC$,过点O作$OF⊥ CD$于点F.
由条件可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore∠ AOC=∠ BOC=90°$,
$\therefore CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
在$\mathrm{Rt}△ COF$中,$OF^2=OC^2-CF^2=4^2-CF^2$,
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,$OF^2=OE^2-EF^2=3^2-(5-CF)^2$,
$\therefore4^2-CF^2=3^2-(5-CF)^2$,解得$CF=3.2$.
$\because OF⊥ CD$,$\therefore CD=2CF=6.4$.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧与圆心角关系
【点评】
本题是圆中弦长计算的经典基础题型，核心考察垂径定理和勾股定理的结合应用，第一问可直接套用垂径定理快速求解，第二问需要主动作弦心距构造直角三角形，利用公共边相等建立方程求解，渗透了方程思想，整体难度梯度合理，能有效检验学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
10. 如图,$P$是$\odot O$内一定点.
(1)过点$P$作弦$AB$,使$P$是$AB$的中点.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$\odot O$的半径为$13$,$OP=5$,
①求过点$P$的弦的长度$m$的取值范围;
②过点$P$的弦中,长度为整数的弦有
(1)过点$P$作弦$AB$,使$P$是$AB$的中点.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$\odot O$的半径为$13$,$OP=5$,
①求过点$P$的弦的长度$m$的取值范围;
②过点$P$的弦中,长度为整数的弦有
4
条.答案
10.(1)解:如答图,连接$OP$并延长,过点P作$AB⊥ OP$,则弦$AB$即为所求.
(2)①解:过点P的所有弦中,直径最长,为26.与$OP$垂直的弦最短,连接$OA$,如答图.
$\because OP⊥ AB$,$\therefore AP=BP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
$\therefore AB=2AP=24$,
$\therefore$过点P的弦的长度$m$的取值范围为$24≤ m≤26$.
②4
解析
【分析】
这道题围绕圆的垂径定理相关性质展开，解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问要作出以P为中点的弦，回忆垂径定理的推论：垂直于弦的直径平分弦，因此我们只需要先连接圆心O和点P，再过点P作OP的垂线，垂线与圆的两个交点构成的弦AB，就满足P是AB的中点，符合作图要求。
2. 第(2)①问求过点P的弦长取值范围：首先圆内的弦最长为直径，直接计算出直径长度为26；再根据圆的性质，过圆内定点的所有弦中，和该点与圆心连线互相垂直的弦是最短的，连接半径OA，用勾股定理算出半弦长后乘2得到最短弦长，即可得到弦长m的取值范围。
3. 第(2)②问统计长度为整数的弦的条数：先找出取值范围内的所有整数值，再结合圆的对称性，判断每个整数值对应的弦的数量，相加即可得到总条数。
【解析】
(1) 按照垂径定理要求，连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，所得弦AB即为所求，保留垂线作图痕迹即可。
(2) ① 已知⊙O的半径为13，因此⊙O的直径长度为2×13=26，过圆内点P的所有弦中，直径是最长的弦。
连接OA，根据圆的性质，当AB⊥OP时，AB是过点P的最短弦，由垂径定理得AP=BP，在Rt△OPA中，OA=13，OP=5，由勾股定理计算：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
因此$AB=2AP=24$，可得过点P的弦的长度m的取值范围是$24≤m≤26$。
② 弦长m的可取整数值为24、25、26：
长度为24的弦：仅1条，即与OP垂直的最短弦；
长度为26的弦：仅1条，即过点P的直径；
长度为25的弦：根据圆的对称性，在OP两侧各存在1条长度为25的弦，共2条；
总条数为$1+2+1=4$。
【答案】
(1) 作图结果如图：
(2) ① $24≤m≤26$；② 4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考察对圆内过定点弦的长短规律的掌握，易错点是统计长度为25的弦的数量，不少同学会忽略圆的对称性，误以为仅存在1条，解题时结合图形逐一计数就能避免漏算错误。
【难度系数】
0.6
这道题围绕圆的垂径定理相关性质展开，解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问要作出以P为中点的弦，回忆垂径定理的推论：垂直于弦的直径平分弦，因此我们只需要先连接圆心O和点P，再过点P作OP的垂线，垂线与圆的两个交点构成的弦AB，就满足P是AB的中点，符合作图要求。
2. 第(2)①问求过点P的弦长取值范围：首先圆内的弦最长为直径，直接计算出直径长度为26；再根据圆的性质，过圆内定点的所有弦中，和该点与圆心连线互相垂直的弦是最短的，连接半径OA，用勾股定理算出半弦长后乘2得到最短弦长，即可得到弦长m的取值范围。
3. 第(2)②问统计长度为整数的弦的条数：先找出取值范围内的所有整数值，再结合圆的对称性，判断每个整数值对应的弦的数量，相加即可得到总条数。
【解析】
(1) 按照垂径定理要求，连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，所得弦AB即为所求，保留垂线作图痕迹即可。
(2) ① 已知⊙O的半径为13，因此⊙O的直径长度为2×13=26，过圆内点P的所有弦中，直径是最长的弦。
连接OA，根据圆的性质，当AB⊥OP时，AB是过点P的最短弦，由垂径定理得AP=BP，在Rt△OPA中，OA=13，OP=5，由勾股定理计算：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
因此$AB=2AP=24$，可得过点P的弦的长度m的取值范围是$24≤m≤26$。
② 弦长m的可取整数值为24、25、26：
长度为24的弦：仅1条，即与OP垂直的最短弦；
长度为26的弦：仅1条，即过点P的直径；
长度为25的弦：根据圆的对称性，在OP两侧各存在1条长度为25的弦，共2条；
总条数为$1+2+1=4$。
【答案】
(1) 作图结果如图：
(2) ① $24≤m≤26$；② 4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考察对圆内过定点弦的长短规律的掌握，易错点是统计长度为25的弦的数量，不少同学会忽略圆的对称性，误以为仅存在1条，解题时结合图形逐一计数就能避免漏算错误。
【难度系数】
0.6
［基础图形］
［已知条件］$OC⊥ AB$
［基本结论］①$AC=BC$；②$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE},\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；③$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$
［已知条件］$OC⊥ AB$
［基本结论］①$AC=BC$；②$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE},\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；③$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$
答案
证明：
连接OA、OB，
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
又∵ OC⊥AB，
∴ △OAB为等腰三角形，OC是底边AB上的高，
由等腰三角形三线合一性质，可得$AC=BC$，且OC平分∠AOB，
即 $∠ AOE = ∠ BOE$，$∠ AOD = ∠ BOD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$。
连接OA、OB，
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
又∵ OC⊥AB，
∴ △OAB为等腰三角形，OC是底边AB上的高，
由等腰三角形三线合一性质，可得$AC=BC$，且OC平分∠AOB，
即 $∠ AOE = ∠ BOE$，$∠ AOD = ∠ BOD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$。
解析
【分析】
我们要证明给出的三个结论，首先从已知条件OC⊥AB出发梳理思路：第一步先连接圆的两条半径OA、OB，利用同圆半径相等的性质得到OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，结合OC是底边AB上的高，用等腰三角形三线合一的性质直接推出AC=BC，同时得到OC平分∠AOB，得到两组相等的圆心角；第二步根据同圆中相等的圆心角对应的弧相等，即可推出对应的两段弧相等；第三步观察OC⊥AB可知△OAC是直角三角形，直接用勾股定理就能推导出第三个平方关系的结论，整个推导逻辑连贯，用已学基础性质就可以逐步完成证明。
【解析】
证明：
连接OA、OB，
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
又
∵ OC⊥AB，
∴ △OAB为等腰三角形，OC是底边AB上的高，
由等腰三角形三线合一性质，可得$AC=BC$，且OC平分∠AOB，
即 $∠ AOE = ∠ BOE$，$∠ AOD = ∠ BOD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$。
【答案】
三个结论全部得证，证明过程如上。
【知识点】
垂径定理，等腰三线合一，勾股定理
【点评】
这是垂径定理的经典基础原型图，是后续圆中弦长、弦心距、半径相关计算的核心基础模型，将圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理三者结合，是圆板块最常用的组合解题模型，熟练掌握这三个结论可以大幅提升后续相关题目的解题效率。
【难度系数】
0.9
我们要证明给出的三个结论，首先从已知条件OC⊥AB出发梳理思路：第一步先连接圆的两条半径OA、OB，利用同圆半径相等的性质得到OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，结合OC是底边AB上的高，用等腰三角形三线合一的性质直接推出AC=BC，同时得到OC平分∠AOB，得到两组相等的圆心角；第二步根据同圆中相等的圆心角对应的弧相等，即可推出对应的两段弧相等；第三步观察OC⊥AB可知△OAC是直角三角形，直接用勾股定理就能推导出第三个平方关系的结论，整个推导逻辑连贯，用已学基础性质就可以逐步完成证明。
【解析】
证明：
连接OA、OB，
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA = OB，
又
∵ OC⊥AB，
∴ △OAB为等腰三角形，OC是底边AB上的高，
由等腰三角形三线合一性质，可得$AC=BC$，且OC平分∠AOB，
即 $∠ AOE = ∠ BOE$，$∠ AOD = ∠ BOD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理可得：
$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$。
【答案】
三个结论全部得证，证明过程如上。
【知识点】
垂径定理，等腰三线合一，勾股定理
【点评】
这是垂径定理的经典基础原型图，是后续圆中弦长、弦心距、半径相关计算的核心基础模型，将圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理三者结合，是圆板块最常用的组合解题模型，熟练掌握这三个结论可以大幅提升后续相关题目的解题效率。
【难度系数】
0.9
