10. 如图, A B, C D 为 $\odot O$ 的两条直径, 点 E, F 在直径 C D 上, 且 $C E=D F$. 猜想 A F, B E 的关系并说明理由.

10. 解:$AF=BE$且$AF// BE$.
理由:$\because AB,CD$为$\odot O$的两条直径,
$\therefore OA=OB,OC=OD.$
$\because CE=DF,\therefore OC-CE=OD-DF,\therefore OE=OF.$
在$△ AOF$和$△ BOE$中,$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AOF=∠ BOE,\\ OF=OE, \end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ BOE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AF=BE,∠ A=∠ B,\therefore AF// BE.$

【分析】
我们探究两条线段的关系，需要同时考虑数量关系和位置关系两个维度。首先从已知条件出发：AB、CD是圆O的直径，根据圆的基本性质，直径都过圆心，可得半径OA=OB，OC=OD；题目给出CE=DF，用等式性质对半径做减法，就能推导出OE=OF。接下来观察△AOF和△BOE，已经有两组边对应相等，且它们的夹角是对顶角天然相等，就可以用SAS证明两个三角形全等，全等后直接得到对应边AF=BE，同时对应角∠A=∠B，这组角是内错角，内错角相等就能推出AF平行于BE，就得到两条线段的全部关系了。
【解析】
AF与BE的关系为AF=BE，且AF//BE，理由如下：
1. 由AB、CD是⊙O的两条直径，可得⊙O的半径满足OA=OB，OC=OD。
2. 已知CE=DF，根据等式的基本性质，可得OC - CE = OD - DF，即OE=OF。
3. 在△AOF和△BOE中：
$\begin{cases}OA = OB \\∠AOF = ∠BOE \\OF = OE\end{cases}$
因此△AOF ≌ △BOE（SAS）。
4. 由全等三角形的性质，可得对应边AF=BE，对应角∠OAF=∠OBE。
又因为∠OAF和∠OBE是直线AF、BE被直线AB所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，因此AF//BE。
【答案】AF=BE且AF//BE
【知识点】
圆半径相等，全等SAS判定，平行线判定
【点评】
本题属于圆的基础几何证明题，引导学生从数量、位置两个维度探究线段关系，解题核心是利用圆的半径相等的性质推导边的等量关系，通过全等三角形完成线段相等和平行的证明，难度较低，适合巩固全等三角形与圆的基础性质的综合应用。
【难度系数】
0.8

11. 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$CD$ 是 $\odot O$ 的弦，$AB,CD$ 的延长线交于点 $E$，$AB=2DE$，若$∠ E=20°$，求$∠ AOC$的度数.

11. 解:如答图,连接$OD$.
$\because AB=2DE,\mathrm{且}AB=2OD,\therefore OD=DE,$
$\therefore ∠ DOE=∠ E=20°,$
$\therefore ∠ CDO=∠ DOE+∠ E=40°.$
又$\because OC=OD,\therefore ∠ C=∠ ODC=40°,$
$\therefore ∠ AOC=∠ C+∠ E=60°.$

【分析】
解题思路：首先观察题目给出的条件AB=2DE，结合AB是⊙O的直径，我们知道直径长度等于2倍半径，因此可以想到连接半径OD，这样就能把AB=2DE转化为OD=DE，构造出等腰△ODE。第一步先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠E=20°，求出∠DOE的度数，再根据三角形外角性质算出∠CDO的度数；第二步，因为OC和OD都是⊙O的半径，所以OC=OD，再次利用等腰三角形等边对等角得到∠C的度数；最后利用三角形外角的性质，∠AOC是△OCE的外角，等于与它不相邻的两个内角∠C和∠E的和，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵ AB是⊙O的直径，且AB=2OD，
又已知AB=2DE，
∴ OD=DE，
∴ ∠DOE=∠E=20°，
根据三角形外角性质，∠CDO=∠DOE+∠E=20°+20°=40°，
∵ OC和OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠C=∠ODC=40°，
再次根据三角形外角性质，∠AOC是△OCE的外角，
∴ ∠AOC=∠C+∠E=40°+20°=60°。
【答案】

【知识点】
圆的半径性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题的核心突破口是通过作辅助线OD，将直径与DE的数量关系转化为半径与DE相等，构造出等腰三角形逐步推导角度，综合考察了圆的基础性质和三角形角度相关定理的应用，属于圆章节的基础角度计算题型，重点考察学生构造辅助线的解题思路。
【难度系数】
0.7

12. (2025·宿迁泗阳县期中)如图,点 A,B 和点 C,D 分别在以点 O 为圆心的两个同心圆上,且
$∠ AOB=∠ COD.$
(1)$∠ C$与$∠ D$相等吗? 为什么?
(2)若 B,O,D 三点在同一直线上,$∠ A=40°,∠ C=30°$,求$∠ AOC$的度数.

12. 解:(1)$∠ C=∠ D$,理由:$\because ∠ AOB=∠ COD,$
$\therefore ∠ AOB+∠ AOC=∠ COD+∠ AOC,$
即$∠ AOD=∠ BOC.$
又$\because OA=OB,OD=OC,$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ C=∠ D.$
(2)$\because ∠ A=40°,∠ C=∠ D=30°,$
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ A-∠ D=110°.$
同理$∠ BOC=110°$.$\because B,O,D$三点在同一直线上,
$\therefore ∠ BOD=180°,\therefore ∠ AOC=110°+110°-180°=40°.$

【分析】
第一问要判断∠C和∠D是否相等，首先观察图形的边的属性：A、B在大圆上，OA、OB都是大圆半径，因此OA=OB；C、D在小圆上，OC、OD都是小圆半径，因此OC=OD。已知∠AOB=∠COD，给两个等角同时加上公共角∠AOC，就能推导出∠BOC=∠AOD，凑齐SAS全等的条件，证明△AOD和△BOC全等，即可得到对应角∠C=∠D。
第二问结合第一问的结论先得到∠D=∠C=30°，在△AOD中用三角形内角和算出∠AOD的度数，同理得到∠BOC的度数；又因为B、O、D三点共线，∠BOD是180°的平角，∠AOD和∠BOC相加时∠AOC被重复累加，用两个角的和减去平角180°，就能求出重叠部分∠AOC的度数。
【解析】
(1) ∠C与∠D相等，理由如下：
∵ ∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB + ∠AOC = ∠COD + ∠AOC，
即 ∠AOD = ∠BOC。
又
∵ OA、OB为大圆半径，OC、OD为小圆半径，
∴ OA = OB，OD = OC。
在△AOD和△BOC中：
$\{\begin{array}{l}OA = OB \\∠AOD = ∠BOC \\OD = OC\end{array} $
∴ △AOD ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠C = ∠D。
(2) 由(1)得∠D = ∠C = 30°，
在△AOD中，由三角形内角和为180°：
∠AOD = 180° - ∠A - ∠D = 180° - 40° - 30° = 110°，
同理可得∠BOC = 110°。
∵ B、O、D三点在同一直线上，
∴ ∠BOD = 180°，
由角的组成关系：∠AOD + ∠BOC = ∠BOD + ∠AOC，
代入数值计算得：∠AOC = 110° + 110° - 180° = 40°。
【答案】
(1) ∠C=∠D，理由见解析；(2) ∠AOC的度数为40°
【知识点】
全等三角形SAS判定，三角形内角和定理，平角的性质
【点评】
本题是同心圆背景下的基础几何综合题，第一问侧重考察角的和差转化，通过给等角叠加公共角构造全等条件，第二问需要学生理清多个角之间的重叠关系，结合内角和、平角性质完成计算，整体逻辑清晰，适合巩固全等证明和角度计算的相关知识点。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在平面直角坐标系中,$C(0,4)$,$A(3,0)$,$\odot A$的半径为2,$P$为$\odot A$上任意一点,$E$是$PC$的中点,求$OE$长度的最小值.

13. 解:如答图,连接$AC$,取$AC$的中点$H$,连接$EH,OH,AP$.
$\because CE=EP,CH=AH,\therefore EH=\frac{1}{2}PA=1,$
$\therefore$点$E$的运动轨迹是以点$H$为圆心,$1$为半径的圆.
$\because C(0,4),A(3,0),\therefore$点$H$的坐标为$(1.5,2),$
$\therefore OH=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5,$
$\therefore OE$长度的最小值为$OH-EH=2.5-1=1.5.$

【分析】
这是一道典型的动点最值问题，解题核心是先确定动点E的运动轨迹。首先观察已知条件：E是PC的中点，P是定圆⊙A上的动点，我们可以利用三角形中位线的性质做轨迹转化：取定点C和定点A连线的中点H，在△CPA中，EH就是中位线，长度恒等于PA的一半，PA是⊙A的半径为2，因此EH的长度恒为1，由此可推出E的运动轨迹是以H为圆心、半径为1的定圆。后续只需要计算定点O到圆心H的距离，再减去圆H的半径，就能得到OE的最小值。
【解析】
1. 作辅助线：连接AC，取AC的中点H，依次连接EH、OH、AP。
2. 由E是PC中点，H是AC中点，根据三角形中位线定理，可得$EH=\frac{1}{2}PA$。
3. 已知⊙A的半径为2，即$PA=2$，代入得$EH=\frac{1}{2}×2=1$，说明点E到定点H的距离恒为1，因此点E的运动轨迹是以H为圆心，半径为1的圆。
4. 已知$C(0,4)$，$A(3,0)$，由中点坐标公式可得AC中点H的坐标为$(1.5,2)$。
5. 由两点间距离公式计算O到H的距离：$OH=\sqrt{1.5^2+2^2}=\sqrt{6.25}=2.5$。
6. 根据点到圆的最短距离性质，定点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减去圆半径，因此OE的最小值为$OH-EH=2.5-1=1.5$。
【答案】

【知识点】
三角形中位线定理，隐圆轨迹，点到圆的最值
【点评】
本题属于经典的中位线构造隐圆的最值模型，没有直接给出动点E的轨迹，需要学生通过中点的特征主动推导轨迹，将复杂的双动点问题转化为熟悉的定点到定圆的最值问题，重点考察了轨迹转化的数学思想，是圆相关最值问题的常见考法。
【难度系数】
0.4