1. 下列说法中正确的是（）

A.弦是直径
B.弧是半圆
C.半圆是圆中最长的弧
D.直径是圆中最长的弦

1. D

【分析】
这是一道圆的基础概念辨析题，解题思路是先回忆弦、直径、弧、半圆的明确定义，再逐个对照选项判断说法是否成立：首先理清概念的从属关系，区分“甲属于乙”和“甲等价于乙”的差异，逐一排查每个选项的逻辑漏洞，最终选出正确结论。
【解析】
我们先明确相关基础定义，再逐一判断选项：
1. 弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦；直径的定义：经过圆心的弦叫做直径。
2. 弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧分为三类：大于半圆的优弧、等于半圆的弧、小于半圆的劣弧。
选项A：只有经过圆心的弦才是直径，普通弦不需要过圆心，因此不是所有弦都是直径，A错误。
选项B：弧包含优弧、半圆、劣弧，半圆只是特殊的一类弧，并非所有弧都是半圆，B错误。
选项C：圆中存在比半圆更长的优弧，因此半圆不是圆中最长的弧，C错误。
选项D：任意不经过圆心的弦，结合圆心和弦的两个端点构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，弦长一定小于两条半径之和也就是直径的长度，因此直径是圆中最长的弦，D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本概念，弦与直径的关系，弧的分类
【点评】
本题属于圆章节的入门基础题，核心考察概念的从属关系辨析，很多同学容易混淆“弦包含直径”“弧包含半圆”的逻辑，误把从属关系当成等价关系，只要牢记定义的边界，区分不同概念的范围就可以轻松避错。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在$\odot O$中,点$A,O,D$在一条直线上,点$B,O,C$在一条直线上,那么图中有弦 （）

A.2条
B.3条
C.4条
D.5条

2. B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。我们的解题思路是：第一步先找出图中所有位于圆上的点，第二步逐一排查图中画出的所有线段，判断线段的两个端点是否都在圆上，排除不符合条件的线段，最后统计符合要求的弦的数量即可得到结果。
【解析】
根据弦的定义，逐一判定图中的线段：
1. 先确定图中所有在圆上的点：点A、B、E、C都在⊙O上；
2. 排查已画出的线段：
线段AB：两个端点A、B都在圆上，属于弦；
线段BC：两个端点B、C都在圆上，属于弦（直径是特殊的弦）；
线段EC：两个端点E、C都在圆上，属于弦；
其余线段：OA、OB、OC、OE的端点O是圆心，不在圆上，不属于弦；ED、DC、AD的端点D不在圆上，也不属于弦。
因此图中符合定义的弦一共有3条。
【答案】
B
【知识点】
弦的定义，圆的基本概念
【点评】
本题核心考查弦的判定，易错点是误将半径、端点不在圆上的线段认作弦，只要牢牢抓住“弦的两个端点必须都在圆上”这个判定条件，就可以快速筛选出所有符合要求的弦，避免被多余线段干扰。
【难度系数】
0.7

3.(2025·泗阳县期末)在$\odot O$中,弦$AB=3$,圆心角$∠ AOB=60°$,则$\odot O$的半径为.

3. 3

【分析】
首先明确解题思路：第一步先利用圆的基本性质，得到同圆的两条半径OA、OB长度相等，可知△AOB是等腰三角形；第二步结合题目给出的圆心角∠AOB=60°，根据等边三角形的判定规则，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可推出△AOB三边相等，因此半径的长度就等于已知弦AB的长度，直接代入数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴OA = OB，
又
∵∠AOB = 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA = OB = AB，
∵AB = 3，
∴⊙O的半径为3。
【答案】
3
【知识点】
同圆半径相等，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础计算题，不需要添加辅助线，仅结合圆的基本性质和等边三角形的判定即可求解，主要考察学生对基础几何定理的掌握程度，是巩固圆相关概念的典型入门习题。
【难度系数】
0.9

4. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,已知$CD=4$,$OD=3$,则$AB$的长为 .

4. 10

【分析】
解题时首先想到连接圆心O和圆上的点C，得到圆的半径OC。由CD⊥AB可知△ODC是直角三角形，已知两条直角边CD=4、OD=3，直接用勾股定理就能算出半径OC的长度，再根据“直径是同圆半径的2倍”，即可求出直径AB的长度。
【解析】
连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°，即△ODC为直角三角形。
在Rt△ODC中，CD=4，OD=3，由勾股定理得：
OC = √(OD² + CD²) = √(3² + 4²) = √25 = 5，
∵ AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，
∴ AB = 2OC = 2×5 = 10。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，通过辅助线构造直角三角形，将圆的半径条件和勾股定理结合求解，思路直接清晰，主要考查学生对圆的基本元素性质和勾股定理的掌握程度，是圆章节入门的典型习题。
【难度系数】
0.9

5. 如图,两个圆的圆心为$O$,大圆半径$OC$,$OD$分别交小圆于点$A$,$B$,判断$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由.

5. 解:$AB// CD$.理由如下:
$\because OA=OB,OC=OD,$
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA,∠ OCD=∠ ODC,$
$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}(180°-∠ O),∠ OCD=\frac{1}{2}(180°-∠ O),$
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD,\therefore AB// CD.$

【分析】
解题时先观察图形特征，这是两个圆心相同的同心圆，首先根据同圆的半径相等，可得到小圆半径OA=OB，大圆半径OC=OD，因此△OAB和△OCD是共享公共顶角∠O的两个等腰三角形。接下来利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别用公共顶角∠O表示出两个三角形的底角∠OAB和∠OCD，可推得这组同位角大小相等，最后根据同位角相等的平行线判定规则，就能直接得到AB和CD的位置关系。
【解析】
$AB// CD$，理由如下：
$\because OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$，$∠ OCD=∠ ODC$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OAB=\frac{1}{2}(180°-∠ O)$，$∠ OCD=\frac{1}{2}(180°-∠ O)$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OCD$，
根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$，理由如上所述。
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；平行线判定
【点评】
本题是圆与平行线结合的基础证明题，依托同心圆的背景设置考点，无需添加复杂辅助线，核心是利用同圆半径相等得到共顶角的两个等腰三角形，通过底角相等推导同位角相等完成平行证明，能帮助学生巩固等腰三角形性质和平行线判定的综合运用。
【难度系数】
0.8

6. (2025·泗洪县期中) 如图,线段 $AB,CD,EF,GH$ 都是$\odot O$的弦,其中最短的弦是 （）

A.$GH$
B.$EF$
C.$CD$
D.$AB$

第6题图
第7题图
第9题图

6. A

【分析】
解题思路：首先回忆圆内弦的核心性质：过圆内某一定点的所有弦中，最长的弦是经过该点的直径，最短的弦是垂直于这条直径的弦。第一步先判断最长弦：观察图形可知AB经过圆心O，是⊙O的直径，属于图中所有共点弦里最长的；第二步对比剩余弦和AB的位置关系，发现GH与AB互相垂直，刚好符合最短弦的特征，由此即可推出结果。
【解析】
解：根据圆的弦的相关性质：过圆内一点的所有弦中，最长的弦为经过该点的直径，最短的弦为垂直于上述直径的弦。
题图中AB是⊙O的直径，是四条弦里最长的，GH与AB互相垂直，因此GH是四条弦中最短的。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆的弦的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础概念题，解题关键是牢记过圆内定点的弦的长短规律，区分最长弦、最短弦的位置特征，不需要复杂计算就可以直接得到结论，适合巩固圆的基本性质知识点。
【难度系数】
0.8

7. 如图,点$A,D,G,M$在半圆$O$上,四边形$ABOC$,四边形$OFDE$,四边形$HMNO$都是矩形,设$BC=a,EF=b,NH=c$,则下列各式正确的是（）

A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$

7. B

【分析】
这道题的核心思路是利用矩形和圆的性质完成线段的等量转化：首先观察到三个已知长度的线段a、b、c分别是三个矩形的对角线，我们只需要分别作出三个矩形的另一条对角线，也就是从圆心O连接到对应圆上的点A、D、M，就能把a、b、c分别转化为半圆的半径，再根据同圆半径都相等的性质，直接推出三者的大小关系，不需要额外计算边长。
【解析】
1. 作辅助线：连接OA、OD、OM。
2. 利用矩形对角线相等的性质推导：
因为四边形ABOC是矩形，它的两条对角线相等，因此BC=OA，已知BC=a，可得OA=a；
同理，四边形OFDE是矩形，对角线相等可得EF=OD，已知EF=b，可得OD=b；
四边形HMNO是矩形，对角线相等可得NH=OM，已知NH=c，可得OM=c。
3. 利用圆的半径性质推导：
点A、D、M都在半圆O上，OA、OD、OM都是半圆O的半径，同圆的所有半径长度相等，即OA=OD=OM，因此a=b=c。
【答案】B
【知识点】矩形对角线相等，同圆半径相等
【点评】本题是圆与矩形性质结合的经典题型，解题关键是跳出直接计算线段长度的思维定式，通过辅助线将分散的线段关联到圆的半径上，利用等量代换快速得到结论，侧重考察对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.8

8. 在半径为5的$\odot O$中,弦$AB=5\sqrt{2}$,则$∠ AOB=$.

8. $90°$

【分析】
解题时首先要明确同圆的半径相等，因此OA、OB的长度都等于圆的半径5，此时我们得到了△AOB的三条边的长度：OA=OB=5，AB=5√2，接下来可以通过计算三边的平方关系，利用勾股定理的逆定理判断△AOB的形状，进而直接求出顶角∠AOB的度数。整个过程不需要额外作辅助线，核心是把圆的半径条件转化为三角形的边长条件，再结合三角形相关定理求解角度。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为5，且OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB=5，
已知弦AB=5√2，分别计算三边的平方：
OA² + OB² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50，
AB² = (5√2)² = 25×2 = 50，
可得OA² + OB² = AB²，
根据勾股定理的逆定理可知，△AOB是直角三角形，
又
∵OA=OB，即△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
圆的半径性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，考察学生对同圆半径相等性质的掌握，以及勾股逆定理的应用，解题的关键是将圆的弦、半径条件转化为三角形的边长条件，无需添加辅助线，是圆章节求圆心角的常见基础考法。
【难度系数】
0.8

9.(2025·泗阳县一模)如图①,在正方形$ABCD$中,$AB=m$,以点$B$为圆心,$AB$的长为半径作$\overset{\frown}{AC}$,$F$为$\overset{\frown}{AC}$上一动点,作矩形$DEFG$,点$E,G$在正方形$ABCD$的边上,设$EF=x$,矩形$DEFG$的面积为$y$,$y$关于$x$的函数图象如图②所示,点$P$的坐标为$(2,8)$,则$m=$.

9. 10

【分析】
我们可以通过数形结合的思路解题：首先利用扇形半径等于正方形边长的性质，得到BF=AB=m，再结合矩形面积公式，从图②给出的最值点P(2,8)入手，当x=2时面积取最大值8，可快速得到此时矩形的另一边DE的长度为4，再通过勾股定理建立关于m的方程，排除不符合实际的解就能得到m的值。整个过程不需要推导完整的y关于x的函数，只需要利用特殊点的几何性质即可简化运算。
【解析】
解：连接BF，由题意可知，正方形ABCD边长AB=m，以B为圆心的弧AC的半径BF=AB=m。
设AE = t，因为AD=m，所以DE = AD - AE = m - t。
因为四边形DEFG是矩形，所以矩形面积y = EF·DE，已知EF=x，因此y = x(m - t)。
由图②可知，当x=2时，y取得最大值8，代入得：
8 = 2×(m - t)，解得m - t = 4，即t = m - 4。
过点F作FH⊥AB于H，在Rt△BHF中，BH = m - x，FH = t，由勾股定理得：
BF² = BH² + FH²
将BF=m，x=2，t=m-4代入上式：
(m - 4)² + (m - 2)² = m²
展开整理：
m² - 8m + 16 + m² - 4m + 4 = m²
m² - 12m + 20 = 0
因式分解得：(m - 10)(m - 2) = 0
解得m₁=10，m₂=2，其中m=2不符合实际几何意义（此时EF=2等于正方形边长，无法构造面积为8的矩形），舍去，因此m=10。
【答案】10
【知识点】正方形性质，勾股定理，数形结合
【点评】本题是几何动点与函数图象结合的综合题，核心考点是将函数图象的特殊点信息转化为几何条件，避免了复杂的函数解析式推导，侧重考查学生的数形结合转化能力，整体思路清晰但需要跳出硬求函数的惯性思维。
【难度系数】0.4