8. (2025·吴江区期中)如图,A,B 为$\odot O$上两点,$∠ AOB=90°$,$C$为$\odot O$上一动点(不与点$A,B$重合),$D$为$AC$的中点.若$\odot O$的半径为 2,则$BD$的最大值为（）

A.$1+\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$2\sqrt{2}$

8.A

【分析】
这是一道典型的动点最值问题，核心解题思路是先确定动点D的运动轨迹：已知D是AC的中点，我们可以构造三角形中位线推导D的轨迹。取OA的中点M，在△OAC中，M是OA中点、D是AC中点，因此DM是△OAC的中位线，可得DM=1/2 OC=1，说明动点D到定点M的距离恒为1，因此D的轨迹是以M为圆心、半径为1的圆。接下来利用“圆外一点到圆上点的最大距离=该点到圆心的距离+圆半径”的规律，先计算点B到圆心M的距离BM，再加上小圆半径1，即可得到BD的最大值。
【解析】
1. 构造辅助线：取OA的中点M，连接DM、BM。
2. 推导D的轨迹：
因为D为AC中点，M为OA中点，所以DM是△AOC的中位线。
已知⊙O的半径为2，即OC=OA=OB=2，因此DM = 1/2 OC = 1。
由此可得：动点D的运动轨迹是以M为圆心，半径r=1的圆。
3. 计算BM的长度：
已知∠AOB=90°，OM=1/2 OA = 1，OB=2，在Rt△BOM中，由勾股定理得：
$BM = \sqrt{OB^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
4. 求BD的最大值：
根据点到圆上点的最大距离性质，BD的最大值为点B到圆心M的距离加上小圆半径，即：
$BD_{max}=BM + r = \sqrt{5} + 1 = 1+\sqrt{5}$
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，隐圆轨迹，勾股定理
【点评】
本题属于隐圆类线段最值题型，解题关键是通过中位线性质快速定位动点D的隐藏圆轨迹，将动态线段最值问题转化为定点到定圆的最长距离问题，这类题型是圆相关最值的高频考法，需要学生熟练掌握构造隐圆的常用技巧。
【难度系数】
0.4

9.(2025·宜兴期中)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$\odot P$与$x$轴交于$B$,$C$两点,与$y$轴交于点$A$,且$OB=OC=2OA=4$,则$\odot P$的直径为.

9.10

【分析】
我们先从已知条件OB=OC=2OA=4入手，首先可以直接得到OB、OC、OA的长度，进而确定B、C、A三点的坐标。观察到B和C关于y轴对称，根据垂径定理，弦的垂直平分线过圆心，因此可以直接判断圆心P在y轴上，大幅简化计算。接下来设出圆心坐标和圆的半径，利用同圆半径相等的性质，结合两点间距离公式列方程求解出半径，最终就能算出直径。
【解析】
1. 确定点坐标：
由OB=OC=2OA=4，可得OB=4，OC=4，OA=2，因此三个点的坐标为：B(4,0)，C(-4,0)，A(0,-2)。
2. 判断圆心位置：
弦BC在x轴上且关于y轴对称，因此BC的垂直平分线就是y轴，根据垂径定理，圆心P必然在BC的垂直平分线上，即P点在y轴上。设P点坐标为(0,k)，⊙P的半径为r。
3. 列方程求解半径：
PA是圆的半径，PA的长度为P到A的距离：$PA = k - (-2) = k+2 = r$；
PB是圆的半径，由两点间距离公式可得：$PB^2 = (4-0)^2 + (0-k)^2 = 16 + k^2 = r^2$。
将$r=k+2$代入上式：
$16 + k^2 = (k+2)^2$
展开右侧得$16 + k^2 = k^2 +4k +4$，消去$k^2$整理得$4k=12$，解得$k=3$。
因此半径$r=3+2=5$，⊙P的直径为$2r=10$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，两点间距离公式，圆的半径性质
【点评】
本题核心考点是垂径定理的应用，通过对称性直接确定圆心在y轴上，避免了复杂的坐标设元，利用同圆半径相等建立方程即可快速求解，属于圆的基础计算题型，侧重考察对垂径定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7

10.(2025·姑苏区期中)如图,CD为$\odot O$的直径,过点D的弦DE平行于半径OA.若$∠ A=25^{\circ },$则$∠ D=\_\_\_\_\_\_^{\circ }.$

10.50

【分析】
解题思路如下：第一步，先识别图中OA、OC都是圆O的半径，半径相等可得△OAC为等腰三角形，结合已知∠A=25°，利用等边对等角得到∠C的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧AD对应的圆周角是∠C，对应的圆心角是∠AOD，由此计算出∠AOD的度数；第三步，结合DE平行于OA的条件，利用平行线的内错角相等，即可得到∠D和∠AOD相等，最终求出∠D的数值。
【解析】
解：
1. 因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，
可得△OAC为等腰三角形，因此∠C=∠A=25°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
弧AD对应的圆周角为∠C，对应的圆心角为∠AOD，
所以∠AOD=2∠C=2×25°=50°。
3. 已知DE//OA，由平行线的内错角相等可得：
∠D=∠AOD=50°。
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题，综合考察了圆的基本性质、等腰三角形性质、圆周角定理和平行线的性质，解题的核心是通过圆周角和圆心角的关系搭建已知角和待求角的桥梁，整体难度不大，是圆章节的常规基础题型，用来巩固基础定理的综合运用。
【难度系数】
0.8

11. (2025·广西)如图,AB是$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,$∠ ABC=65°$,$BC=CD$.
(1)求证:$△ BOC ≌ △ DOC$;
(2)求$∠ ABD$的度数.

11. (1)证明:$\because \odot O$ 的半径为 $OA,OB,OC,OD$,
$\therefore OA=OB=OC=OD$.
又$\because BC=CD,\therefore △ BOC≌△ DOC(\mathrm{SSS})$.
(2)解:$\because OB=OC,\therefore ∠ OCB=∠ ABC=65°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-65°×2=50°$.
$\because △ BOC≌△ DOC,\therefore ∠ DOC=∠ COB=50°$,
$\therefore ∠ DOB=100°$.
$\because OD=OB,\therefore ∠ ABD=∠ ODB=\dfrac{180°-∠ DOB}{2}=40°$.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问证明全等：首先明确圆的所有半径都相等，可得OB=OD，OC是两个三角形的公共边，题目已知BC=CD，三条边对应相等，就可以用SSS判定定理证明两个三角形全等。
2. 第二问求角度：先根据OB=OC得到△OBC是等腰三角形，结合已知的∠ABC=65°，利用三角形内角和算出∠BOC的度数；再借助第一问证出的全等关系，得到∠DOC和∠BOC相等，相加得到圆心角∠DOB的度数；最后由OD=OB可知△ODB是等腰三角形，用三角形内角和公式计算底角∠ABD的度数即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ OA、OB、OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OB=OD，OC=OC，
又
∵ BC=CD，
在△BOC和△DOC中：
$\begin{cases} OB=OD \\ OC=OC \\ BC=CD \end{cases}$
∴ △BOC ≌ △DOC（SSS）。
(2) 解：
∵ OB=OC，
∴ △OBC为等腰三角形，∠OCB=∠ABC=65°，
由三角形内角和得：∠BOC = 180° - 65°×2 = 50°，
∵ △BOC ≌ △DOC，
∴ ∠DOC = ∠BOC = 50°，
∴ ∠DOB = ∠BOC + ∠DOC = 50° + 50° = 100°，
又
∵ OD=OB，
∴ △ODB为等腰三角形，
∴ ∠ABD = ∠ODB = $\frac{180° - ∠DOB}{2}$ = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠ABD的度数为40°
【知识点】
SSS全等判定，圆的半径性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题型，难度较低，先考察全等三角形的基础判定，再结合圆的基本性质、等腰三角形内角计算完成角度推导，属于课标要求掌握的基础题型，只要理清边相等的隐含条件，逐步推导角度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

12. 如图,点 $B,E$ 在半圆 $O$ 上,四边形 $OABC$,四边形 $ODEF$ 均为矩形. 若 $AB=3,BC=4$,求 $DF$ 的长.

12. 解:如答图,连接 $OB,OE$.

$\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形,$\therefore ∠ CBA=90°,OB=AC$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB=3,BC=4$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\therefore OE=OB=5$.
$\because$ 四边形 $ODEF$ 为矩形,$\therefore DF=OE=5$.

【分析】
我们的目标是求线段DF的长度，首先观察DF所在的图形：DF是矩形ODEF的对角线，根据矩形的性质，矩形的两条对角线相等，因此DF=OE，而OE是半圆O的半径，问题就转化为求半圆O的半径长度。接下来观察左侧的矩形OABC，它的对角线OB同样是半圆O的半径，同时已知AB=3、BC=4，在矩形OABC中∠ABC是直角，我们可以在Rt△ABC中通过勾股定理算出对角线AC的长度，再利用矩形对角线相等的性质得到AC=OB，就求出了半圆的半径，最后等量代换即可得到DF的长度。
【解析】
1. 连接OB、OE
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ ∠ABC=90°，且矩形对角线相等，可得AC=OB。
2. 在Rt△ABC中，已知AB=3，BC=4，由勾股定理计算：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此OB=AC=5。
3. 由于点B、E都在半圆O上，OB和OE都是半圆的半径，因此OE=OB=5。
4. 又
∵ 四边形ODEF是矩形，矩形对角线相等，
∴ DF=OE=5。
【答案】
DF的长为5。
【知识点】
矩形对角线性质，勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察等量代换的解题思想，将未知线段DF通过矩形性质转化为圆的半径，再借助已知边长的直角三角形计算出半径，解题思路清晰无复杂变形，能够帮助学生巩固矩形、圆的基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.8