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1. $x=1$是关于$x$的方程$2x - a = 0$的解，则$a$的值是(
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
).A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是给定方程的解，我们只需要将x=1代入原方程，就能得到一个仅含未知数a的一元一次方程，求解这个方程即可得到a的值。
【解析】
∵x=1是关于x的方程2x - a = 0的解
∴将x=1代入方程2x - a = 0，可得：
$2×1 - a = 0$
计算得$2 - a = 0$
移项后解得$a = 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的应用，解题的关键是掌握方程的解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=1是给定方程的解，我们只需要将x=1代入原方程，就能得到一个仅含未知数a的一元一次方程，求解这个方程即可得到a的值。
【解析】
∵x=1是关于x的方程2x - a = 0的解
∴将x=1代入方程2x - a = 0，可得：
$2×1 - a = 0$
计算得$2 - a = 0$
移项后解得$a = 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的应用，解题的关键是掌握方程的解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.9
2.若$1-(2-x)=1-x$，则代数式$2x^2 -7$的值是(
A.1
B.5
C.-1
D.-5
D
)。A.1
B.5
C.-1
D.-5
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解给出的一元一次方程，得到x的取值；第二步将x的值代入代数式$2x^2-7$中计算，即可得到最终结果。解方程时按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可，注意去括号时符号的变化规则。
【解析】
首先解一元一次方程$1-(2-x)=1-x$：
1. 去括号：$1 - 2 + x = 1 - x$
2. 合并左边常数项：$-1 + x = 1 - x$
3. 移项：$x + x = 1 + 1$
4. 合并同类项：$2x = 2$
5. 系数化为1：$x = 1$
将$x=1$代入代数式$2x^2 - 7$计算：
$2×1^2 -7 = 2 -7 = -5$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查一元一次方程的基本求解步骤和代入求代数式值的方法，熟练掌握去括号、移项等基本运算规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求解给出的一元一次方程，得到x的取值；第二步将x的值代入代数式$2x^2-7$中计算，即可得到最终结果。解方程时按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可，注意去括号时符号的变化规则。
【解析】
首先解一元一次方程$1-(2-x)=1-x$：
1. 去括号：$1 - 2 + x = 1 - x$
2. 合并左边常数项：$-1 + x = 1 - x$
3. 移项：$x + x = 1 + 1$
4. 合并同类项：$2x = 2$
5. 系数化为1：$x = 1$
将$x=1$代入代数式$2x^2 - 7$计算：
$2×1^2 -7 = 2 -7 = -5$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查一元一次方程的基本求解步骤和代入求代数式值的方法，熟练掌握去括号、移项等基本运算规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 超市店庆促销，某种书包原价每个$ x $元，第一次降价打8折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程(
A.$ 0.8x - 10 = 90 $
B.$ 0.08x - 10 = 90 $
C.$ 90 - 0.8x = 10 $
D.$ x - 0.8x - 10 = 90 $
A
)。A.$ 0.8x - 10 = 90 $
B.$ 0.08x - 10 = 90 $
C.$ 90 - 0.8x = 10 $
D.$ x - 0.8x - 10 = 90 $
答案
3.A
解析
【分析】
解决这道题需要分步骤梳理两次降价的价格变化，先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价x元的基础上打8折，先算出第一次降价后的价格；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上减10元，最后根据两次降价后售价为90元的等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格，打8折就是按原价的80%出售，所以第一次降价后的价格为$0.8x$元。
第二步：计算第二次降价后的价格，在第一次降价后的价格基础上每个减10元，所以第二次降价后的价格为$(0.8x - 10)$元。
第三步：根据两次降价后售价为90元的等量关系，可列方程：$0.8x - 10 = 90$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；打折销售问题
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解打折的含义，理清两次降价的先后顺序，找到售价对应的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要分步骤梳理两次降价的价格变化，先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价x元的基础上打8折，先算出第一次降价后的价格；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上减10元，最后根据两次降价后售价为90元的等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格，打8折就是按原价的80%出售，所以第一次降价后的价格为$0.8x$元。
第二步：计算第二次降价后的价格，在第一次降价后的价格基础上每个减10元，所以第二次降价后的价格为$(0.8x - 10)$元。
第三步：根据两次降价后售价为90元的等量关系，可列方程：$0.8x - 10 = 90$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；打折销售问题
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解打折的含义，理清两次降价的先后顺序，找到售价对应的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.若方程$3x - 2a = 21$和方程$2x - 4 = 2$的解相同，则$a$的值为(
A.6
B.8
C.$-6$
D.$-8$
C
).A.6
B.8
C.$-6$
D.$-8$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是同解方程类问题，解题思路清晰：首先求解不含参数的方程2x-4=2，得到x的具体值；再利用两个方程解相同的条件，将求出的x代入含有参数a的方程3x-2a=21，得到只关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
第一步：解方程$2x - 4 = 2$
移项得：$2x = 2 + 4$
合并同类项得：$2x = 6$
系数化为1得：$x = 3$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=3$代入方程$3x - 2a = 21$，得：
$3×3 - 2a = 21$
计算得：$9 - 2a = 21$
移项得：$-2a = 21 - 9$
合并同类项得：$-2a = 12$
系数化为1得：$a = -6$
【答案】
C
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题关键是抓住“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程求解参数，掌握一元一次方程的基本解法就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
本题是同解方程类问题，解题思路清晰：首先求解不含参数的方程2x-4=2，得到x的具体值；再利用两个方程解相同的条件，将求出的x代入含有参数a的方程3x-2a=21，得到只关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
第一步：解方程$2x - 4 = 2$
移项得：$2x = 2 + 4$
合并同类项得：$2x = 6$
系数化为1得：$x = 3$
第二步：因为两个方程的解相同，将$x=3$代入方程$3x - 2a = 21$，得：
$3×3 - 2a = 21$
计算得：$9 - 2a = 21$
移项得：$-2a = 21 - 9$
合并同类项得：$-2a = 12$
系数化为1得：$a = -6$
【答案】
C
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题关键是抓住“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程求解参数，掌握一元一次方程的基本解法就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
5. 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的1个常数污染了，被污染的方程是$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y -
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.C
解析
【分析】
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，要找到被污染的常数，我们可以先设这个常数为未知参数，再把已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，得到关于这个参数的一元一次方程，解出参数即可得到被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
将$y=-\frac{5}{3}$代入原方程$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y - a$：
左边：$2×(-\frac{5}{3})-\frac{1}{2}=-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{23}{6}$
右边：$\frac{1}{2}×(-\frac{5}{3})-a=-\frac{5}{6}-a$
根据方程左右两边相等，可得：
$-\frac{23}{6}=-\frac{5}{6}-a$
移项计算得：$a=-\frac{5}{6}+\frac{23}{6}=\frac{18}{6}=3$
因此被污染的常数是3。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的参数求解题型，核心考查对方程解的定义的理解，只要将已知解代入原方程转化为普通一元一次方程计算即可，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，要找到被污染的常数，我们可以先设这个常数为未知参数，再把已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，得到关于这个参数的一元一次方程，解出参数即可得到被污染的常数。
【解析】
设被污染的常数为$a$。
将$y=-\frac{5}{3}$代入原方程$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y - a$：
左边：$2×(-\frac{5}{3})-\frac{1}{2}=-\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{20}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{23}{6}$
右边：$\frac{1}{2}×(-\frac{5}{3})-a=-\frac{5}{6}-a$
根据方程左右两边相等，可得：
$-\frac{23}{6}=-\frac{5}{6}-a$
移项计算得：$a=-\frac{5}{6}+\frac{23}{6}=\frac{18}{6}=3$
因此被污染的常数是3。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的参数求解题型，核心考查对方程解的定义的理解，只要将已知解代入原方程转化为普通一元一次方程计算即可，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
6. 某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成。问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用$x$天完成，则符合题意的方程是(
A.$\frac{x-22}{45} + \frac{22}{30} = 1$
B.$\frac{x+22}{30} + \frac{22}{45} = 1$
C.$\frac{x+22}{45} + \frac{22}{30} = 1$
D.$\frac{x}{30} + \frac{x-22}{45} = 1$
A
)。A.$\frac{x-22}{45} + \frac{22}{30} = 1$
B.$\frac{x+22}{30} + \frac{22}{45} = 1$
C.$\frac{x+22}{45} + \frac{22}{30} = 1$
D.$\frac{x}{30} + \frac{x-22}{45} = 1$
答案
6.A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确工程问题的基本解题思路：我们通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间，等量关系为“各部分工作量之和=总工作量1”。首先结合设的未知数x，确定甲、乙各自的工作时间：乙先单独干22天，说明乙的工作时间就是22天；总时长为x天，因此甲的工作时间为总时长减去乙先干的22天，即$(x-22)$天。再分别计算甲、乙的工作量，相加等于总工作量1即可列出方程。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独完成要45天，因此甲的工作效率为$\frac{1}{45}$；乙单独完成要30天，因此乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。
2. 计算各自工作量：乙工作了22天，完成的工作量为$22×\frac{1}{30}=\frac{22}{30}$；甲的工作时长为总天数减去乙先干的22天，即$(x-22)$天，完成的工作量为$(x-22)×\frac{1}{45}=\frac{x-22}{45}$。
3. 列方程：根据总工作量为1，可得$\frac{x-22}{45} + \frac{22}{30} = 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题型，解题关键是找准甲、乙各自的工作时间，牢记总工作量为单位“1”，结合“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确工程问题的基本解题思路：我们通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间，等量关系为“各部分工作量之和=总工作量1”。首先结合设的未知数x，确定甲、乙各自的工作时间：乙先单独干22天，说明乙的工作时间就是22天；总时长为x天，因此甲的工作时间为总时长减去乙先干的22天，即$(x-22)$天。再分别计算甲、乙的工作量，相加等于总工作量1即可列出方程。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独完成要45天，因此甲的工作效率为$\frac{1}{45}$；乙单独完成要30天，因此乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。
2. 计算各自工作量：乙工作了22天，完成的工作量为$22×\frac{1}{30}=\frac{22}{30}$；甲的工作时长为总天数减去乙先干的22天，即$(x-22)$天，完成的工作量为$(x-22)×\frac{1}{45}=\frac{x-22}{45}$。
3. 列方程：根据总工作量为1，可得$\frac{x-22}{45} + \frac{22}{30} = 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题型，解题关键是找准甲、乙各自的工作时间，牢记总工作量为单位“1”，结合“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
7. 一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对的题有(
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
C
)。A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总题数25道，做对1题得4分，做错1题倒扣1分，总得分70分，未知量是做对的题数。第一步直接设做对的题数为x，那么做错的题数就是总题数减去做对的题数，即(25-x)道；第二步找等量关系：总得分=做对题的总得分 - 做错题倒扣的总分数，注意“倒扣1分”是做错1题要额外扣1分，需从总得分里扣除做错的总扣分数；第三步根据等量关系列方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设该学生做对了x道题，则做错的题数为(25 - x)道。
根据总得分70分列方程：
$4x - 1×(25 - x) = 70$
去括号，得：$4x - 25 + x = 70$
合并同类项，得：$5x - 25 = 70$
移项，得：$5x = 70 + 25$
计算得：$5x = 95$
系数化为1，得：$x = 19$
即他做对了19道题，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系建立、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是准确梳理得分规则、找准等量关系，需格外注意“倒扣分数”的计算逻辑，避免出现符号错误，掌握方法后较易得分。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总题数25道，做对1题得4分，做错1题倒扣1分，总得分70分，未知量是做对的题数。第一步直接设做对的题数为x，那么做错的题数就是总题数减去做对的题数，即(25-x)道；第二步找等量关系：总得分=做对题的总得分 - 做错题倒扣的总分数，注意“倒扣1分”是做错1题要额外扣1分，需从总得分里扣除做错的总扣分数；第三步根据等量关系列方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设该学生做对了x道题，则做错的题数为(25 - x)道。
根据总得分70分列方程：
$4x - 1×(25 - x) = 70$
去括号，得：$4x - 25 + x = 70$
合并同类项，得：$5x - 25 = 70$
移项，得：$5x = 70 + 25$
计算得：$5x = 95$
系数化为1，得：$x = 19$
即他做对了19道题，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系建立、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是准确梳理得分规则、找准等量关系，需格外注意“倒扣分数”的计算逻辑，避免出现符号错误，掌握方法后较易得分。
【难度系数】
0.7
8. 小刚问妈妈的年龄，妈妈笑着说：“我们两人的年龄和为52岁，我的年龄比你的年龄的2倍多7，你能用学过的知识求出我们的年龄吗？”小刚想了一会儿，得出的正确结果是（
A.14岁和38岁
B.15岁和37岁
C.16岁和36岁
D.17岁和35岁
B
）。A.14岁和38岁
B.15岁和37岁
C.16岁和36岁
D.17岁和35岁
答案
8.B
解析
【分析】
这是一元一次方程的实际应用类题目，解题时首先提取题目中的两个核心等量关系：①小刚的年龄+妈妈的年龄=52岁；②妈妈的年龄=小刚的年龄×2+7。我们可以设小刚的年龄为未知量，结合等量关系列方程求解；也可以直接将选项代入两个等量关系验证，快速得出答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设小刚的年龄为$x$岁，由“妈妈年龄比小刚年龄的2倍多7”，可知妈妈的年龄为$(2x+7)$岁。
根据两人年龄和为52岁列方程：
$x+(2x+7)=52$
合并同类项得：$3x+7=52$
移项计算得：$3x=45$
解得：$x=15$
则妈妈的年龄为$2×15+7=37$岁，即小刚15岁，妈妈37岁。
方法二（代入验证法）：
依次验证各选项是否满足两个等量关系：
A选项：$14×2+7=35≠38$，不符合条件，排除；
B选项：$15×2+7=37$，且$15+37=52$，两个条件均满足，正确；
C选项：$16×2+7=39≠36$，不符合条件，排除；
D选项：$17×2+7=41≠35$，不符合条件，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍问题
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，既可以通过列方程规范求解，也可以用代入排除法快速锁定答案，主要考察学生对等量关系的提取和应用能力。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程的实际应用类题目，解题时首先提取题目中的两个核心等量关系：①小刚的年龄+妈妈的年龄=52岁；②妈妈的年龄=小刚的年龄×2+7。我们可以设小刚的年龄为未知量，结合等量关系列方程求解；也可以直接将选项代入两个等量关系验证，快速得出答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设小刚的年龄为$x$岁，由“妈妈年龄比小刚年龄的2倍多7”，可知妈妈的年龄为$(2x+7)$岁。
根据两人年龄和为52岁列方程：
$x+(2x+7)=52$
合并同类项得：$3x+7=52$
移项计算得：$3x=45$
解得：$x=15$
则妈妈的年龄为$2×15+7=37$岁，即小刚15岁，妈妈37岁。
方法二（代入验证法）：
依次验证各选项是否满足两个等量关系：
A选项：$14×2+7=35≠38$，不符合条件，排除；
B选项：$15×2+7=37$，且$15+37=52$，两个条件均满足，正确；
C选项：$16×2+7=39≠36$，不符合条件，排除；
D选项：$17×2+7=41≠35$，不符合条件，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍问题
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，既可以通过列方程规范求解，也可以用代入排除法快速锁定答案，主要考察学生对等量关系的提取和应用能力。
【难度系数】
0.8
9. 已知关于x的方程3x−2m=4的解是x=m，则m的值是
4
。答案
9.4
解析
【分析】
首先明确方程的解的含义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。题目已经给出方程的解是x=m，所以解题思路很清晰：把x=m代入原方程，原来含有x和m的方程就会变成只含m的一元一次方程，再解这个新的一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
已知x=m是方程3x−2m=4的解，将x=m代入原方程，可得：
$3m - 2m = 4$
合并同类项后得：
$m = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础题型，核心考查方程解的应用，只要掌握方程解的含义，将已知解代入原方程转化为常规一元一次方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
首先明确方程的解的含义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。题目已经给出方程的解是x=m，所以解题思路很清晰：把x=m代入原方程，原来含有x和m的方程就会变成只含m的一元一次方程，再解这个新的一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
已知x=m是方程3x−2m=4的解，将x=m代入原方程，可得：
$3m - 2m = 4$
合并同类项后得：
$m = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础题型，核心考查方程解的应用，只要掌握方程解的含义，将已知解代入原方程转化为常规一元一次方程即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
10. 若$x=2$是关于$x$的方程$2x+3m-1=0$的解，则$m$的值为
-1
。答案
10.-1
解析
【分析】
解题首先要明确方程的解的含义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是给定方程的解，说明把x替换成2后方程仍然成立，由此我们就能得到一个只含未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出m的值。
【解析】
解：
∵$x=2$是关于$x$的方程$2x+3m-1=0$的解
∴将$x=2$代入原方程，得：
$2×2 + 3m - 1 = 0$
计算化简得：$3 + 3m = 0$
移项得：$3m = -3$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的解的定义，将已知的解代入原方程，把原方程转化为关于待求参数的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确方程的解的含义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是给定方程的解，说明把x替换成2后方程仍然成立，由此我们就能得到一个只含未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出m的值。
【解析】
解：
∵$x=2$是关于$x$的方程$2x+3m-1=0$的解
∴将$x=2$代入原方程，得：
$2×2 + 3m - 1 = 0$
计算化简得：$3 + 3m = 0$
移项得：$3m = -3$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的解的定义，将已知的解代入原方程，把原方程转化为关于待求参数的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.9
11. 小明在解方程$2a - x = 5 + a$（$x$为未知数）时，误将“$-x$”看成了“$+x$”，解得方程的解是$x=-2$，则原方程的解为
x=2
。答案
11.x=2
解析
【分析】
解题首先要明确：小明虽然看错了方程里的符号，但他求得的解x=-2是看错后的方程的正确解，所以我们可以先把x=-2代入看错后的方程，求出参数a的值，再把a代入原方程，解出原方程的x即可。具体步骤：第一步写出看错后的方程，第二步代入错解求a，第三步把a代回原方程求解。
【解析】
1. 先确定小明看错后的方程：原方程为$2a - x = 5 + a$，误将$-x$看成$+x$后，错误方程为$2a + x = 5 + a$。
2. 把错误方程的解$x=-2$代入错误方程，求$a$的值：
将$x=-2$代入$2a + x = 5 + a$，得：
$2a + (-2) = 5 + a$
移项，得$2a - a = 5 + 2$
合并同类项，得$a=7$
3. 把$a=7$代入原方程$2a - x = 5 + a$，求解$x$：
代入得$2×7 - x = 5 + 7$
计算得$14 - x = 12$
移项，得$-x = 12 - 14$
合并同类项，得$-x = -2$
系数化为1，得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型易错题，解题的核心是理解“错解是错误方程的正确解”，先通过错解求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，掌握这个逻辑就能轻松解决这类看错符号的问题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确：小明虽然看错了方程里的符号，但他求得的解x=-2是看错后的方程的正确解，所以我们可以先把x=-2代入看错后的方程，求出参数a的值，再把a代入原方程，解出原方程的x即可。具体步骤：第一步写出看错后的方程，第二步代入错解求a，第三步把a代回原方程求解。
【解析】
1. 先确定小明看错后的方程：原方程为$2a - x = 5 + a$，误将$-x$看成$+x$后，错误方程为$2a + x = 5 + a$。
2. 把错误方程的解$x=-2$代入错误方程，求$a$的值：
将$x=-2$代入$2a + x = 5 + a$，得：
$2a + (-2) = 5 + a$
移项，得$2a - a = 5 + 2$
合并同类项，得$a=7$
3. 把$a=7$代入原方程$2a - x = 5 + a$，求解$x$：
代入得$2×7 - x = 5 + 7$
计算得$14 - x = 12$
移项，得$-x = 12 - 14$
合并同类项，得$-x = -2$
系数化为1，得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型易错题，解题的核心是理解“错解是错误方程的正确解”，先通过错解求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，掌握这个逻辑就能轻松解决这类看错符号的问题。
【难度系数】
0.7
12.已知$(k-3)x^{|k-2|}-2025=2024$是关于$x$的一元一次方程，则$k=$
1
。答案
12.1
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元一次方程的核心判定条件：一是方程中只含1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含有未知数的项的系数不能为0（否则未知数项消失，不满足一元一次方程要求）。我们先根据“未知数次数为1”列绝对值方程求出k的可能取值，再根据“一次项系数不为0”排除不符合要求的取值，最终得到正确的k值。
【解析】
已知$(k-3)x^{|k-2|}-2025=2024$是关于$x$的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
1. 未知数$x$的次数为1，即$\vert k-2\vert=1$
解绝对值方程：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$
2. 一次项系数不为0，即$k-3≠0$，解得$k≠3$
结合两个条件，排除$k=3$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用，易错点是容易遗漏“一次项系数不为0”的隐含条件，仅解绝对值方程得到两个解后未排除不符合的取值，做题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确一元一次方程的核心判定条件：一是方程中只含1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含有未知数的项的系数不能为0（否则未知数项消失，不满足一元一次方程要求）。我们先根据“未知数次数为1”列绝对值方程求出k的可能取值，再根据“一次项系数不为0”排除不符合要求的取值，最终得到正确的k值。
【解析】
已知$(k-3)x^{|k-2|}-2025=2024$是关于$x$的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得：
1. 未知数$x$的次数为1，即$\vert k-2\vert=1$
解绝对值方程：
当$k-2=1$时，$k=3$；当$k-2=-1$时，$k=1$
2. 一次项系数不为0，即$k-3≠0$，解得$k≠3$
结合两个条件，排除$k=3$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用，易错点是容易遗漏“一次项系数不为0”的隐含条件，仅解绝对值方程得到两个解后未排除不符合的取值，做题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.7
13. 如果$|a+3|=1$，那么$a=$
-2或-4
。答案
13.-2或-4
解析
【分析】
本题考查绝对值方程的求解，解题思路如下：首先根据绝对值的性质：若|x|=k（k＞0），则x=k或x=-k，将含有绝对值的方程转化为两个不含绝对值的一元一次方程，再分别求解两个一元一次方程，即可得到a的取值，注意不要漏解。
【解析】
根据绝对值的性质，绝对值等于1的数为1或-1，因此分两种情况计算：
情况1：$a+3=1$
移项得：$a=1-3=-2$
情况2：$a+3=-1$
移项得：$a=-1-3=-4$
综上，a的值为-2或-4。
【答案】
-2或-4
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握绝对值的性质，将绝对值方程转化为普通一元一次方程求解，易错点是容易遗漏$a+3=-1$的情况，导致仅求出一个解。
【难度系数】
0.8
本题考查绝对值方程的求解，解题思路如下：首先根据绝对值的性质：若|x|=k（k＞0），则x=k或x=-k，将含有绝对值的方程转化为两个不含绝对值的一元一次方程，再分别求解两个一元一次方程，即可得到a的取值，注意不要漏解。
【解析】
根据绝对值的性质，绝对值等于1的数为1或-1，因此分两种情况计算：
情况1：$a+3=1$
移项得：$a=1-3=-2$
情况2：$a+3=-1$
移项得：$a=-1-3=-4$
综上，a的值为-2或-4。
【答案】
-2或-4
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握绝对值的性质，将绝对值方程转化为普通一元一次方程求解，易错点是容易遗漏$a+3=-1$的情况，导致仅求出一个解。
【难度系数】
0.8
14.若关于$x$的方程$kx - 4 = 2(3 - x)$有正整数解，则满足条件的整数$k$的和为
10
。答案
14.10
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先求解含参数k的一元一次方程，用k表示出x的表达式，再结合“方程有正整数解、k为整数”这两个条件，确定k的所有可能取值，最后计算符合条件的k的和即可。具体思路：第一步按照解一元一次方程的常规步骤去括号、移项、合并同类项，将方程整理为“系数×x=常数”的形式；第二步根据x是正整数，判断x的系数是常数的正因数，从而列出所有符合条件的系数取值，反推k的取值；第三步将所有符合条件的k相加得到结果。
【解析】
解：先对原方程进行整理：
1. 去括号：$kx - 4 = 6 - 2x$
2. 移项：将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得$kx + 2x = 6 + 4$
3. 合并同类项：$(k + 2)x = 10$
若$k+2=0$，即$k=-2$时，方程左边为0，右边为10，方程无解，不符合题意，因此$k≠ -2$，此时可得$x = \frac{10}{k+2}$。
因为方程有正整数解，即x为正整数，且k为整数，所以$k+2$是10的正因数。
10的正因数有1、2、5、10，因此：
当$k+2=1$时，$k=-1$，此时$x=10$，符合要求；
当$k+2=2$时，$k=0$，此时$x=5$，符合要求；
当$k+2=5$时，$k=3$，此时$x=2$，符合要求；
当$k+2=10$时，$k=8$，此时$x=1$，符合要求。
将符合条件的整数k相加：$-1 + 0 + 3 + 8 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 整数解的讨论
【点评】
本题的核心是先通过解一元一次方程用参数表示出未知数的表达式，再结合正整数的限制条件，利用因数的性质确定参数的所有可能取值，解题时要注意不要遗漏参数的可能取值，同时要保证未知数的系数不为0。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要先求解含参数k的一元一次方程，用k表示出x的表达式，再结合“方程有正整数解、k为整数”这两个条件，确定k的所有可能取值，最后计算符合条件的k的和即可。具体思路：第一步按照解一元一次方程的常规步骤去括号、移项、合并同类项，将方程整理为“系数×x=常数”的形式；第二步根据x是正整数，判断x的系数是常数的正因数，从而列出所有符合条件的系数取值，反推k的取值；第三步将所有符合条件的k相加得到结果。
【解析】
解：先对原方程进行整理：
1. 去括号：$kx - 4 = 6 - 2x$
2. 移项：将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得$kx + 2x = 6 + 4$
3. 合并同类项：$(k + 2)x = 10$
若$k+2=0$，即$k=-2$时，方程左边为0，右边为10，方程无解，不符合题意，因此$k≠ -2$，此时可得$x = \frac{10}{k+2}$。
因为方程有正整数解，即x为正整数，且k为整数，所以$k+2$是10的正因数。
10的正因数有1、2、5、10，因此：
当$k+2=1$时，$k=-1$，此时$x=10$，符合要求；
当$k+2=2$时，$k=0$，此时$x=5$，符合要求；
当$k+2=5$时，$k=3$，此时$x=2$，符合要求；
当$k+2=10$时，$k=8$，此时$x=1$，符合要求。
将符合条件的整数k相加：$-1 + 0 + 3 + 8 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 整数解的讨论
【点评】
本题的核心是先通过解一元一次方程用参数表示出未知数的表达式，再结合正整数的限制条件，利用因数的性质确定参数的所有可能取值，解题时要注意不要遗漏参数的可能取值，同时要保证未知数的系数不为0。
【难度系数】
0.6
15. 当$ x $的值为$-3$时，代数式$-3x^2 + ax -7$的值是$-25$，则当$ x=-1 $时，这个代数式的值为
-7
。答案
15.-7
解析
【分析】
解题分为两步：第一步，先将x=-3代入代数式，得到关于参数a的一元一次方程，解出a的值，确定代数式的完整形式；第二步，将x=-1代入确定好的代数式，计算出最终结果。
【解析】
第一步：求参数a的值
把x=-3代入代数式$-3x^2 + ax -7 = -25$，得：
$-3×(-3)^2 + a×(-3) -7 = -25$
计算乘方：$-3×9 -3a -7 = -25$
化简得：$-27 -3a -7 = -25$，即$-34 -3a = -25$
移项得：$-3a = -25 + 34$
计算得：$-3a = 9$
系数化为1得：$a = -3$
第二步：求x=-1时代数式的值
将a=-3代入原代数式，得完整代数式为：$-3x^2 -3x -7$
把x=-1代入上式：
$-3×(-1)^2 -3×(-1) -7$
$= -3×1 +3 -7$
$= -3 +3 -7$
$= -7$
【答案】
-7
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是先通过已知的x与对应代数式的值求出未知参数，再代入目标x值计算，重点考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题分为两步：第一步，先将x=-3代入代数式，得到关于参数a的一元一次方程，解出a的值，确定代数式的完整形式；第二步，将x=-1代入确定好的代数式，计算出最终结果。
【解析】
第一步：求参数a的值
把x=-3代入代数式$-3x^2 + ax -7 = -25$，得：
$-3×(-3)^2 + a×(-3) -7 = -25$
计算乘方：$-3×9 -3a -7 = -25$
化简得：$-27 -3a -7 = -25$，即$-34 -3a = -25$
移项得：$-3a = -25 + 34$
计算得：$-3a = 9$
系数化为1得：$a = -3$
第二步：求x=-1时代数式的值
将a=-3代入原代数式，得完整代数式为：$-3x^2 -3x -7$
把x=-1代入上式：
$-3×(-1)^2 -3×(-1) -7$
$= -3×1 +3 -7$
$= -3 +3 -7$
$= -7$
【答案】
-7
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，解题核心是先通过已知的x与对应代数式的值求出未知参数，再代入目标x值计算，重点考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
16. 传统文化 《九章算术》 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买豕，人出九十，盈九十；人出八十，适足。”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出90钱，则会多出90钱；每人出80钱，恰好合适。”若设共有x人，根据题意，可列方程为
$90x-90=80x$
。答案
16.$90x-90=80x$
解析
【分析】
解题的核心是抓住题目中“猪的总售价不变”这一隐含的等量关系。首先设人数为x，分别用两种出钱方案表示出猪的总售价：第一种方案每人出90钱，总出钱为90x，比猪价多90，因此猪价为90x减去多出来的90；第二种方案每人出80钱刚好够，因此猪价就是80x。最后根据两种方案表示的猪价相等，即可列出方程。
【解析】
已知共有x人，猪的总售价固定不变：
1. 若每人出90钱，x人总出钱为$90x$，此时多出90钱，因此猪的总售价为$90x - 90$；
2. 若每人出80钱，总出钱恰好等于猪的总售价，因此猪的总售价为$80x$；
3. 根据猪的总售价相等，可列方程：$90x - 90 = 80x$。
【答案】
$90x-90=80x$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系识别
【点评】
本题结合古代传统数学问题，考查从实际场景中提取等量关系列方程的能力，解题关键是找准不变的总售价，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
解题的核心是抓住题目中“猪的总售价不变”这一隐含的等量关系。首先设人数为x，分别用两种出钱方案表示出猪的总售价：第一种方案每人出90钱，总出钱为90x，比猪价多90，因此猪价为90x减去多出来的90；第二种方案每人出80钱刚好够，因此猪价就是80x。最后根据两种方案表示的猪价相等，即可列出方程。
【解析】
已知共有x人，猪的总售价固定不变：
1. 若每人出90钱，x人总出钱为$90x$，此时多出90钱，因此猪的总售价为$90x - 90$；
2. 若每人出80钱，总出钱恰好等于猪的总售价，因此猪的总售价为$80x$；
3. 根据猪的总售价相等，可列方程：$90x - 90 = 80x$。
【答案】
$90x-90=80x$
【知识点】
列一元一次方程、等量关系识别
【点评】
本题结合古代传统数学问题，考查从实际场景中提取等量关系列方程的能力，解题关键是找准不变的总售价，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.85
17.一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15％，该书包的进价为
80
元.答案
17.80
解析
【分析】
这是一道销售类的一元一次方程应用题，解题首先要明确销售问题的基本数量关系：售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。我们可以设进价为未知数，根据“按8折出售仍可获利15%”找到等量关系：打折后的售价等于进价的（1+15%）倍，据此列方程求解即可。
【解析】
设该书包的进价为$ x $元。
根据题意，书包打8折后的售价为$ 115 × 0.8 $元，获利15%时的售价可表示为$ (1+15\%)x $元，可列方程：
$ 115 × 0.8 = (1+15\%)x $
计算左边得：$ 92 = 1.15x $
解得：$ x = 92 ÷ 1.15 = 80 $
【答案】
80
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题核心是找准售价、进价、利润率三者之间的等量关系，熟练掌握销售问题的基本公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道销售类的一元一次方程应用题，解题首先要明确销售问题的基本数量关系：售价=标价×折扣，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%。我们可以设进价为未知数，根据“按8折出售仍可获利15%”找到等量关系：打折后的售价等于进价的（1+15%）倍，据此列方程求解即可。
【解析】
设该书包的进价为$ x $元。
根据题意，书包打8折后的售价为$ 115 × 0.8 $元，获利15%时的售价可表示为$ (1+15\%)x $元，可列方程：
$ 115 × 0.8 = (1+15\%)x $
计算左边得：$ 92 = 1.15x $
解得：$ x = 92 ÷ 1.15 = 80 $
【答案】
80
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题核心是找准售价、进价、利润率三者之间的等量关系，熟练掌握销售问题的基本公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
