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18.在日历上，用一个正方形圈出$2×2$个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期分别为
7,8,14,15
。答案
18.7,8,14,15
解析
【分析】
解题时首先要明确日历的数字排布规律：横向相邻的日期相差1（为连续的日期），纵向相邻的日期相差7（每周为7天，下一周对应日期比上一周多7天）。我们可以选择4个数中最小的日期设为未知数，再根据日历规律把其余3个日期用含未知数的式子表示出来，最后根据“4个数的和为44”这个等量关系列一元一次方程求解，求出结果后验证是否符合日历的日期规则即可。
【解析】
解：设圈出的4个数中最小的日期为$x$。
根据日历的数字规律，其余3个日期分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
根据题意列方程：
$x + (x+1) + (x+7) + (x+8) = 44$
合并同类项得：$4x + 16 = 44$
移项计算得：$4x = 28$
系数化为1得：$x = 7$
则其余三个日期分别为：$x+1=8$，$x+7=14$，$x+8=15$
经检验，7、8、14、15均为有效日历日期。
【答案】
7,8,14,15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 日历数字规律
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题核心是抓住日历数字的排列特点，准确表示出四个未知量，再结合给出的等量关系列方程求解，掌握规律后很容易得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确日历的数字排布规律：横向相邻的日期相差1（为连续的日期），纵向相邻的日期相差7（每周为7天，下一周对应日期比上一周多7天）。我们可以选择4个数中最小的日期设为未知数，再根据日历规律把其余3个日期用含未知数的式子表示出来，最后根据“4个数的和为44”这个等量关系列一元一次方程求解，求出结果后验证是否符合日历的日期规则即可。
【解析】
解：设圈出的4个数中最小的日期为$x$。
根据日历的数字规律，其余3个日期分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
根据题意列方程：
$x + (x+1) + (x+7) + (x+8) = 44$
合并同类项得：$4x + 16 = 44$
移项计算得：$4x = 28$
系数化为1得：$x = 7$
则其余三个日期分别为：$x+1=8$，$x+7=14$，$x+8=15$
经检验，7、8、14、15均为有效日历日期。
【答案】
7,8,14,15
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 日历数字规律
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题型，解题核心是抓住日历数字的排列特点，准确表示出四个未知量，再结合给出的等量关系列方程求解，掌握规律后很容易得出结果。
【难度系数】
0.8
三、解答题
19. 解方程：
(1) $5x + 2 = 3(x + 2)$；
(2) $\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$；
(3) $\frac{6}{7} × [ \frac{7}{3} ( \frac{1}{2}x - \frac{1}{5} ) - 14 ] = 3x - \frac{2}{5}$；
(4) $\frac{x - 3}{2}$
$\frac{2x + 1}{3} = 1$。
19. 解方程：
(1) $5x + 2 = 3(x + 2)$；
(2) $\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$；
(3) $\frac{6}{7} × [ \frac{7}{3} ( \frac{1}{2}x - \frac{1}{5} ) - 14 ] = 3x - \frac{2}{5}$；
(4) $\frac{x - 3}{2}$
$\frac{2x + 1}{3} = 1$。答案
19.(1)$x=2$
(2)$x=30$
(3)$x=-6$
(4)$x=-17$
(2)$x=30$
(3)$x=-6$
(4)$x=-17$
解析
【分析】
解一元一次方程的核心是利用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式，常规步骤为：①去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；②去括号：按照去括号法则，括号前是负号时括号内每一项都要变号；③移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项：将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；⑤系数化为1：两边同除以$a$得到解。遇到多层括号的方程，可以灵活调整去括号顺序，比如从外向内去括号简化计算。
【解析】
(1) $5x + 2 = 3(x + 2)$
去括号：$5x + 2 = 3x + 6$
移项：$5x - 3x = 6 - 2$
合并同类项：$2x = 4$
系数化为1：$x = 2$
(2) $\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$
去分母（两边同乘12）：$2x - 3(30 - x) = 60$
去括号：$2x - 90 + 3x = 60$
移项：$2x + 3x = 60 + 90$
合并同类项：$5x = 150$
系数化为1：$x = 30$
(3) $\frac{6}{7} × [ \frac{7}{3} ( \frac{1}{2}x - \frac{1}{5} ) - 14 ] = 3x - \frac{2}{5}$
先去中括号（利用乘法分配律）：$2(\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}) - 12 = 3x - \frac{2}{5}$
去小括号：$x - \frac{2}{5} - 12 = 3x - \frac{2}{5}$
移项：$x - 3x = 12 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5}$
合并同类项：$-2x = 12$
系数化为1：$x = -6$
(4) $\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = 1$
去分母（两边同乘6）：$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号：$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项：$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项：$-x = 17$
系数化为1：$x = -17$
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=30$；(3)$x=-6$；(4)$x=-17$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
这组题目是一元一次方程的典型训练题，覆盖了含括号、含分母、多层括号等不同考查形式，解题时要注意易错点：去分母时不要漏乘常数项，去括号遇负号要变号，多层括号可灵活选择去括号顺序简化计算，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
解一元一次方程的核心是利用等式的性质逐步将方程化简为$x=a$的形式，常规步骤为：①去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；②去括号：按照去括号法则，括号前是负号时括号内每一项都要变号；③移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项：将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；⑤系数化为1：两边同除以$a$得到解。遇到多层括号的方程，可以灵活调整去括号顺序，比如从外向内去括号简化计算。
【解析】
(1) $5x + 2 = 3(x + 2)$
去括号：$5x + 2 = 3x + 6$
移项：$5x - 3x = 6 - 2$
合并同类项：$2x = 4$
系数化为1：$x = 2$
(2) $\frac{x}{6} - \frac{30 - x}{4} = 5$
去分母（两边同乘12）：$2x - 3(30 - x) = 60$
去括号：$2x - 90 + 3x = 60$
移项：$2x + 3x = 60 + 90$
合并同类项：$5x = 150$
系数化为1：$x = 30$
(3) $\frac{6}{7} × [ \frac{7}{3} ( \frac{1}{2}x - \frac{1}{5} ) - 14 ] = 3x - \frac{2}{5}$
先去中括号（利用乘法分配律）：$2(\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}) - 12 = 3x - \frac{2}{5}$
去小括号：$x - \frac{2}{5} - 12 = 3x - \frac{2}{5}$
移项：$x - 3x = 12 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5}$
合并同类项：$-2x = 12$
系数化为1：$x = -6$
(4) $\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = 1$
去分母（两边同乘6）：$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号：$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项：$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项：$-x = 17$
系数化为1：$x = -17$
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=30$；(3)$x=-6$；(4)$x=-17$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
这组题目是一元一次方程的典型训练题，覆盖了含括号、含分母、多层括号等不同考查形式，解题时要注意易错点：去分母时不要漏乘常数项，去括号遇负号要变号，多层括号可灵活选择去括号顺序简化计算，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
20. 当 x 为何值时，$6+\frac{x}{3}$比$\frac{x-1}{2}$大1？
答案
20.根据题意，得 $6+\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}=1$，
解得 $x=33$。
解得 $x=33$。
解析
【分析】
首先根据题目中“$6+\frac{x}{3}$比$\frac{x-1}{2}$大1”的描述，确定等量关系：$6+\frac{x}{3}$减去$\frac{x-1}{2}$的差等于1，据此列出一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。
【解析】
根据题意列方程：
$\displaystyle 6+\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}=1$
去分母（两边同时乘最小公倍数6，消去分母）：
$\displaystyle 6×6 + 2x - 3(x-1) = 1×6$
去括号：
$\displaystyle 36 + 2x - 3x + 3 = 6$
合并同类项：
$\displaystyle 39 - x = 6$
移项：
$\displaystyle -x = 6 - 39$
计算得：
$\displaystyle -x = -33$
系数化为1：
$\displaystyle x = 33$
【答案】
$\displaystyle x=33$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是准确理解文字描述对应的等量关系，计算时要注意去分母环节不要漏乘不含分母的常数项，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“$6+\frac{x}{3}$比$\frac{x-1}{2}$大1”的描述，确定等量关系：$6+\frac{x}{3}$减去$\frac{x-1}{2}$的差等于1，据此列出一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。
【解析】
根据题意列方程：
$\displaystyle 6+\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}=1$
去分母（两边同时乘最小公倍数6，消去分母）：
$\displaystyle 6×6 + 2x - 3(x-1) = 1×6$
去括号：
$\displaystyle 36 + 2x - 3x + 3 = 6$
合并同类项：
$\displaystyle 39 - x = 6$
移项：
$\displaystyle -x = 6 - 39$
计算得：
$\displaystyle -x = -33$
系数化为1：
$\displaystyle x = 33$
【答案】
$\displaystyle x=33$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是准确理解文字描述对应的等量关系，计算时要注意去分母环节不要漏乘不含分母的常数项，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.8
21. 设 $y_1=\frac{1}{5}x+1$，$y_2=\frac{2x+1}{4}$，当 $x$ 为何值时，$y_1$，$y_2$ 互为相反数？
答案
21.根据题意，得$(\frac{1}{5}x+1)+\frac{2x+1}{4}=0$，
解得 $x=-\frac{25}{14}$。
解得 $x=-\frac{25}{14}$。
解析
【分析】
解题的突破口是利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0。首先根据该性质列出等式$y_1+y_2=0$，再将$y_1$、$y_2$的表达式代入等式，即可得到关于x的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到x的取值。
【解析】
解：由$y_1$、$y_2$互为相反数，可得$y_1+y_2=0$，代入表达式得：
$\frac{1}{5}x+1+\frac{2x+1}{4}=0$
去分母（两边同时乘20消去分母）：
$4x+20+5(2x+1)=0$
去括号：
$4x+20+10x+5=0$
合并同类项：
$14x+25=0$
移项：
$14x=-25$
系数化为1：
$x=-\frac{25}{14}$
【答案】
$x=-\frac{25}{14}$
【知识点】
相反数的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是先根据相反数的性质正确列方程，再规范执行解方程的步骤即可，计算时要注意去分母、去括号时常数项的计算，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0。首先根据该性质列出等式$y_1+y_2=0$，再将$y_1$、$y_2$的表达式代入等式，即可得到关于x的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到x的取值。
【解析】
解：由$y_1$、$y_2$互为相反数，可得$y_1+y_2=0$，代入表达式得：
$\frac{1}{5}x+1+\frac{2x+1}{4}=0$
去分母（两边同时乘20消去分母）：
$4x+20+5(2x+1)=0$
去括号：
$4x+20+10x+5=0$
合并同类项：
$14x+25=0$
移项：
$14x=-25$
系数化为1：
$x=-\frac{25}{14}$
【答案】
$x=-\frac{25}{14}$
【知识点】
相反数的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是先根据相反数的性质正确列方程，再规范执行解方程的步骤即可，计算时要注意去分母、去括号时常数项的计算，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
22. 中考新考法 新定义问题 [阅读理解]定义：数轴上给定不重合的两点A,B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“双倍绝对点”。请解答下列问题：
[抽象探究]若点A表示的数为a，点B表示的数为a－3，则点A与点B的“双倍绝对点”M表示的数为
[拓展应用]点A表示的数为6，点A与点B相距6个单位长度。设点M表示的数为m，且点M为点A与点B的“双倍绝对点”，求m的值。
[抽象探究]若点A表示的数为a，点B表示的数为a－3，则点A与点B的“双倍绝对点”M表示的数为
a-2或a-6
（用含a的代数式表示）；[拓展应用]点A表示的数为6，点A与点B相距6个单位长度。设点M表示的数为m，且点M为点A与点B的“双倍绝对点”，求m的值。
答案
22.[抽象探究]$a-2$或$a-6$
[拓展应用]
∵点A表示的数为6，点A与点B相距6个单位长度，
∴点B表示的数为0或12.
∵点M为点A与点B的“双倍绝对点”，
∴$6-m=2(m-0)$或$6-m=2(0-m)$或$m-6=2(12-m)$或$2(m-12)=m-6$，
解得$m=2$或$m=-6$或$m=10$或$m=18$.
故$m$的值为2或$-6$或10或18.
[拓展应用]
∵点A表示的数为6，点A与点B相距6个单位长度，
∴点B表示的数为0或12.
∵点M为点A与点B的“双倍绝对点”，
∴$6-m=2(m-0)$或$6-m=2(0-m)$或$m-6=2(12-m)$或$2(m-12)=m-6$，
解得$m=2$或$m=-6$或$m=10$或$m=18$.
故$m$的值为2或$-6$或10或18.
解析
【分析】
首先明确“双倍绝对点”的核心定义：点M到点A的距离等于点M到点B距离的2倍，数轴上两点距离可表示为两数差的绝对值。解题时先依据定义列绝对值方程，再通过分类讨论去掉绝对值符号求解。
抽象探究部分：设M表示的数为x，直接根据定义列含绝对值的一元一次方程，分两种情况去绝对值即可求出结果。
拓展应用部分：第一步先根据点A的坐标和AB的距离，分B在A左侧、右侧两种情况确定B的坐标；第二步对每一种B的位置，再依据定义列绝对值方程，分类讨论求解m，注意所有符合条件的结果都要保留，避免漏解。
【解析】
抽象探究
设点M表示的数为$ x $，根据“双倍绝对点”定义可得：
$ |x - a| = 2|x - (a - 3)| $，即$ |x - a| = 2|x - a + 3| $
分两种情况去绝对值求解：
① 当$ x - a = 2(x - a + 3) $时，
展开得：$ x - a = 2x - 2a + 6 $
移项合并同类项得：$ x = a - 6 $
② 当$ x - a = -2(x - a + 3) $时，
展开得：$ x - a = -2x + 2a - 6 $
移项合并同类项得：$ 3x = 3a - 6 $，解得$ x = a - 2 $
因此点M表示的数为$ a-2 $或$ a-6 $。
拓展应用
步骤1：求点B表示的数
已知点A表示的数为6，A、B相距6个单位长度，分两种情况：
① 点B在点A左侧：$ 6 - 6 = 0 $，即B表示的数为0；
② 点B在点A右侧：$ 6 + 6 = 12 $，即B表示的数为12。
步骤2：根据定义求m的值
当B表示的数为0时：
由定义得$ |m - 6| = 2|m - 0| $
分两种情况求解：
① $ m - 6 = 2m $，解得$ m = -6 $；
② $ m - 6 = -2m $，解得$ 3m = 6 $，即$ m = 2 $。
当B表示的数为12时：
由定义得$ |m - 6| = 2|m - 12| $
分两种情况求解：
① $ m - 6 = 2(m - 12) $，展开得$ m - 6 = 2m - 24 $，解得$ m = 18 $；
② $ m - 6 = -2(m - 12) $，展开得$ m - 6 = -2m + 24 $，解得$ 3m = 30 $，即$ m = 10 $。
综上，m的值为2或-6或10或18。
【答案】
[抽象探究] $ \boldsymbol{a-2} $或$ \boldsymbol{a-6} $；
[拓展应用] $ m $的值为$ \boldsymbol{2} $或$ \boldsymbol{-6} $或$ \boldsymbol{10} $或$ \boldsymbol{18} $
【知识点】
数轴两点距离；绝对值方程；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查数轴与一元一次方程的综合应用，解题关键是准确理解新定义的规则，灵活运用分类讨论思想，对B的位置、绝对值的正负两种情况逐一讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确“双倍绝对点”的核心定义：点M到点A的距离等于点M到点B距离的2倍，数轴上两点距离可表示为两数差的绝对值。解题时先依据定义列绝对值方程，再通过分类讨论去掉绝对值符号求解。
抽象探究部分：设M表示的数为x，直接根据定义列含绝对值的一元一次方程，分两种情况去绝对值即可求出结果。
拓展应用部分：第一步先根据点A的坐标和AB的距离，分B在A左侧、右侧两种情况确定B的坐标；第二步对每一种B的位置，再依据定义列绝对值方程，分类讨论求解m，注意所有符合条件的结果都要保留，避免漏解。
【解析】
抽象探究
设点M表示的数为$ x $，根据“双倍绝对点”定义可得：
$ |x - a| = 2|x - (a - 3)| $，即$ |x - a| = 2|x - a + 3| $
分两种情况去绝对值求解：
① 当$ x - a = 2(x - a + 3) $时，
展开得：$ x - a = 2x - 2a + 6 $
移项合并同类项得：$ x = a - 6 $
② 当$ x - a = -2(x - a + 3) $时，
展开得：$ x - a = -2x + 2a - 6 $
移项合并同类项得：$ 3x = 3a - 6 $，解得$ x = a - 2 $
因此点M表示的数为$ a-2 $或$ a-6 $。
拓展应用
步骤1：求点B表示的数
已知点A表示的数为6，A、B相距6个单位长度，分两种情况：
① 点B在点A左侧：$ 6 - 6 = 0 $，即B表示的数为0；
② 点B在点A右侧：$ 6 + 6 = 12 $，即B表示的数为12。
步骤2：根据定义求m的值
当B表示的数为0时：
由定义得$ |m - 6| = 2|m - 0| $
分两种情况求解：
① $ m - 6 = 2m $，解得$ m = -6 $；
② $ m - 6 = -2m $，解得$ 3m = 6 $，即$ m = 2 $。
当B表示的数为12时：
由定义得$ |m - 6| = 2|m - 12| $
分两种情况求解：
① $ m - 6 = 2(m - 12) $，展开得$ m - 6 = 2m - 24 $，解得$ m = 18 $；
② $ m - 6 = -2(m - 12) $，展开得$ m - 6 = -2m + 24 $，解得$ 3m = 30 $，即$ m = 10 $。
综上，m的值为2或-6或10或18。
【答案】
[抽象探究] $ \boldsymbol{a-2} $或$ \boldsymbol{a-6} $；
[拓展应用] $ m $的值为$ \boldsymbol{2} $或$ \boldsymbol{-6} $或$ \boldsymbol{10} $或$ \boldsymbol{18} $
【知识点】
数轴两点距离；绝对值方程；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查数轴与一元一次方程的综合应用，解题关键是准确理解新定义的规则，灵活运用分类讨论思想，对B的位置、绝对值的正负两种情况逐一讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
