登录
23. 甲、乙、丙三人共同出资筹建一个公司.甲的投资额是投资总额的40%，乙的投资额比投资总额的$\frac{1}{3}$多20万元，丙的投资额比甲的一半少8万元.这个公司投资总额是多少万元？
答案
23.设投资总额为$x$万元，则甲投资$40\%x$万元，乙投资$(\frac{1}{3}x+20)$万元，丙投资$x-[40\%x+(\frac{1}{3}x+20)]$万元，根据题意，得
$x-[40\%x+(\frac{1}{3}x+20)]=\frac{1}{2}×40\%x-8$，
解得$x=180$.
故这个公司投资总额是180万元.
$x-[40\%x+(\frac{1}{3}x+20)]=\frac{1}{2}×40\%x-8$，
解得$x=180$.
故这个公司投资总额是180万元.
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用题，按照列方程解应用题的常规思路思考即可：首先求投资总额，直接设投资总额为x万元；接着根据题干给出的比例和数量关系，分别用含x的式子表示出甲、乙的投资额；丙的投资额有两种表示方式：一是总投资额减去甲、乙的投资额之和，二是甲投资额的一半减8万元，两个式子都表示丙的投资额，据此建立等量关系列方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
设这个公司的投资总额为$x$万元。
则甲的投资额为$40\%x$万元，乙的投资额为$(\frac{1}{3}x + 20)$万元，
丙的投资额可表示为总投资额减去甲乙投资额之和：$x - [40\%x + (\frac{1}{3}x + 20)]$万元，
同时丙的投资额也可表示为：$\frac{1}{2} × 40\%x - 8$万元。
根据丙的投资额相等列方程：
$x - [40\%x + (\frac{1}{3}x + 20)] = \frac{1}{2} × 40\%x - 8$
解方程：
先化简左边：$x - 0.4x - \frac{1}{3}x - 20 = \frac{3}{5}x - \frac{1}{3}x - 20 = \frac{4}{15}x - 20$
右边化简：$0.2x - 8 = \frac{3}{15}x - 8$
移项得：$\frac{4}{15}x - \frac{3}{15}x = 20 - 8$
即$\frac{1}{15}x = 12$
解得$x = 180$
【答案】
这个公司投资总额是180万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于总量与分量关系类的方程应用题，解题关键是找准同一分量（丙的投资额）的两种不同表达构造等量关系，能够有效考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程的实际应用题，按照列方程解应用题的常规思路思考即可：首先求投资总额，直接设投资总额为x万元；接着根据题干给出的比例和数量关系，分别用含x的式子表示出甲、乙的投资额；丙的投资额有两种表示方式：一是总投资额减去甲、乙的投资额之和，二是甲投资额的一半减8万元，两个式子都表示丙的投资额，据此建立等量关系列方程，最后解方程即可得到答案。
【解析】
设这个公司的投资总额为$x$万元。
则甲的投资额为$40\%x$万元，乙的投资额为$(\frac{1}{3}x + 20)$万元，
丙的投资额可表示为总投资额减去甲乙投资额之和：$x - [40\%x + (\frac{1}{3}x + 20)]$万元，
同时丙的投资额也可表示为：$\frac{1}{2} × 40\%x - 8$万元。
根据丙的投资额相等列方程：
$x - [40\%x + (\frac{1}{3}x + 20)] = \frac{1}{2} × 40\%x - 8$
解方程：
先化简左边：$x - 0.4x - \frac{1}{3}x - 20 = \frac{3}{5}x - \frac{1}{3}x - 20 = \frac{4}{15}x - 20$
右边化简：$0.2x - 8 = \frac{3}{15}x - 8$
移项得：$\frac{4}{15}x - \frac{3}{15}x = 20 - 8$
即$\frac{1}{15}x = 12$
解得$x = 180$
【答案】
这个公司投资总额是180万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于总量与分量关系类的方程应用题，解题关键是找准同一分量（丙的投资额）的两种不同表达构造等量关系，能够有效考察学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.7
24. A,B 两站间的路程为 448 km,一列慢车从A站出发,每小时行驶 60 km,一列快车从B站出发,每小时行驶 80 km,问:
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇?
(2)两车相向而行,慢车先开 28 min,快车开出后多少小时两车相遇?
(3)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇?
(2)两车相向而行,慢车先开 28 min,快车开出后多少小时两车相遇?
(3)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
答案
24.(1)3.2小时
(2)设快车开出$x$小时后两车相遇，
则$60(\frac{28}{60}+x)+80x=448$，解得$x=3$.
故快车开出后3个小时两车相遇.
(3)设出发后$y$小时快车追上慢车，
则$(80-60)y=448$，解得$y=22.4$.
故出发后22.4小时快车追上慢车.
(2)设快车开出$x$小时后两车相遇，
则$60(\frac{28}{60}+x)+80x=448$，解得$x=3$.
故快车开出后3个小时两车相遇.
(3)设出发后$y$小时快车追上慢车，
则$(80-60)y=448$，解得$y=22.4$.
故出发后22.4小时快车追上慢车.
解析
【分析】
这是行程类一元一次方程应用题，对应三类常见行程模型，解题思路如下：
(1) 同时出发相向相遇问题：核心等量关系为慢车行驶路程+快车行驶路程=两站总路程，设相遇时间为未知数，结合“路程=速度×时间”分别表示两车行驶路程，列方程求解即可。
(2) 慢车先行的相向相遇问题：首先将慢车先行的28分钟换算为小时统一单位，慢车总行驶时间=先行时间+快车行驶时间，等量关系仍为两车路程和等于总路程，设快车行驶时间为未知数列方程即可。
(3) 同向追及问题：慢车在前、快车在后，快车追上慢车时，快车比慢车多行驶的路程等于两站总路程，等量关系为（快车速度-慢车速度）×追及时间=总路程，设追及时间为未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 设出发后$x$小时两车相遇。
依题意列方程：
$60x + 80x = 448$
合并同类项得$140x = 448$
解得$x = 3.2$
(2) 先统一单位：$28\ \mathrm{min} = \frac{28}{60}\ \mathrm{h}$。
设快车开出后$x$小时两车相遇，此时慢车行驶时间为$(\frac{28}{60}+x)\ \mathrm{h}$。
依题意列方程：
$60(\frac{28}{60}+x)+80x = 448$
展开计算得$28 + 60x + 80x = 448$
合并同类项得$140x = 420$
解得$x = 3$
(3) 设出发后$y$小时快车追上慢车。
依题意列方程：
$(80-60)y = 448$
计算得$20y = 448$
解得$y = 22.4$
【答案】
(1) 出发后3.2小时相遇；
(2) 快车开出后3小时两车相遇；
(3) 出发后22.4小时快车追上慢车。
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题是行程问题的典型习题，覆盖了相遇、追及两类核心考法，解题关键是结合不同行驶场景找准等量关系，同时要注意时间单位的统一，能够有效提升学生分析实际问题、用方程建模解题的能力。
【难度系数】
0.7
这是行程类一元一次方程应用题，对应三类常见行程模型，解题思路如下：
(1) 同时出发相向相遇问题：核心等量关系为慢车行驶路程+快车行驶路程=两站总路程，设相遇时间为未知数，结合“路程=速度×时间”分别表示两车行驶路程，列方程求解即可。
(2) 慢车先行的相向相遇问题：首先将慢车先行的28分钟换算为小时统一单位，慢车总行驶时间=先行时间+快车行驶时间，等量关系仍为两车路程和等于总路程，设快车行驶时间为未知数列方程即可。
(3) 同向追及问题：慢车在前、快车在后，快车追上慢车时，快车比慢车多行驶的路程等于两站总路程，等量关系为（快车速度-慢车速度）×追及时间=总路程，设追及时间为未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 设出发后$x$小时两车相遇。
依题意列方程：
$60x + 80x = 448$
合并同类项得$140x = 448$
解得$x = 3.2$
(2) 先统一单位：$28\ \mathrm{min} = \frac{28}{60}\ \mathrm{h}$。
设快车开出后$x$小时两车相遇，此时慢车行驶时间为$(\frac{28}{60}+x)\ \mathrm{h}$。
依题意列方程：
$60(\frac{28}{60}+x)+80x = 448$
展开计算得$28 + 60x + 80x = 448$
合并同类项得$140x = 420$
解得$x = 3$
(3) 设出发后$y$小时快车追上慢车。
依题意列方程：
$(80-60)y = 448$
计算得$20y = 448$
解得$y = 22.4$
【答案】
(1) 出发后3.2小时相遇；
(2) 快车开出后3小时两车相遇；
(3) 出发后22.4小时快车追上慢车。
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题是行程问题的典型习题，覆盖了相遇、追及两类核心考法，解题关键是结合不同行驶场景找准等量关系，同时要注意时间单位的统一，能够有效提升学生分析实际问题、用方程建模解题的能力。
【难度系数】
0.7
25. 某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
例如:寄往省内一件1.6千克的物品,运费总额为$8+5×(0.5+0.5)=13$(元).
寄往省外一件2.3千克的物品,运费总额为$12+6×(1+0.5)=21$(元).
按照上面的标准解答下列问题.
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品,各需付运费多少元?
(2)小明寄往省内一件重$(m+n)$千克的物品,其中$m$是大于1的正整数,$n$为大于0且不超过0.5的小数(即$0＜n≤0.5$),则用含字母$m$的代数式表示小明这次寄件的运费为
(3)小明一次向省外寄了一件物品,用了36元,你能知道小明这次寄件物品的质量范围吗?
例如:寄往省内一件1.6千克的物品,运费总额为$8+5×(0.5+0.5)=13$(元).
寄往省外一件2.3千克的物品,运费总额为$12+6×(1+0.5)=21$(元).
按照上面的标准解答下列问题.
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品,各需付运费多少元?
(2)小明寄往省内一件重$(m+n)$千克的物品,其中$m$是大于1的正整数,$n$为大于0且不超过0.5的小数(即$0＜n≤0.5$),则用含字母$m$的代数式表示小明这次寄件的运费为
$(5m+5.5)$元
.(3)小明一次向省外寄了一件物品,用了36元,你能知道小明这次寄件物品的质量范围吗?
答案
25.(1)寄往省内一件3千克的物品需付运费：$8+5×(3-1)=18$(元)；
寄往省外一件2.8千克的物品需付运费：$12+6×(1+0.5+0.5)=24$(元).
(2)$(5m+5.5)$元 [解析]由题意，得$8+5(m-1+0.5)=(5m+5.5)$元. 故小明这次寄件的运费为$(5m+5.5)$元.
(3)设小明寄件的物品重$(x+y)$千克，$x$为正整数，$y$为大于等于0而小于1的数(即$0≤ y＜1$)，
①当$y=0$时，$12+6(x-1)=36$，解得$x=5$；
②$0＜y≤0.5$时，$12+6(x-1+0.5)=36$，解得$x=4.5$(不是正整数，舍去)；
③$0.5＜y＜1$时，$12+6(x-1+0.5+0.5)=36$，解得$x=4$. 故小明这次寄件物品的质量范围为大于4.5 kg，但不超过5 kg，即$4.5＜x+y≤5$.
寄往省外一件2.8千克的物品需付运费：$12+6×(1+0.5+0.5)=24$(元).
(2)$(5m+5.5)$元 [解析]由题意，得$8+5(m-1+0.5)=(5m+5.5)$元. 故小明这次寄件的运费为$(5m+5.5)$元.
(3)设小明寄件的物品重$(x+y)$千克，$x$为正整数，$y$为大于等于0而小于1的数(即$0≤ y＜1$)，
①当$y=0$时，$12+6(x-1)=36$，解得$x=5$；
②$0＜y≤0.5$时，$12+6(x-1+0.5)=36$，解得$x=4.5$(不是正整数，舍去)；
③$0.5＜y＜1$时，$12+6(x-1+0.5+0.5)=36$，解得$x=4$. 故小明这次寄件物品的质量范围为大于4.5 kg，但不超过5 kg，即$4.5＜x+y≤5$.
解析
【分析】
本题是生活场景下的分段计费应用题，解题前需先明确收费规则：首重为1kg，按对应首重价收费，超出1kg的部分为续重，续重以0.5kg为计重单位，不足0.5kg按0.5kg计算，总运费=首重价格+续重重量×续重单价。
(1) 分别计算两件快递的运费：寄往省内的3kg物品，首重1kg收费8元，续重为3-1=2kg，直接代入公式计算即可；寄往省外的2.8kg物品，首重1kg收费12元，超出的1.8kg按2kg计重，代入公式计算。
(2) 寄往省内的物品重$(m+n)$kg，$m$是大于1的正整数，$0＜n≤0.5$，总重量超出1kg的部分为$(m-1)+n$，因$n≤0.5$，续重按$(m-1+0.5)$kg计算，代入省内运费公式化简即可。
(3) 已知省外运费36元，反推重量范围：设总重量为$(x+y)$kg，$x$为正整数，$0≤y＜1$，分$y=0$、$0＜y≤0.5$、$0.5＜y＜1$三种情况分别列方程求解，排除不符合$x$为正整数的情况，最终得到重量范围。
【解析】
(1) 计算寄往省内3千克物品的运费：
首重1kg收费8元，续重重量$=3-1=2\ \mathrm{kg}$
运费$=8 + 5×2 = 18$（元）
计算寄往省外2.8千克物品的运费：
首重1kg收费12元，超出1kg的部分为1.8kg，按2kg计重
运费$=12 + 6×2 = 24$（元）
(2) 由题意得，物品总重$(m+n)$kg，$0＜n≤0.5$，续重计重为$(m-1 + 0.5)\ \mathrm{kg}$
运费$=8 + 5×(m-1 + 0.5) = 8 +5m -2.5 = 5m +5.5$（元）
(3) 设小明寄件的物品重$(x+y)$千克，$x$为正整数，$0≤y＜1$：
① 当$y=0$时，列方程：$12 + 6(x-1) = 36$
解得$x=5$，符合要求；
② 当$0＜y≤0.5$时，列方程：$12 +6(x-1 +0.5)=36$
解得$x=4.5$，不是正整数，舍去；
③ 当$0.5＜y＜1$时，列方程：$12 +6(x-1 +0.5+0.5)=36$
解得$x=4$，符合要求。
综上，物品质量范围是大于4.5kg，不超过5kg。
【答案】
(1) 寄往省内的物品需付运费18元，寄往省外的物品需付运费24元；
(2) $\boldsymbol{(5m+5.5)}$元；
(3) $\boldsymbol{4.5\ \mathrm{kg}＜ 质量 ≤5\ \mathrm{kg}}$（或大于4.5kg且不超过5kg）。
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合快递收费的生活实际，考查分段计费的计算与应用，核心是准确理解首重、续重的计重规则，第三问需要对重量的小数部分分类讨论，避免因忽略计重规则导致错解。
【难度系数】
0.6
本题是生活场景下的分段计费应用题，解题前需先明确收费规则：首重为1kg，按对应首重价收费，超出1kg的部分为续重，续重以0.5kg为计重单位，不足0.5kg按0.5kg计算，总运费=首重价格+续重重量×续重单价。
(1) 分别计算两件快递的运费：寄往省内的3kg物品，首重1kg收费8元，续重为3-1=2kg，直接代入公式计算即可；寄往省外的2.8kg物品，首重1kg收费12元，超出的1.8kg按2kg计重，代入公式计算。
(2) 寄往省内的物品重$(m+n)$kg，$m$是大于1的正整数，$0＜n≤0.5$，总重量超出1kg的部分为$(m-1)+n$，因$n≤0.5$，续重按$(m-1+0.5)$kg计算，代入省内运费公式化简即可。
(3) 已知省外运费36元，反推重量范围：设总重量为$(x+y)$kg，$x$为正整数，$0≤y＜1$，分$y=0$、$0＜y≤0.5$、$0.5＜y＜1$三种情况分别列方程求解，排除不符合$x$为正整数的情况，最终得到重量范围。
【解析】
(1) 计算寄往省内3千克物品的运费：
首重1kg收费8元，续重重量$=3-1=2\ \mathrm{kg}$
运费$=8 + 5×2 = 18$（元）
计算寄往省外2.8千克物品的运费：
首重1kg收费12元，超出1kg的部分为1.8kg，按2kg计重
运费$=12 + 6×2 = 24$（元）
(2) 由题意得，物品总重$(m+n)$kg，$0＜n≤0.5$，续重计重为$(m-1 + 0.5)\ \mathrm{kg}$
运费$=8 + 5×(m-1 + 0.5) = 8 +5m -2.5 = 5m +5.5$（元）
(3) 设小明寄件的物品重$(x+y)$千克，$x$为正整数，$0≤y＜1$：
① 当$y=0$时，列方程：$12 + 6(x-1) = 36$
解得$x=5$，符合要求；
② 当$0＜y≤0.5$时，列方程：$12 +6(x-1 +0.5)=36$
解得$x=4.5$，不是正整数，舍去；
③ 当$0.5＜y＜1$时，列方程：$12 +6(x-1 +0.5+0.5)=36$
解得$x=4$，符合要求。
综上，物品质量范围是大于4.5kg，不超过5kg。
【答案】
(1) 寄往省内的物品需付运费18元，寄往省外的物品需付运费24元；
(2) $\boldsymbol{(5m+5.5)}$元；
(3) $\boldsymbol{4.5\ \mathrm{kg}＜ 质量 ≤5\ \mathrm{kg}}$（或大于4.5kg且不超过5kg）。
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合快递收费的生活实际，考查分段计费的计算与应用，核心是准确理解首重、续重的计重规则，第三问需要对重量的小数部分分类讨论，避免因忽略计重规则导致错解。
【难度系数】
0.6
