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23. 中考新考法 思想方法型阅读理解题 阅读材料:我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$，“整体思想”是一种重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
(1)尝试应用:把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - (a - b)^2 + 7(a - b)^2$，其结果是
(2)已知$x^2 - 2y = 1$，求$5 + x^2 - 2y$的值。
(1)尝试应用:把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - (a - b)^2 + 7(a - b)^2$，其结果是
$9(a-b)^2$
；(2)已知$x^2 - 2y = 1$，求$5 + x^2 - 2y$的值。
答案
23.(1)$9(a-b)^2$ [解析]原式=$(3-1+7)(a-b)^2=9(a-b)^2$。
(2)因为$x^2-2y=1$，
所以原式=$5+(x^2-2y)=5+1=6$。
(2)因为$x^2-2y=1$，
所以原式=$5+(x^2-2y)=5+1=6$。
解析
【分析】
(1)题可仿照材料中的整体思想，将$(a - b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的方法，只需将各部分的系数相加减，再乘这个整体即可得到结果。(2)题观察所求代数式，发现其中包含已知的$x^2 - 2y$这个整体，无需单独求解x、y的值，直接将$x^2 - 2y=1$整体代入所求式子计算即可。
【解析】
(1) 将$(a - b)^2$看成整体，合并同类项：
原式$=(3 - 1 + 7)(a - b)^2 = 9(a - b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y = 1$，将其整体代入所求式子：
原式$=5 + (x^2 - 2y) = 5 + 1 = 6$
【答案】
(1)$9(a - b)^2$；(2)$6$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数式运算中的应用，通过将重复出现的代数式看作整体运算，能避免复杂的未知数求解步骤，大幅简化计算过程，是代数式模块的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.8
(1)题可仿照材料中的整体思想，将$(a - b)^2$看作一个整体，类比合并同类项的方法，只需将各部分的系数相加减，再乘这个整体即可得到结果。(2)题观察所求代数式，发现其中包含已知的$x^2 - 2y$这个整体，无需单独求解x、y的值，直接将$x^2 - 2y=1$整体代入所求式子计算即可。
【解析】
(1) 将$(a - b)^2$看成整体，合并同类项：
原式$=(3 - 1 + 7)(a - b)^2 = 9(a - b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y = 1$，将其整体代入所求式子：
原式$=5 + (x^2 - 2y) = 5 + 1 = 6$
【答案】
(1)$9(a - b)^2$；(2)$6$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数式运算中的应用，通过将重复出现的代数式看作整体运算，能避免复杂的未知数求解步骤，大幅简化计算过程，是代数式模块的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.8
24. 用代数式表示如图所示的阴影部分的面积，并求当$a=2,b=1$时的面积.(结果保留$π$)
答案
24.$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆环}$
$=(2a)^2-(π a^2-π b^2)$
$=4a^2-π a^2+π b^2$。
当$a=2,b=1$时，$S_{阴影}=16-3π$。
$=(2a)^2-(π a^2-π b^2)$
$=4a^2-π a^2+π b^2$。
当$a=2,b=1$时，$S_{阴影}=16-3π$。
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分由正方形边角的阴影和中心小圆的阴影组成，可采用“整体减空白”的思路求解：空白部分是外半径为a、内半径为b的圆环，因此阴影面积=正方形面积-圆环面积。首先确定正方形边长：正方形内接大圆的半径为a，因此正方形边长等于大圆的直径2a。接下来分别计算正方形面积、圆环面积，做差后化简得到阴影面积的代数式，最后将a、b的取值代入代数式计算即可得到具体面积。
【解析】
解：由图可得正方形的边长为$2a$。
阴影部分面积 = 正方形面积 - （外圆面积 - 内小圆面积）
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(2a)^2 - (π a^2 - π b^2)\\&=4a^2 - π a^2 + π b^2\end{aligned}$
当$a=2$，$b=1$时，代入代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=4× 2^2 - π× 2^2 + π× 1^2\\&=16 - 4π + π\\&=16 - 3π\end{aligned}$
【答案】
阴影部分面积的代数式为$4a^2-π a^2+π b^2$；当$a=2,b=1$时，面积为$16-3π$。
【知识点】
列代数式，组合图形面积计算，代数式求值
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型题型，解题关键是将不规则的阴影面积转化为正方形、圆等规则图形面积的和差关系，计算时需注意理清正方形边长与圆半径的对应关系，代入求值时要遵循运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，阴影部分由正方形边角的阴影和中心小圆的阴影组成，可采用“整体减空白”的思路求解：空白部分是外半径为a、内半径为b的圆环，因此阴影面积=正方形面积-圆环面积。首先确定正方形边长：正方形内接大圆的半径为a，因此正方形边长等于大圆的直径2a。接下来分别计算正方形面积、圆环面积，做差后化简得到阴影面积的代数式，最后将a、b的取值代入代数式计算即可得到具体面积。
【解析】
解：由图可得正方形的边长为$2a$。
阴影部分面积 = 正方形面积 - （外圆面积 - 内小圆面积）
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(2a)^2 - (π a^2 - π b^2)\\&=4a^2 - π a^2 + π b^2\end{aligned}$
当$a=2$，$b=1$时，代入代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=4× 2^2 - π× 2^2 + π× 1^2\\&=16 - 4π + π\\&=16 - 3π\end{aligned}$
【答案】
阴影部分面积的代数式为$4a^2-π a^2+π b^2$；当$a=2,b=1$时，面积为$16-3π$。
【知识点】
列代数式，组合图形面积计算，代数式求值
【点评】
本题是组合图形面积计算的典型题型，解题关键是将不规则的阴影面积转化为正方形、圆等规则图形面积的和差关系，计算时需注意理清正方形边长与圆半径的对应关系，代入求值时要遵循运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
25. 新情境 秋游门票方案 七年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元。现在有两种优惠方案，甲方案：带队老师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费。
(1)若有m名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时，采用哪种方案优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案优惠？
(1)若有m名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元。
(2)当m=70时，采用哪种方案优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案优惠？
答案
25.(1)甲方案的费用为30×0.8m=24m(元)；乙方案的费用为30×0.75(m+5)=(22.5m+112.5)元。
(2)当m=70时，24m=1680，
22.5m+112.5=1687.5。
$\because 1680＜1687.5,\therefore$甲方案优惠。
(3)当m=100时，24m=2400，
22.5m+112.5=2362.5。
$\because 2400＞2362.5,\therefore$乙方案优惠。
(2)当m=70时，24m=1680，
22.5m+112.5=1687.5。
$\because 1680＜1687.5,\therefore$甲方案优惠。
(3)当m=100时，24m=2400，
22.5m+112.5=2362.5。
$\because 2400＞2362.5,\therefore$乙方案优惠。
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步解决列代数式的问题，先分别明确两种优惠方案的收费规则：甲方案仅学生付费，享受8折优惠；乙方案师生共同付费，享受7.5折优惠，结合“总费用=单价×人数×折扣”分别列式化简即可。第二步和第三步是方案优选问题，分别将给定的m值代入两个代数式计算出对应费用，再比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，仅m名学生按8折收费，
费用为：$30 × 0.8m = 24m$（元）；
乙方案：师生共$(m+5)$人，都按7.5折收费，
费用为：$30 × 0.75(m+5) = 22.5(m+5) = 22.5m + 112.5$（元）。
(2) 当$m=70$时，
甲方案费用：$24m = 24 × 70 = 1680$（元），
乙方案费用：$22.5m + 112.5 = 22.5 × 70 + 112.5 = 1575 + 112.5 = 1687.5$（元），
$\because 1680 ＜ 1687.5$，$\therefore$甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时，
甲方案费用：$24m = 24 × 100 = 2400$（元），
乙方案费用：$22.5m + 112.5 = 22.5 × 100 + 112.5 = 2250 + 112.5 = 2362.5$（元），
$\because 2400 ＞ 2362.5$，$\therefore$乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；
(2) 采用甲方案优惠；
(3) 采用乙方案优惠。
【知识点】
列代数式，代数式求值，方案优选
【点评】
本题结合生活中的门票优惠场景命题，考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解优惠规则列出正确的代数式，再通过代入计算、比较大小得到最优方案，计算时需注意折扣的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步解决列代数式的问题，先分别明确两种优惠方案的收费规则：甲方案仅学生付费，享受8折优惠；乙方案师生共同付费，享受7.5折优惠，结合“总费用=单价×人数×折扣”分别列式化简即可。第二步和第三步是方案优选问题，分别将给定的m值代入两个代数式计算出对应费用，再比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
【解析】
(1) 甲方案：带队教师免费，仅m名学生按8折收费，
费用为：$30 × 0.8m = 24m$（元）；
乙方案：师生共$(m+5)$人，都按7.5折收费，
费用为：$30 × 0.75(m+5) = 22.5(m+5) = 22.5m + 112.5$（元）。
(2) 当$m=70$时，
甲方案费用：$24m = 24 × 70 = 1680$（元），
乙方案费用：$22.5m + 112.5 = 22.5 × 70 + 112.5 = 1575 + 112.5 = 1687.5$（元），
$\because 1680 ＜ 1687.5$，$\therefore$甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时，
甲方案费用：$24m = 24 × 100 = 2400$（元），
乙方案费用：$22.5m + 112.5 = 22.5 × 100 + 112.5 = 2250 + 112.5 = 2362.5$（元），
$\because 2400 ＞ 2362.5$，$\therefore$乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；
(2) 采用甲方案优惠；
(3) 采用乙方案优惠。
【知识点】
列代数式，代数式求值，方案优选
【点评】
本题结合生活中的门票优惠场景命题，考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解优惠规则列出正确的代数式，再通过代入计算、比较大小得到最优方案，计算时需注意折扣的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
26. 阅读下面的内容：
我们知道对于两个数$a,b$,①若$a-b＞0$,则$a＞b$;②若$a-b=0$,则$a=b$;③若$a-b＜0$,则$a＜b$;反之也成立.其实用这种方法也可以比较两个整式的大小,如:已知$A=-a+4,B=-a+5$,因为$A-B=(-a+4)-(-a+5)=-1＜0$,所以$A＜B$.
请尝试解决下面的问题:
(1)已知$C=-2a+1,D=-2a-5$,试比较$C$与$D$的大小关系;
(2)已知$E=a^2-2a+5,F=a^2-3a-5$,试比较$E$与$F$的大小关系.
我们知道对于两个数$a,b$,①若$a-b＞0$,则$a＞b$;②若$a-b=0$,则$a=b$;③若$a-b＜0$,则$a＜b$;反之也成立.其实用这种方法也可以比较两个整式的大小,如:已知$A=-a+4,B=-a+5$,因为$A-B=(-a+4)-(-a+5)=-1＜0$,所以$A＜B$.
请尝试解决下面的问题:
(1)已知$C=-2a+1,D=-2a-5$,试比较$C$与$D$的大小关系;
(2)已知$E=a^2-2a+5,F=a^2-3a-5$,试比较$E$与$F$的大小关系.
答案
26.(1)$\because C-D=(-2a+1)-(-2a-5)=6＞0$，
$\therefore C＞D$。
(2)$E-F=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)=a+10$。
当$a=-10$时，$E=F$；
当$a＜-10$时，$E＜F$；
当$a＞-10$时，$E＞F$。
$\therefore C＞D$。
(2)$E-F=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)=a+10$。
当$a=-10$时，$E=F$；
当$a＜-10$时，$E＜F$；
当$a＞-10$时，$E＞F$。
解析
【分析】
本题使用题干给出的作差法比较整式大小，解题思路如下：首先计算两个待比较整式的差，再对差进行化简，最后根据差的正负判断整式的大小关系；若化简后的差含有参数，需分差大于0、等于0、小于0三种情况讨论参数的取值，对应得到两个整式的大小关系。
【解析】
(1) 计算$C$与$D$的差：
$\begin{aligned}C-D&=(-2a+1)-(-2a-5)\\&=-2a+1+2a+5\\&=6\end{aligned}$
$\because 6＞0$，即$C-D＞0$
$\therefore C＞D$
(2) 计算$E$与$F$的差：
$\begin{aligned}E-F&=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)\\&=a^2-2a+5-a^2+3a+5\\&=a+10\end{aligned}$
分三种情况讨论：
① 当$a+10=0$，即$a=-10$时，$E-F=0$，故$E=F$；
② 当$a+10＜0$，即$a＜-10$时，$E-F＜0$，故$E＜F$；
③ 当$a+10＞0$，即$a＞-10$时，$E-F＞0$，故$E＞F$。
【答案】
(1)$\because C-D=(-2a+1)-(-2a-5)=6＞0$，$\therefore C＞D$。
(2)$E-F=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)=a+10$。当$a=-10$时，$E=F$；当$a＜-10$时，$E＜F$；当$a＞-10$时，$E＞F$。
【知识点】
作差比较法，整式的加减，分类讨论
【点评】
本题考查整式大小比较的方法，第一问难度较低，作差后结果为常数可直接判断大小；第二问需要结合参数的取值分类讨论，能很好地锻炼整式运算能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
本题使用题干给出的作差法比较整式大小，解题思路如下：首先计算两个待比较整式的差，再对差进行化简，最后根据差的正负判断整式的大小关系；若化简后的差含有参数，需分差大于0、等于0、小于0三种情况讨论参数的取值，对应得到两个整式的大小关系。
【解析】
(1) 计算$C$与$D$的差：
$\begin{aligned}C-D&=(-2a+1)-(-2a-5)\\&=-2a+1+2a+5\\&=6\end{aligned}$
$\because 6＞0$，即$C-D＞0$
$\therefore C＞D$
(2) 计算$E$与$F$的差：
$\begin{aligned}E-F&=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)\\&=a^2-2a+5-a^2+3a+5\\&=a+10\end{aligned}$
分三种情况讨论：
① 当$a+10=0$，即$a=-10$时，$E-F=0$，故$E=F$；
② 当$a+10＜0$，即$a＜-10$时，$E-F＜0$，故$E＜F$；
③ 当$a+10＞0$，即$a＞-10$时，$E-F＞0$，故$E＞F$。
【答案】
(1)$\because C-D=(-2a+1)-(-2a-5)=6＞0$，$\therefore C＞D$。
(2)$E-F=(a^2-2a+5)-(a^2-3a-5)=a+10$。当$a=-10$时，$E=F$；当$a＜-10$时，$E＜F$；当$a＞-10$时，$E＞F$。
【知识点】
作差比较法，整式的加减，分类讨论
【点评】
本题考查整式大小比较的方法，第一问难度较低，作差后结果为常数可直接判断大小；第二问需要结合参数的取值分类讨论，能很好地锻炼整式运算能力和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
