1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=12$,$∠ BAC=120°$,$AD$是$△ ABC$的中线,$AE$是$∠ BAD$的平分线,$DF// AB$交$AE$的延长线于点$F$,则$DF$的长是（）


A.$2$
B.$3$
C.$5$
D.$6$

1. D

2. 如图,在锐角$△ ABC$中,$∠ C=30°$,点$D$是$AC$的中点,$DE ⊥ AC$交$BC$于点$E$.点$O$在$DE$上,且$OA=OB$.
(1)求证:$△ AOB$是等边三角形;
(2)猜想$BE,OD,OE$三者之间的数量关系,并证明.

2. (1)如图,连接 OC,作 OF ⊥ BC 于点 F,
∵ 点 D 是 AC 的中点,DE ⊥ AC,
∴ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ OA=OB,
∴ OB=OC,
∴ OF 为 BC 的垂直平分线,∠OBC=∠OCB,
∴ ∠OAC+∠OBC = ∠ACB = 30°, ∠CAB + ∠CBA = 150°,
∴ ∠OAB + ∠OBA = 120°,
∴ ∠AOB=60°,
∴ △AOB 是等边三角形.
(2) BE = 2OD + OE. 证明:
∵ ∠ACB = 30°, DE ⊥ AC,
∴ DE = $\frac{1}{2}$EC, ∠DEC=60°.
∵ OF ⊥ BC,
∴ ∠EOF=30°,
∴ EF = $\frac{1}{2}$OE,
∴ BE = BC - EC = 2CF - 2DE = 2 ( EC - EF ) - 2 ( OD + OE ) = $2(2DE-\frac{1}{2}OE)-2(OD+OE)=4DE-OE-2OD-2OE=4(OD+OE)-OE-2OD-2OE=4OD+4OE-OE-2OD-2OE=2OD+OE.$

3. 如图,在$△ ABC$中,$BC=2AC$,$∠ DBC=∠ ACB=120°$,$BD=BC$,$CD$交边$AB$于点$E$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)求证:$DE=3CE$.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P60 专题43

3. (1)
∵ BD = BC,
∴ ∠D = ∠BCD. 又
∵ ∠DBC = 120°, ∠D+∠BCD+∠DBC = 180°,
∴ ∠D = ∠BCD = 30°.
∵ ∠ACB = 120°, ∠ACB = ∠ACE + ∠BCD,
∴ ∠ACE = 90°.
(2)如图,过点 B 作 BM ⊥ DC 于点 M. 在 Rt△BMC 中, 由 ∠BCD = 30°, 得 BM = $\frac{1}{2}$BC.
∵ BC = 2AC,
∴ AC = $\frac{1}{2}$BC,
∴ BM = AC.在△BME 与△ACE 中,$\begin{cases} ∠BEM=∠AEC, \\ ∠BME=∠ACE, \\ BM=AC, \end{cases}$
∴ △BME≌△ACE(AAS),
∴ ME = CE = $\frac{1}{2}$MC.
∵ BD = BC, BM ⊥ DC,
∴ DM = MC,
∴ ME = CE = $\frac{1}{2}$DM,
∴ DE = 3CE.