3. 已知,在等边$△ ABC$中.
(1)如图①,点$M$是$BC$的中点,点$N$在$AB$边上,满足$∠ AMN=60°$,求$\frac{AN}{BN}$的值;
(2)如图②,点$P$为$AC$的中点,点$E$在$AB$的延长线上,点$F$在$BC$的延长线上,满足$∠ AEP=∠ PFC$,求$\frac{BF-BE}{BC}$的值.

(1)$\because △ ABC$ 为等边三角形, $\therefore ∠ B = ∠ BAC=60°, AB=AC.$
$\because$ 点 $M$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore ∠ MAN = 30°, ∠ AMB = 90°.$
$\because ∠ AMN=60°, \therefore ∠ BNM = ∠ ANM = 90°, ∠ BMN = 30°,$
$\therefore BM=2BN, AB=2BM$. 设 $BN=x$, 则 $BM=2x, AB=4x, \therefore AN=3x, \therefore \frac{AN}{BN}=3.$
(2)如图,过点 $P$ 作 $PM// BC$ 交 $AB$ 于点 $M, \therefore △ AMP$ 为等边三角形,
$\therefore AP=MP, ∠ AMP=60°. \because P$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore AP=PC, \therefore MP=PC.$
$\because ∠ ACB=60°, \therefore ∠ EMP = ∠ PCF=120°. \because ∠ AEP = ∠ PFC, \therefore △ PCF≌ △ PME(AAS), \therefore CF=ME, \therefore BF-BE=BC+CF-ME+MB$. 又 $\because P$ 为 $AC$ 的中点, $MP// BC, \therefore MB=\frac{1}{2}BC, \therefore BF-BE=BC+\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}BC, \therefore \frac{BF-BE}{BC}=\frac{3}{2}.$

4. 已知$△ ABC$是等边三角形，$AB=6$.
(1)如图①,点$M$是$BC$延长线上一点，$∠ AMN=60°$，$MN$交$△ ABC$的外角平分线于点$N$，求$CN-CM$的值；
(2)如图②,过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，点$P$是直线$AD$上一点，以$CP$为边，在$CP$的下方作等边$△ CPQ$，连接$DQ$，求$DQ$的最小值.

(1)如图①,过点 $M$ 作 $MH// AC$,交 $CN$ 于点 $H,. \therefore ∠ HMC=∠ ACB=60°. \because CN$ 是 $△ ABC$ 的外角平分线, $\therefore ∠ ACN = ∠ MCN=60°, \therefore △ HCM$ 为等边三角形, $\therefore HC = CM = HM.$
$\because ∠ CMH=60°, ∠ AMN=60°, \therefore ∠ AMC = ∠ NMH$. 在 $△ AMC$ 和 $△ NMH$ 中, $\begin{cases}∠ ACM=∠ NHM=120°,\\CM=HM,\\∠ AMC=∠ NMH,\end{cases}$ $\therefore △ AMC ≌ △ NMH$(ASA), $\therefore NH=AC=6, \therefore CN-CM=CN-CH=NH=6.$
(2)如图②,连接 $BQ. \because △ ABC$ 是等边三角形, $AD ⊥ BC$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}AC=3, ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=30°. \because △ ABC, △ CPQ$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = ∠ PCQ=60°, CA=CB, CP=CQ,$
$\therefore ∠ ACB - ∠ PCD = ∠ PCQ - ∠ PCD$, 即 $∠ ACP = ∠ BCQ$. 在 $△ BCQ$ 和 $△ ACP$ 中, $\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCQ=∠ ACP,\\CQ=CP,\end{cases}$ $\therefore △ BCQ ≌ △ ACP$(SAS), $\therefore ∠ CBQ = ∠ CAP=30°$. 当 $DQ ⊥ BQ$ 时,$DQ$ 最小,最小值为 $\frac{1}{2}BD=1.5.$

5. 如图，E 为等边$△ ABC$内一点，$∠ BEA=90°$，$∠ AEC=150°$，求证：$BE=2EC$.

将 $△ AEC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60°$,得 $△ BFC$,连接 $EF$,
$\therefore △ AEC ≌ △ BFC, ∠ ECF = 60°, \therefore AE=BF, CE=CF, ∠ AEC = ∠ BFC = 150°,$
$\therefore △ CEF$ 是等边三角形, $\therefore CE = EF,$
$∠ EFC = ∠ CEF = 60°, \therefore ∠ BFE = 90°.$
$\because ∠ BEA=90°, ∠ AEC=150°, ∠ CEF=60°, \therefore ∠ BEF=60°$, 且 $∠ BFE=90°,$
$\therefore ∠ EBF=30°, \therefore BE=2EF, \therefore BE=2EC.$