11. (2025·三明期中)如图,将$6×6$的正方形网格放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形$ABCD$的顶点都在格点上,若直线$y=kx(k≠0)$与正方形$ABCD$有公共点,则整数$k$的值为.

11. $1$ 或 $2$ 或 $3$ 解析:由题意得点 $A$ 的坐标为 $(1,3)$,点 $C$ 的坐标为 $(2,2)$.$\because$ 当正比例函数的图象经过点 $A$ 时,$k=3$,当经过点 $C$ 时,$k=1$,$\therefore$ 若直线 $y=kx$($k\ne0$) 与正方形 $ABCD$ 有公共点,则 $k$ 的取值范围是 $1\le k\le3$,则整数 $k$的值为 $1$ 或 $2$ 或 $3$.

12. 如图,点 $A(\dfrac{1}{2},2)$ 在正比例函数 $y=mx$ 的图象上,点 $B(\dfrac{3}{2},n)$ 在正比例函数 $y=\dfrac{2}{3}x$ 的图象上.
(1)求 $m,n$ 的值;
(2)在 $x$ 轴上找一点 $P$,使得 $PA+PB$ 的值最小,请求出 $PA+PB$ 的最小值.

12. (1)$\because$ 点 $A(\dfrac{1}{2},2)$ 在正比例函数 $y=mx$ 的图象上,点 $B$$(\dfrac{3}{2},n)$ 在正比例函数 $y=\dfrac{2}{3}x$ 的图象上,$\therefore 2=m×\dfrac{1}{2}$,$n=$$\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{2}=1$,$\therefore m=4$,$n=1$.
(2)如图,作点 $A(\dfrac{1}{2},2)$ 关于 $x$ 轴对称的点 $A'(\dfrac{1}{2},-2)$,连接 $A'B$,交 $x$ 轴于点 $P$,此时 $PA+PB$ 的值最小,$PA+PB=PA'+PB=A'B$.过点 $A'$ 作 $A'H// x$ 轴,过点 $B$ 作$BH// y$ 轴,$A'H$ 和 $BH$ 相交于点 $H$,$\therefore A'H=1$,$BH=3$.在$\mathrm{Rt}△ A'HB$ 中,$∠ H=90°$,则 $A'B=\sqrt{A'H^2+BH^2}=\sqrt{1^2+3^2}=$$\sqrt{10}$,$\therefore PA+PB$ 的最小值为 $\sqrt{10}$.

13. 新考法 如图是某函数的图

象,当$a ≤ x ≤ b$时,若在该
函数图象上可以找到$n$个不同的点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2),···,(x_n,y_n)$,使得$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=···=\dfrac{x_n}{y_n}$恒成立,则$n$的值不可能是（）

A.2
B.5
C.6
D.7

13. D 解析:设 $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=···=\dfrac{x_n}{y_n}=k$($k\ne0$),则在该函数图象上有 $n$ 个不同的点 $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$···$,$(x_n,y_n)$ 在 $y=$$\dfrac{1}{k}x$ 的图象上,画出函数图象观察交点个数即可求解.
如图①,正比例函数图象与该函数图象有 2 个交点,故 A不符合;


如图②,正比例函数图象与该函数图象有 5 个交点,故 B不符合;
如图③,正比例函数图象与该函数图象有 6 个交点,故 C不符合.故选 D.

14. (2025·上海期中) 如图,点 $P(1,a)$ 在直线$y=3x$ 上,直线 $y=kx\ (0＜k＜1)$ 上有一点$Q\ (b,1).$
(1)求点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标(其中点 $Q$ 的坐标用含$k$的代数式表示).
(2)过点 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴,过点 $Q$ 作 $QB ⊥$ $x$ 轴,垂足分别是 $A,B$. 如果 $△ APQ$ 的面积是$△ OPQ$ 面积的$\dfrac{3}{4}$,请求出 $k$ 的值.
(3)在(2)的条件下,线段 $PA$ 与直线 $y=kx$相交于点 $G$,直线 $y=3x$ 上是否存在点 $D$,使 $S_{△ ODG}=\dfrac{1}{2}S_{△ OPG}$ ? 如果存在,请直接写出 $D$的坐标;如果不存在,请说明理由.

14. (1)$\because$ 点 $P(1,a)$ 在直线 $y=3x$ 上,$\therefore a=3$,即 $P(1,3)$.$\because$ 直线$y=kx(0＜k＜1)$ 上有一点 $Q(b,1)$,$\therefore bk=1$,解得 $b=\dfrac{1}{k}$,$\therefore Q(\dfrac{1}{k},1)$.
(2)由题意知,$A(1,0)$,$B(\dfrac{1}{k},0)$,$\therefore S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}×3×(\dfrac{1}{k}- $$ 1)$,$\therefore S_{△ OPQ}=S_{△ AOP}+S_{△ APQ}+S_{△ ABQ}-S_{△ BOQ}=\dfrac{1}{2}×1×3+\dfrac{1}{2}×$$3×(\dfrac{1}{k}-1)+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{k}-1)×1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{k}×1=\dfrac{3}{2k}-\dfrac{1}{2}$.
$\because △ APQ$ 的面积是 $△ OPQ$ 面积的 $\dfrac{3}{4}$,$\therefore \dfrac{1}{2}×3×(\dfrac{1}{k}- $$ 1)=(\dfrac{3}{2k}-\dfrac{1}{2})×\dfrac{3}{4}$,可得 $\dfrac{1}{k}=3$,$\therefore k=\dfrac{1}{3}$.
(3)存在.点 $D$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})$ 或 $(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2})$.
解析:设 $D(m,3m)$,当 $D$ 在第一象限时,如图,$\because S_{△ ODG}=$$\dfrac{1}{2}S_{△ OPG}$,$\therefore OD=\dfrac{1}{2}OP$,$\therefore$ 点 $D$ 是 $OP$ 的中点,$\therefore D(\dfrac{1}{2}, $$ \dfrac{3}{2})$;当 $D$ 在第三象限时,如图中点 $D'$,由题意知 $OD=$$OD'$,$\therefore D'(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2})$.综上所述,$D$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})$或 $(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2})$.

归纳总结 中点坐标公式:在平面直角坐标系中,已知点 $A$,$B$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,点 $C$ 为 $AB$ 中点,则点 $C$的坐标可表示为 $(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$(可利用垂线辅助线结合全等三角形的知识证明).