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10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,将边$AC$沿$CE$翻折,使点$A$落在$AB$上的点$D$处;再将边$BC$沿$CF$翻折,使点$B$落在$CD$的延长线上的点$B'$处,两条折痕与斜边$AB$分别交于点$E$,$F$,则线段$B'F$的长为(
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B
).A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
10.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；2. 根据第一次翻折的性质，可知CE是AB边上的高，结合三角形面积法求出CE的长度，再用勾股定理求出AE的长度；3. 分析两次翻折的角的关系，得出∠ECF=45°，判断△CEF为等腰直角三角形，得到EF=CE；4. 最后根据线段和差关系求出BF的长度，再由第二次翻折对应边相等，得到B'F=BF即可得出结果。
【解析】
第一步：计算斜边AB长度
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
第二步：利用第一次翻折性质求CE、AE的长度
将AC沿CE翻折，点A落在AB上的D处，根据翻折性质：
$CE⊥AB$，$AE=DE$，$CD=AC=3$，$∠ACE=∠DCE$
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值：
$CE=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$
第三步：判断△CEF的形状，求EF长度
将BC沿CF翻折，点B落在CD延长线的B'处，根据翻折性质：
$∠BCF=∠B'CF$，$BF=B'F$
因为$∠ACB=90°$，所以$∠ACE+∠DCE+∠BCF+∠B'CF=90°$，即$2(∠DCE+∠B'CF)=90°$，得$∠ECF=45°$
又因为$∠CEF=90°$，所以△CEF是等腰直角三角形，故$EF=CE=\frac{12}{5}$
第四步：计算B'F的长度
$BF=AB-AE-EF=5-\frac{9}{5}-\frac{12}{5}=5-\frac{21}{5}=\frac{4}{5}$
由翻折性质得$B'F=BF=\frac{4}{5}$
【答案】
B
【知识点】
翻折的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何计算题，核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的相关定理推导线段关系，解题时要注意挖掘翻折隐含的垂直、等角等边条件，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；2. 根据第一次翻折的性质，可知CE是AB边上的高，结合三角形面积法求出CE的长度，再用勾股定理求出AE的长度；3. 分析两次翻折的角的关系，得出∠ECF=45°，判断△CEF为等腰直角三角形，得到EF=CE；4. 最后根据线段和差关系求出BF的长度，再由第二次翻折对应边相等，得到B'F=BF即可得出结果。
【解析】
第一步：计算斜边AB长度
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
第二步：利用第一次翻折性质求CE、AE的长度
将AC沿CE翻折，点A落在AB上的D处，根据翻折性质：
$CE⊥AB$，$AE=DE$，$CD=AC=3$，$∠ACE=∠DCE$
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值：
$CE=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$
第三步：判断△CEF的形状，求EF长度
将BC沿CF翻折，点B落在CD延长线的B'处，根据翻折性质：
$∠BCF=∠B'CF$，$BF=B'F$
因为$∠ACB=90°$，所以$∠ACE+∠DCE+∠BCF+∠B'CF=90°$，即$2(∠DCE+∠B'CF)=90°$，得$∠ECF=45°$
又因为$∠CEF=90°$，所以△CEF是等腰直角三角形，故$EF=CE=\frac{12}{5}$
第四步：计算B'F的长度
$BF=AB-AE-EF=5-\frac{9}{5}-\frac{12}{5}=5-\frac{21}{5}=\frac{4}{5}$
由翻折性质得$B'F=BF=\frac{4}{5}$
【答案】
B
【知识点】
翻折的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是折叠类几何计算题，核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的相关定理推导线段关系，解题时要注意挖掘翻折隐含的垂直、等角等边条件，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
11.计算$\sqrt{3} - \sqrt{12} - (\sqrt{8} - 1)^0$的结果是
$-\sqrt{3}-1$
答案
11.$-\sqrt{3}-1$ [解析]$\sqrt{3}-\sqrt{12}-(\sqrt{8}-1)^0=\sqrt{3}-2\sqrt{3}-1=-\sqrt{3}-1.$
解析
【分析】
解决本题需要分三步思考：第一步先化简式子中的非最简二次根式，将$\sqrt{12}$化为最简二次根式；第二步处理零指数幂，先判断零指数幂的底数是否不为0，若不为0则结果为1；第三步合并同类二次根式，计算最终结果。
【解析】
解：先分别化简计算式子中的每一项：
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 计算零指数幂：因为$\sqrt{8}-1=2\sqrt{2}-1≠0$，根据零指数幂的性质可得$(\sqrt{8}-1)^0=1$；
3. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}-\sqrt{12}-(\sqrt{8}-1)^0&=\sqrt{3}-2\sqrt{3}-1\\&=-\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂的性质，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的化简规则和零指数幂的运算性质，易错点为二次根式化简出错、忽略零指数幂底数不为0的前提，熟练掌握基础运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分三步思考：第一步先化简式子中的非最简二次根式，将$\sqrt{12}$化为最简二次根式；第二步处理零指数幂，先判断零指数幂的底数是否不为0，若不为0则结果为1；第三步合并同类二次根式，计算最终结果。
【解析】
解：先分别化简计算式子中的每一项：
1. 化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
2. 计算零指数幂：因为$\sqrt{8}-1=2\sqrt{2}-1≠0$，根据零指数幂的性质可得$(\sqrt{8}-1)^0=1$；
3. 代入原式合并计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}-\sqrt{12}-(\sqrt{8}-1)^0&=\sqrt{3}-2\sqrt{3}-1\\&=-\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式化简，零指数幂的性质，二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的化简规则和零指数幂的运算性质，易错点为二次根式化简出错、忽略零指数幂底数不为0的前提，熟练掌握基础运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
12. 新考法 添加条件开放 如图，在$△ ABC$与$△ ADC$中，已知$AD=AB$，在不添加任何辅助线的前提下，要使$△ ABC ≌ △ ADC$，只需再添加的一个条件可以是
$∠ DAC=∠ BAC$(答案不唯一)
。答案
12.$∠ DAC=∠ BAC$(答案不唯一)
解析
【分析】首先梳理已知条件：△ABC和△ADC中，已知AD=AB，同时AC是两个三角形的公共边，即AC=AC，已得到两组边对应相等。结合三角形全等的判定定理，若要证明两三角形全等，可添加两组对应边的夹角相等满足SAS判定，或添加第三组边相等满足SSS判定，据此即可推出可添加的条件。
【解析】在△ABC和△ADC中：
已知AD=AB，且AC为公共边，因此AC=AC。
①若添加条件∠DAC=∠BAC：此时两边及其夹角对应相等，根据SAS全等判定定理，可证△ABC≌△ADC；
②若添加条件DC=BC：此时三组边对应相等，根据SSS全等判定定理，可证△ABC≌△ADC。
（注意：不能添加∠D=∠B，SSA无法判定三角形全等）
【答案】∠DAC=∠BAC（或DC=BC，答案不唯一）
【知识点】全等三角形的判定
【点评】本题属于条件开放类题目，需要结合已有的相等边条件，选择符合全等判定规则的条件添加，注意规避SSA这类无法判定全等的错误条件。
【难度系数】0.8
【解析】在△ABC和△ADC中：
已知AD=AB，且AC为公共边，因此AC=AC。
①若添加条件∠DAC=∠BAC：此时两边及其夹角对应相等，根据SAS全等判定定理，可证△ABC≌△ADC；
②若添加条件DC=BC：此时三组边对应相等，根据SSS全等判定定理，可证△ABC≌△ADC。
（注意：不能添加∠D=∠B，SSA无法判定三角形全等）
【答案】∠DAC=∠BAC（或DC=BC，答案不唯一）
【知识点】全等三角形的判定
【点评】本题属于条件开放类题目，需要结合已有的相等边条件，选择符合全等判定规则的条件添加，注意规避SSA这类无法判定全等的错误条件。
【难度系数】0.8
13.在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
$(2,-3)$
。答案
13.$(2,-3)$
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来结合已知点A的坐标，对应替换纵坐标为其相反数即可得到点B的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：若两点关于x轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知点A的坐标为(2,3)，因此点B的横坐标与点A相同，为2；纵坐标为3的相反数，即-3。
所以点B的坐标为(2,-3)。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，重点考查坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化规则，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来结合已知点A的坐标，对应替换纵坐标为其相反数即可得到点B的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：若两点关于x轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知点A的坐标为(2,3)，因此点B的横坐标与点A相同，为2；纵坐标为3的相反数，即-3。
所以点B的坐标为(2,-3)。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，重点考查坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化规则，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
14.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ ABC$的平分线BD交AC于点D.若$BD=13\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$,则点D到直线AB的距离是
5
cm.答案
14.5
解析
【分析】
解题思路分两步推导：第一步，明确所求为点D到AB的距离，结合已知BD是∠ABC的角平分线，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于点D到BC的距离，也就是线段DC的长度；第二步，△BCD是直角三角形，已知斜边BD和直角边BC的长度，用勾股定理即可求出DC的长度，得到最终结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$BD=13\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得：
$DC=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD平分$∠ ABC$，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
根据角平分线的性质可知$DE=DC=5\ \mathrm{cm}$，即点D到直线AB的距离为5cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查角平分线性质与勾股定理的综合应用，解题关键是通过角平分线的性质将未知距离转化为直角三角形中可计算的线段长度，简化求解过程。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步推导：第一步，明确所求为点D到AB的距离，结合已知BD是∠ABC的角平分线，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于点D到BC的距离，也就是线段DC的长度；第二步，△BCD是直角三角形，已知斜边BD和直角边BC的长度，用勾股定理即可求出DC的长度，得到最终结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$BD=13\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得：
$DC=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD平分$∠ ABC$，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
根据角平分线的性质可知$DE=DC=5\ \mathrm{cm}$，即点D到直线AB的距离为5cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查角平分线性质与勾股定理的综合应用，解题关键是通过角平分线的性质将未知距离转化为直角三角形中可计算的线段长度，简化求解过程。
【难度系数】
0.7
15.若$|x-y|+\sqrt{y-2}=0$,则$x^{y-3}=$
$\dfrac{1}{2}$
.答案
15.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确绝对值和算术平方根都具有非负性，即它们的值都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件，因此可以据此列出关于x、y的方程，求出x、y的取值后，再代入所求的代数式，结合负整数指数幂的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|x-y| ≥ 0$，$\sqrt{y-2} ≥ 0$，且$|x-y|+\sqrt{y-2}=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-y=0 \\y-2=0\end{cases}$
解得：$y=2$，$x=y=2$
将$x=2$，$y=2$代入$x^{y-3}$得：
原式$=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的意义、负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，再结合指数运算的规则代入计算即可，需要注意负整数指数幂的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确绝对值和算术平方根都具有非负性，即它们的值都大于或等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能满足条件，因此可以据此列出关于x、y的方程，求出x、y的取值后，再代入所求的代数式，结合负整数指数幂的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|x-y| ≥ 0$，$\sqrt{y-2} ≥ 0$，且$|x-y|+\sqrt{y-2}=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-y=0 \\y-2=0\end{cases}$
解得：$y=2$，$x=y=2$
将$x=2$，$y=2$代入$x^{y-3}$得：
原式$=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的意义、负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，再结合指数运算的规则代入计算即可，需要注意负整数指数幂的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
16.如图,在同一平面直角坐标系中,直线$y_1=ax+b(a≠0)$与双曲线$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$交于点$A(-1,m),B(2,-1)$,则满足$y_1≤y_2$的$x$的取值范围为
$-1≤x＜0$或$x≥2$
.答案
16.$-1≤x＜0$或$x≥2$
解析
【分析】
要解决$y_1≤y_2$的$x$取值范围问题，可利用数形结合思想：$y_1≤y_2$的几何意义是同一$x$值下，直线$y_1$的图象在双曲线$y_2$图象的下方（包括交点位置，此时两函数值相等）。首先根据已知交点坐标，结合反比例函数自变量$x≠0$的限制，将$x$的取值分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间，逐个判断每个区间内两函数的上下位置，即可得到符合要求的$x$范围。
【解析】
1. 首先明确：$y_1≤y_2$对应图象上的情况是，直线$y_1=ax+b$位于双曲线$y_2=\frac{k}{x}$的下方，或两者相交（函数值相等）。
2. 已知两函数交点为$A(-1,m)$、$B(2,-1)$，且反比例函数自变量$x≠0$，分区间判断：
当$x＜-1$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$-1≤x＜0$时，直线在双曲线下方，且$x=-1$时两函数值相等，满足$y_1≤y_2$；
当$0＜x＜2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$x≥2$时，直线在双曲线下方，且$x=2$时两函数值相等，满足$y_1≤y_2$。
3. 综上，满足条件的$x$取值范围为$-1≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
$-1≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
一次函数图象，反比例函数图象，函数值大小比较
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题时要结合图象位置判断函数值大小，需注意反比例函数自变量不能为0的限制，同时不要遗漏交点处等号成立的情况。
【难度系数】
0.6
要解决$y_1≤y_2$的$x$取值范围问题，可利用数形结合思想：$y_1≤y_2$的几何意义是同一$x$值下，直线$y_1$的图象在双曲线$y_2$图象的下方（包括交点位置，此时两函数值相等）。首先根据已知交点坐标，结合反比例函数自变量$x≠0$的限制，将$x$的取值分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间，逐个判断每个区间内两函数的上下位置，即可得到符合要求的$x$范围。
【解析】
1. 首先明确：$y_1≤y_2$对应图象上的情况是，直线$y_1=ax+b$位于双曲线$y_2=\frac{k}{x}$的下方，或两者相交（函数值相等）。
2. 已知两函数交点为$A(-1,m)$、$B(2,-1)$，且反比例函数自变量$x≠0$，分区间判断：
当$x＜-1$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$-1≤x＜0$时，直线在双曲线下方，且$x=-1$时两函数值相等，满足$y_1≤y_2$；
当$0＜x＜2$时，直线在双曲线上方，$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$x≥2$时，直线在双曲线下方，且$x=2$时两函数值相等，满足$y_1≤y_2$。
3. 综上，满足条件的$x$取值范围为$-1≤x＜0$或$x≥2$。
【答案】
$-1≤x＜0$或$x≥2$
【知识点】
一次函数图象，反比例函数图象，函数值大小比较
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题时要结合图象位置判断函数值大小，需注意反比例函数自变量不能为0的限制，同时不要遗漏交点处等号成立的情况。
【难度系数】
0.6
17.如图，已知$∠ AOB=30°$，$P$为$∠ AOB$内一点，$OP=10\ \mathrm{cm}$，分别作出$P$关于$OA$，$OB$的对称点$P_1$，$P_2$，连接$P_1P_2$交$OA$，$OB$于$M$、$N$，则$△ MNP$的周长为
10
cm.答案
17.10
解析
【分析】
解题时首先结合点关于直线对称的条件，联想到轴对称的性质：对称轴是对称点连线的垂直平分线，因此对称点到对称轴上任意点的距离相等，借此可以将△MNP的三边PM、PN分别转化为P₁M、P₂N，此时△MNP的周长就等于线段P₁P₂的长度；接下来再根据对称的角的等量关系，推导∠P₁OP₂的度数，结合OP₁=OP₂=OP的结论判断△P₁OP₂的形状，即可求出P₁P₂的长度，得到最终结果。
【解析】
解：
∵P₁是P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分PP₁，
∴PM=P₁M，OP₁=OP=10cm，
同理，P₂是P关于OB的对称点，
∴PN=P₂N，OP₂=OP=10cm，
∴OP₁=OP₂=10cm。
由对称性质可知：∠P₁OA=∠POA，∠P₂OB=∠POB，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OA+∠POA+∠POB+∠P₂OB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠P₁OP₂=2×30°=60°，
∴△P₁OP₂是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴P₁P₂=OP₁=10cm。
△MNP的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂=10cm。
【答案】
10
【知识点】
1.轴对称的性质；2.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称性质的经典应用题型，核心是通过对称实现线段和角的等量转化，将三角形周长问题转化为特殊三角形的边长求解问题，熟练掌握轴对称和等边三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合点关于直线对称的条件，联想到轴对称的性质：对称轴是对称点连线的垂直平分线，因此对称点到对称轴上任意点的距离相等，借此可以将△MNP的三边PM、PN分别转化为P₁M、P₂N，此时△MNP的周长就等于线段P₁P₂的长度；接下来再根据对称的角的等量关系，推导∠P₁OP₂的度数，结合OP₁=OP₂=OP的结论判断△P₁OP₂的形状，即可求出P₁P₂的长度，得到最终结果。
【解析】
解：
∵P₁是P关于OA的对称点，
∴OA垂直平分PP₁，
∴PM=P₁M，OP₁=OP=10cm，
同理，P₂是P关于OB的对称点，
∴PN=P₂N，OP₂=OP=10cm，
∴OP₁=OP₂=10cm。
由对称性质可知：∠P₁OA=∠POA，∠P₂OB=∠POB，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OA+∠POA+∠POB+∠P₂OB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠P₁OP₂=2×30°=60°，
∴△P₁OP₂是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴P₁P₂=OP₁=10cm。
△MNP的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂=10cm。
【答案】
10
【知识点】
1.轴对称的性质；2.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是轴对称性质的经典应用题型，核心是通过对称实现线段和角的等量转化，将三角形周长问题转化为特殊三角形的边长求解问题，熟练掌握轴对称和等边三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
18. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ B = 60°$，$AB = 6\ \mathrm{cm}$，$BC = 12\ \mathrm{cm}$。点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动。在此运动过程中，线段$PQ=CD$出现的次数是
4
。答案
18.4 [解析]由已知,得点 P 从点 A 到点 D 需 12 s,点 Q 从点 C 到点 B(或从点 B 到点 C)需 4 s,设点 P,Q 运动时间为 t s,分三种情况:①当 0≤t≤4 时,过点 Q 作 QH⊥AD于点 H,过点 C 作 CG⊥AD 于点 G,由四边形 CQPD 是等腰梯形,可得 t + 3 + 3t + 3 = 12, t = 1.5;当四边形 CQPD 是平行四边形时,t + 3t = 12,得 t = 3;②当 4 ＜ t ≤8 时,若四边形 CQPD 是平行四边形,可得 3(t - 4) = t, t = 6;若四边形 CQPD 是等腰梯形,则 PD ＞ 6 cm,这种情况在 4 ＜ t ≤8 时不存在;③当 8 ＜ t ≤12 时,若四边形 CQPD 是平行四边形,3(t - 8) = 12 - t,得 t = 9.综上所述,t 为 1.5 s 或 3 s 或 6 s 或 9 s 时,PQ=CD,共出现 4 次.
解析
【分析】
要使PQ=CD，结合平行四边形ABCD中AD//BC，存在两种情况：①PQ//CD，此时四边形PQCD为平行四边形，满足对边相等PQ=CD；②PQ与CD不平行，此时四边形PQCD为等腰梯形，满足腰相等PQ=CD。先计算点P的总运动时间为12s，点Q走BC单程的时间为4s，因此按Q的运动阶段分0≤t≤4、4＜t≤8、8＜t≤12三个时间段，每个时间段分别针对两种情况列方程求解，验证解是否符合对应时间范围，统计有效解的个数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12cm，CD=AB=6cm，AD//BC，∠D=∠B=60°。
点P从A到D的总运动时间：$12÷1=12\ \mathrm{s}$，
点Q走BC单程的时间：$12÷3=4\ \mathrm{s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤12)$。
过点C作CG⊥AD于点G，在Rt△CDG中，∠DCG=30°，因此$DG=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$，由此可得：等腰梯形PQCD中，$PD=CQ+2×3=CQ+6$；平行四边形PQCD中，$PD=CQ$。
分三个时间段讨论：
①当$0≤ t≤4$时，Q从C向B运动，$CQ=3t$，$PD=12-t$：
平行四边形情形：$12-t=3t$，解得$t=3$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=3t+6$，解得$t=1.5$，符合范围。
②当$4＜ t≤8$时，Q从B向C运动，$CQ=12-3(t-4)=24-3t$：
平行四边形情形：$12-t=24-3t$，解得$t=6$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=24-3t+6$，解得$t=9$，不在本时间段范围内，舍去。
③当$8＜ t≤12$时，Q第二次从C向B运动，$CQ=3(t-8)=3t-24$：
平行四边形情形：$12-t=3t-24$，解得$t=9$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=3t-24+6$，解得$t=7.5$，不在本时间段范围内，舍去。
综上，符合条件的t值有1.5s、3s、6s、9s，共4次。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰梯形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题属于动点几何综合题，核心是抓住PQ=CD对应的两种图形结构，结合点Q往复运动的特点分阶段讨论，求解后注意验证解是否对应运动阶段的时间范围，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.4
要使PQ=CD，结合平行四边形ABCD中AD//BC，存在两种情况：①PQ//CD，此时四边形PQCD为平行四边形，满足对边相等PQ=CD；②PQ与CD不平行，此时四边形PQCD为等腰梯形，满足腰相等PQ=CD。先计算点P的总运动时间为12s，点Q走BC单程的时间为4s，因此按Q的运动阶段分0≤t≤4、4＜t≤8、8＜t≤12三个时间段，每个时间段分别针对两种情况列方程求解，验证解是否符合对应时间范围，统计有效解的个数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12cm，CD=AB=6cm，AD//BC，∠D=∠B=60°。
点P从A到D的总运动时间：$12÷1=12\ \mathrm{s}$，
点Q走BC单程的时间：$12÷3=4\ \mathrm{s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤12)$。
过点C作CG⊥AD于点G，在Rt△CDG中，∠DCG=30°，因此$DG=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$，由此可得：等腰梯形PQCD中，$PD=CQ+2×3=CQ+6$；平行四边形PQCD中，$PD=CQ$。
分三个时间段讨论：
①当$0≤ t≤4$时，Q从C向B运动，$CQ=3t$，$PD=12-t$：
平行四边形情形：$12-t=3t$，解得$t=3$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=3t+6$，解得$t=1.5$，符合范围。
②当$4＜ t≤8$时，Q从B向C运动，$CQ=12-3(t-4)=24-3t$：
平行四边形情形：$12-t=24-3t$，解得$t=6$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=24-3t+6$，解得$t=9$，不在本时间段范围内，舍去。
③当$8＜ t≤12$时，Q第二次从C向B运动，$CQ=3(t-8)=3t-24$：
平行四边形情形：$12-t=3t-24$，解得$t=9$，符合范围；
等腰梯形情形：$12-t=3t-24+6$，解得$t=7.5$，不在本时间段范围内，舍去。
综上，符合条件的t值有1.5s、3s、6s、9s，共4次。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，等腰梯形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题属于动点几何综合题，核心是抓住PQ=CD对应的两种图形结构，结合点Q往复运动的特点分阶段讨论，求解后注意验证解是否对应运动阶段的时间范围，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.4
三、解答题(第19～21题每题6分，第22题8分，其余每题10分，共56分)
19.已知$2x - y$的平方根为$\pm3$，$-4$是$3x + y$的平方根，求$x - y$的平方根。
19.已知$2x - y$的平方根为$\pm3$，$-4$是$3x + y$的平方根，求$x - y$的平方根。
答案
19.$\because 2x - y$的平方根为$\pm3$,
$\therefore 2x - y = 9. \because -4$是$3x + y$的一个平方根,
$\therefore 3x + y = 16$,联立$\begin{cases}2x - y = 9,\\3x + y = 16,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore x - y = 5 - 1 = 4, \because (\pm2)^2 = 4$,
$\therefore x - y$的平方根是$\pm2$.
$\therefore 2x - y = 9. \because -4$是$3x + y$的一个平方根,
$\therefore 3x + y = 16$,联立$\begin{cases}2x - y = 9,\\3x + y = 16,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore x - y = 5 - 1 = 4, \because (\pm2)^2 = 4$,
$\therefore x - y$的平方根是$\pm2$.
解析
【分析】
解题核心是利用平方根的性质：若一个数的平方根为$\pm a$，则这个数等于$a^2$。首先根据题目给出的两个平方根条件，分别列出关于$x$、$y$的等式，得到二元一次方程组；求解出$x$、$y$的值后代入计算$x-y$的结果；最后求$x-y$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
$\because 2x - y$的平方根为$\pm3$，
$\therefore 2x - y = 3^2 = 9$，
$\because -4$是$3x + y$的一个平方根，
$\therefore 3x + y = (-4)^2 = 16$，
联立得方程组：$\begin{cases}2x - y = 9\\3x + y = 16\end{cases}$
将两个方程相加消去$y$，得$5x=25$，解得$x=5$，
把$x=5$代入$2x - y =9$，得$10 - y =9$，解得$y=1$，
$\therefore x - y = 5 - 1 = 4$，
$\because (\pm2)^2 =4$，
$\therefore x - y$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础运算综合题，解题关键是熟练掌握平方根的性质，正确列出方程组求解，最后求平方根时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写正根漏写负根的错误。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用平方根的性质：若一个数的平方根为$\pm a$，则这个数等于$a^2$。首先根据题目给出的两个平方根条件，分别列出关于$x$、$y$的等式，得到二元一次方程组；求解出$x$、$y$的值后代入计算$x-y$的结果；最后求$x-y$的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
$\because 2x - y$的平方根为$\pm3$，
$\therefore 2x - y = 3^2 = 9$，
$\because -4$是$3x + y$的一个平方根，
$\therefore 3x + y = (-4)^2 = 16$，
联立得方程组：$\begin{cases}2x - y = 9\\3x + y = 16\end{cases}$
将两个方程相加消去$y$，得$5x=25$，解得$x=5$，
把$x=5$代入$2x - y =9$，得$10 - y =9$，解得$y=1$，
$\therefore x - y = 5 - 1 = 4$，
$\because (\pm2)^2 =4$，
$\therefore x - y$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
平方根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础运算综合题，解题关键是熟练掌握平方根的性质，正确列出方程组求解，最后求平方根时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写正根漏写负根的错误。
【难度系数】
0.8
