20.一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（单位：km/h）与所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中$60≤ v≤ 120$.
(1)写出平均速度v关于所用时间t的函数表达式，并求t的取值范围；
(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的取值范围.

20.(1)设$v$与$t$的函数表达式为$v=\dfrac{k}{t}$.
将$(4,60)$代入$v=\dfrac{k}{t}$,得$60=\dfrac{k}{4}$,解得$k=240$.
故$v$与$t$的函数表达式为$v=\dfrac{240}{t}(2≤ t≤ 4)$.
(2)当$t=\dfrac{8}{3}\ \mathrm{h}$时,$v=90\ \mathrm{km/h}$,
当$t=3\ \mathrm{h}$时,$v=80\ \mathrm{km/h}$,
$\therefore$客车平均速度 $v$ 的取值范围为 $80\ \mathrm{km/h}≤ v≤ 90\ \mathrm{km/h}$.

【分析】
(1) 行程问题中甲乙两地的路程是定值，由路程=速度×时间可知，平均速度v和时间t成反比例函数关系，因此可先设反比例函数解析式，代入图像上已知点(4,60)求出解析式，再结合题目给出的v的取值范围60≤v≤120，代入解析式即可求出t的取值范围。
(2) 先根据出发时间和到达时间区间，计算出行驶时间t的取值范围，再结合反比例函数的单调性（k＞0时，v随t的增大而减小），代入t的两个端点值即可求出v的取值范围，注意时间单位要统一换算为小时。
【解析】
(1) 设v关于t的函数表达式为$v=\dfrac{k}{t}$（k为常数，k≠0）。
由图可知函数图像过点$(4,60)$，将其代入解析式得：
$60=\dfrac{k}{4}$，解得$k=240$，因此函数表达式为$v=\dfrac{240}{t}$。
当$v=120$时，代入得$120=\dfrac{240}{t}$，解得$t=2$；
当$v=60$时，代入得$60=\dfrac{240}{t}$，解得$t=4$。
结合$60≤v≤120$，可得t的取值范围为$2≤t≤4$。
(2) 上午8时出发，10时40分到达时，行驶时间为$2\mathrm{h}40\mathrm{min}=\dfrac{8}{3}\mathrm{h}$；
11时到达时，行驶时间为$11-8=3\mathrm{h}$，因此行驶时间t的范围为$\dfrac{8}{3}≤t≤3$。
由于$k=240＞0$，反比例函数$v=\dfrac{240}{t}$在$t＞0$时，v随t的增大而减小：
当$t=\dfrac{8}{3}$时，$v=\dfrac{240}{\dfrac{8}{3}}=90\ \mathrm{km/h}$；
当$t=3$时，$v=\dfrac{240}{3}=80\ \mathrm{km/h}$。
因此v的取值范围为$80\ \mathrm{km/h}≤v≤90\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
(1) $v=\dfrac{240}{t}(2≤ t≤ 4)$；
(2) $80\ \mathrm{km/h}≤ v≤ 90\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查反比例函数的应用，解题的核心是明确路程为定值，确定v与t的反比例关系，再结合自变量的取值范围求解对应函数值的范围，需注意时间单位的统一换算，是反比例函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

21.在一个长为2 m，宽为1 m的矩形草地上，如图，堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的主视图是边长为0.2 m的正方形，求一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程。

21.如图,由题意可知,将木块展开,
新的矩形长为$2+0.2×2=2.4(\mathrm{m})$,宽为$1\ \mathrm{m}$.
于是最短路程为$\sqrt{2.4^2+1^2}=2.6(\mathrm{m})$.

【分析】
要求蚂蚁从A到C的最短路程，需先将有木块阻挡的立体路径转化为平面路径：蚂蚁需要绕过木块行走，因此可将木块的表面展开，把行走路径放在同一平面内，此时最短路径为展开后所得新矩形的对角线长度。首先确定展开后矩形的长：木块主视图是边长0.2m的正方形，蚂蚁经过木块时会多走2个正方形的边长，因此新矩形的长为原草地长加2个0.2m，宽仍为原草地的宽1m，最后用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
解：根据题意，将木块表面展开后，所得新矩形的长为：
$2+0.2×2=2.4\ \mathrm{m}$
新矩形的宽与原矩形草地的宽相等，为$1\ \mathrm{m}$。
根据两点之间线段最短，蚂蚁从A到C的最短路程为该新矩形的对角线长度，由勾股定理可得：
$\mathrm{最短路程}=\sqrt{2.4^2+1^2}=\sqrt{5.76+1}=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$
【答案】
如图,由题意可知,将木块展开,新的矩形长为$2+0.2×2=2.4(\mathrm{m})$,宽为$1\ \mathrm{m}$.于是最短路程为$\sqrt{2.4^2+1^2}=2.6(\mathrm{m})$.
【知识点】
1. 最短路径问题 2. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际场景考查最短路径的计算，解题核心是将立体图形展开转化为平面问题，把路径转化为直角三角形的斜边进行计算，需要注意展开后矩形的长要加上两个正方形的边长，避免漏算导致出错。
【难度系数】
0.7

22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫作此一次函数的坐标三角形。例如，图中的一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，则$△ OAB$为此函数的坐标三角形。
(1)求函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长；
(2)若函数$y=-\dfrac{3}{4}x+b$（$b$为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积。

22.(1)$\because$直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与$x$轴的交点坐标为$(4,0)$,与$y$轴交点坐标为$(0,3)$,$\therefore$函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$的坐标三角形的三条边长分别为$3,4,5$.
(2)直线$y=-\dfrac{3}{4}x+b$与$x$轴的交点坐标为$(\dfrac{4}{3}b,0)$,与$y$轴交点坐标为$(0,b)$,
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\dfrac{5}{3}|b|$,
当$b＞0$时,$b+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{5}{3}b=16$,得$b=4$,
此时,坐标三角形面积为$\dfrac{32}{3}$;
当$b＜0$时,$-b-\dfrac{4}{3}b-\dfrac{5}{3}b=16$,得$b=-4$,
此时,坐标三角形面积为$\dfrac{32}{3}$.
综上,当函数$y=-\dfrac{3}{4}x+b$的坐标三角形周长为16时,面积为$\dfrac{32}{3}$.

【分析】
（1）求解第一问首先要明确坐标三角形的三个顶点为原点、一次函数与x轴的交点、一次函数与y轴的交点。先分别令函数的y=0、x=0，求出两个交点坐标，得到两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长度，即可得到三条边长。
（2）第二问先类比第一问的方法，求出带参数b的一次函数与坐标轴的交点坐标，由于b的正负不确定，所以线段长度需用绝对值表示，再通过勾股定理表示出斜边长度，结合周长为16列方程求出|b|的值，最后代入直角三角形面积公式计算即可，注意两种正负情况的面积结果一致。
【解析】
(1) 对于函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$：
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{4}x+3$，解得$x=4$，即函数与x轴交点为$(4,0)$，对应直角边长为4；
令$x=0$，得$y=3$，即函数与y轴交点为$(0,3)$，对应直角边长为3；
由勾股定理得斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因此坐标三角形的三条边长分别为3、4、5。
(2) 对于函数$y=-\dfrac{3}{4}x+b$：
令$y=0$，解得$x=\dfrac{4}{3}b$，即与x轴交点为$(\dfrac{4}{3}b,0)$；
令$x=0$，解得$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
由勾股定理得斜边长为$\sqrt{\left|\dfrac{4}{3}b\right|^2+|b|^2}=\dfrac{5}{3}|b|$。
已知周长为16，分情况讨论：
①当$b＞0$时，三边和为$b+\dfrac{4}{3}b+\dfrac{5}{3}b=16$，解得$b=4$，此时面积$S=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{4}{3}×4=\dfrac{32}{3}$；
②当$b＜0$时，三边和为$-b-\dfrac{4}{3}b-\dfrac{5}{3}b=16$，解得$b=-4$，此时面积$S=\dfrac{1}{2}×|-4|×\left|\dfrac{4}{3}×(-4)\right|=\dfrac{32}{3}$。
综上，三角形面积为$\dfrac{32}{3}$。
【答案】
(1) 三条边长为$\boxed{3}$、$\boxed{4}$、$\boxed{5}$；
(2) 三角形面积为$\boxed{\dfrac{32}{3}}$。
【知识点】
一次函数图象性质，勾股定理，直角三角形周长面积计算
【点评】
本题结合一次函数和新定义坐标三角形考查数形结合、分类讨论思想，解题关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，注意坐标正负和线段长度非负的转换，避免漏解。
【难度系数】
0.7

23.如图,在$Rt△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$O$为$BC$的中点.
(1)写出点$O$到$△ ABC$的三个顶点$A$,$B$,$C$的距离的关系;(不要求证明)
(2)如果点$M$,$N$分别在线段$AB$,$AC$上移动,在移动过程中保持$AN=BM$,请判断$△ OMN$的形状,并证明你的结论.

23.(1)点$O$到$△ ABC$的三个顶点$A,B,C$的距离的关系是$OA=OB=OC$.
(2)$△ OMN$的形状是等腰直角三角形.证明如下:
$\because$在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$O$为$BC$的中点,
$\therefore OA=OB=OC$,$AO$平分$∠ BAC$,$AO⊥ BC$.
$\therefore ∠ AOB=90°$,$∠ B=∠ C=45°$,$∠ BAO=∠ CAO=45°$.$\therefore ∠ CAO=∠ B$.
在$△ BOM$和$△ AON$中,$\begin{cases}BM=AN,\\∠ B=∠ CAO,\\OB=OA,\end{cases}$
$\therefore △ BOM≌△ AON(\mathrm{SAS})$.
$\therefore OM=ON$,$∠ AON=∠ BOM$.
$\because ∠ AOB=∠ BOM+∠ AOM=90°$,
$\therefore ∠ AON+∠ AOM=90°$,即$∠ MON=90°$.
$\therefore △ OMN$是等腰直角三角形.

【分析】
(1) 已知△ABC是等腰直角三角形，O是斜边BC的中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可直接推出O到三个顶点的距离关系。
(2) 要判断△OMN的形状，首先结合已知AN=BM，考虑通过全等三角形得到边的等量关系：先根据等腰直角三角形的性质推导得出OA=OB、∠B=∠CAO=45°，结合AN=BM用SAS证明△BOM≌△AON，可得OM=ON；再通过角度的等量代换证明∠MON=90°，即可确定△OMN的形状。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°$，O为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OA=OB=OC$。
(2) $△OMN$是等腰直角三角形，证明如下：
$\because$在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$O$为$BC$的中点,
$\therefore OA=OB=OC$,$AO$平分$∠ BAC$,$AO⊥ BC$,
$\therefore ∠ AOB=90°$,$∠ B=∠ C=45°$,$∠ BAO=∠ CAO=45°$,
$\therefore ∠ CAO=∠ B$,
在$△ BOM$和$△ AON$中,$\begin{cases}BM=AN,\\∠ B=∠ CAO,\\OB=OA,\end{cases}$
$\therefore △ BOM≌△ AON(\mathrm{SAS})$,
$\therefore OM=ON$,$∠ AON=∠ BOM$,
$\because ∠ AOB=∠ BOM+∠ AOM=90°$,
$\therefore ∠ AON+∠ AOM=90°$,即$∠ MON=90°$,
$\therefore △ OMN$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $OA=OB=OC$
(2) $△ OMN$是等腰直角三角形，证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形，实现边和角的等量转化，熟练掌握特殊三角形的性质和全等判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7