24.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象。
(1)求出图中m，a的值；
(2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数表达式，并写出相应的x的取值范围；
(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km？

精题详解

24.(1)$a=40$,$m=1$.
(2)$y=\begin{cases}40x(0≤ x≤ 1),\\40(1＜x≤ 1.5),\\40x-20(1.5＜x≤ 7).\end{cases}$
(3)乙车行驶$\dfrac{1}{4}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}$,两车恰好相距$50\ \mathrm{km}$.

【分析】
(1)求m和a：首先根据甲车休息0.5h对应图象的水平线段长度，可得休息时长为1.5-m，直接求出m；再通过甲车3.5h行驶的总路程减去休息时间，算出甲车行驶速度，进而求出1h行驶的路程a。
(2)求甲的分段函数：根据甲车的行驶状态分3段讨论：0~1h正常行驶，为正比例函数；1~1.5h休息，路程不变；1.5h后恢复行驶，为一次函数，用待定系数法代入两点求解，结合总路程确定x的取值范围。
(3)求两车相距50km时乙的行驶时间：先求出乙车的路程函数，再根据两车路程差的绝对值为50列方程求解，最后将总时间换算为乙的行驶时间，验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 甲车途中休息0.5h，对应图象水平段时长为0.5h，因此$1.5-m=0.5$，解得$m=1$。
3.5h时甲车行驶路程为120km，实际行驶时间为$3.5-0.5=3\ \mathrm{h}$，甲车速度为$120÷3=40\ \mathrm{km/h}$，则$a=40×1=40$。
(2) 分三段讨论：
①当$0≤ x≤1$时，甲车匀速行驶，$y=40x$；
②当$1＜x≤1.5$时，甲车休息，路程不变，$y=40$；
③当$1.5＜x≤7$时，设解析式为$y=kx+b$，代入$(1.5,40)$和$(3.5,120)$：
$\begin{cases}1.5k+b=40\\3.5k+b=120\end{cases}$
解得$k=40$，$b=-20$，即$y=40x-20$。
当$y=260$时，$40x-20=260$，解得$x=7$，故$x$范围为$1.5＜x≤7$。
综上得到甲车的分段函数。
(3) 乙车速度为$120÷(3.5-2)=80\ \mathrm{km/h}$，乙车路程解析式为$y=80(x-2)$（$2≤ x≤5.25$）。
设乙车行驶$t\ \mathrm{h}$时两车相距50km，此时$x=t+2$，根据路程差为50列方程：
$\left|(40x-20)-80(x-2)\right|=50$，化简得$\left|140-40x\right|=50$。
分两种情况：
①$140-40x=50$，解得$x=2.25$，$t=2.25-2=\frac{1}{4}\ \mathrm{h}$；
②$40x-140=50$，解得$x=4.75$，$t=4.75-2=\frac{11}{4}\ \mathrm{h}$。
两个解均在两车行驶时间范围内，符合要求。
【答案】
(1)$a=40$,$m=1$；
(2)$y=\begin{cases}40x(0≤ x≤ 1),\\40(1＜x≤ 1.5),\\40x-20(1.5＜x≤ 7).\end{cases}$
(3)乙车行驶$\dfrac{1}{4}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{11}{4}\ \mathrm{h}$时，两车恰好相距$50\ \mathrm{km}$。
【知识点】
分段函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是读懂函数图象的实际意义，分段确定函数解析式，求解距离问题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65

25.如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于点O.训练时要求A,B两船始终关于点O对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴,y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A,B两船可近似看成在双曲线$y=\frac{4}{x}$上运动.湖面风平浪静,双帆远影优美.训练中,当教练船与A,B两船恰好在直线$y=x$上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A,B,C三船可分别用A,B,C三点表示).
(1)发现C船时,三船所在位置的坐标分别为A(,),B(,)和C(,).
(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从A,B,O三点出发沿最短路线同时前往救援,设A,B两船的速度相等,教练船与A,B船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.

25.(1)2 2 -2 -2 $2\sqrt{3}$ $-2\sqrt{3}$
(2)教练船不能最先赶到,理由如下:
如图,作$AD⊥ x$轴于点$D$,连接$AC$,$BC$和$OC$.

$\because A$的坐标为$(2,2)$,$\therefore ∠ AOD=45°$,$AO=2\sqrt{2}$.
$\because$点$C$在点$O$的东南$45°$方向上,
$\therefore ∠ AOC=45°+45°=90°$.$\because AO=BO$,$\therefore AC=BC$.
又$∠ BAC=60°$,$\therefore △ ABC$为正三角形.
$\therefore AC=BC=AB=2AO=4\sqrt{2}$.
$\therefore OC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.
由条件,设教练船的速度为$3m$,$A,B$两船的速度均为$4m$,则教练船所用的时间为$\dfrac{2\sqrt{6}}{3m}$,$A,B$两船所用的时间均为$\dfrac{4\sqrt{2}}{4m}=\dfrac{\sqrt{2}}{m}$.$\because \dfrac{2\sqrt{6}}{3m}=\dfrac{\sqrt{24}}{3m}$,$\dfrac{\sqrt{2}}{m}=\dfrac{\sqrt{18}}{3m}$,
$\therefore \dfrac{2\sqrt{6}}{3m}＞\dfrac{\sqrt{2}}{m}$.$\therefore$教练船不能最先赶到.

【分析】
首先解决第一问：①求A、B坐标：A是直线y=x和双曲线y=4/x的交点，联立两个解析式即可求出A的坐标，再根据A、B关于原点中心对称，即可得到B的坐标；②求C坐标：先根据“C在O的东南45°方向”确定C在第四象限的直线y=-x上，再结合∠BAC=60°、AO=BO的条件，可判定△ABC是等边三角形，再利用勾股定理列方程即可求出C的坐标。
然后解决第二问：先分别求出O、A、B三点到C点的距离，再根据教练船和A、B船的速度比，分别计算三者到达C点的时间，比较时间大小即可判断教练船是否最先赶到。
【解析】
(1) 求A、B、C的坐标：
① 联立直线$y=x$与双曲线$y=\frac{4}{x}$，得$x=\frac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$。
因为A在第一象限，所以A点横坐标为2，代入$y=x$得$y=2$，即$A(2,2)$。
因为A、B关于原点O对称，所以B点坐标为$(-2,-2)$。
② 由“C在O的东南45°方向”可知，C在第四象限，且横纵坐标绝对值相等，即C在直线$y=-x$上，可设$C(x,-x)$（$x＞0$）。
因为A在直线$y=x$上，所以$∠AOx=45°$，结合C在东南方向$∠COx=45°$，可得$∠AOC=45°+45°=90°$，即OC垂直AB。
又因为$AO=BO$，所以$AC=BC$，结合$∠BAC=60°$，可得△ABC是等边三角形，即$AC=AB$。
先算AO的长度：$AO=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，所以$AB=2AO=4\sqrt{2}$，即$AC=4\sqrt{2}$。
由勾股定理，$AC=\sqrt{(x-2)^2+(-x-2)^2}=4\sqrt{2}$，两边平方化简得$x=2\sqrt{3}$，所以C点坐标为$(2\sqrt{3},-2\sqrt{3})$。
(2) 判断教练船是否最先赶到：
作$AD⊥ x$轴于点$D$,连接$AC$,$BC$和$OC$。

先计算各点到C的距离：
$OC=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$，$AC=BC=4\sqrt{2}$。
设教练船的速度为$3m$，A、B两船的速度均为$4m$（$m＞0$），
则教练船到达C的时间：$t_O=\frac{2\sqrt{6}}{3m}$，
A、B船到达C的时间：$t_A=t_B=\frac{4\sqrt{2}}{4m}=\frac{\sqrt{2}}{m}$。
将两个时间通分比较：$\frac{2\sqrt{6}}{3m}=\frac{\sqrt{24}}{3m}$，$\frac{\sqrt{2}}{m}=\frac{\sqrt{18}}{3m}$，因为$\sqrt{24}＞\sqrt{18}$，所以$\frac{2\sqrt{6}}{3m}＞\frac{\sqrt{2}}{m}$，即教练船用时更长。
【答案】
(1) 2，2；-2，-2；$2\sqrt{3}$，$-2\sqrt{3}$
(2) 教练船不能最先赶到，理由如下：
如图，作$AD⊥ x$轴于点$D$,连接$AC$,$BC$和$OC$。

$\because A$的坐标为$(2,2)$,$\therefore ∠ AOD=45°$,$AO=2\sqrt{2}$。
$\because$点$C$在点$O$的东南$45°$方向上,
$\therefore ∠ AOC=45°+45°=90°$.$\because AO=BO$,$\therefore AC=BC$.
又$∠ BAC=60°$,$\therefore △ ABC$为正三角形.
$\therefore AC=BC=AB=2AO=4\sqrt{2}$.
$\therefore OC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.
由条件,设教练船的速度为$3m$,$A,B$两船的速度均为$4m$,则教练船所用的时间为$\dfrac{2\sqrt{6}}{3m}$,$A,B$两船所用的时间均为$\dfrac{4\sqrt{2}}{4m}=\dfrac{\sqrt{2}}{m}$.$\because \dfrac{2\sqrt{6}}{3m}=\dfrac{\sqrt{24}}{3m}$,$\dfrac{\sqrt{2}}{m}=\dfrac{\sqrt{18}}{3m}$,
$\therefore \dfrac{2\sqrt{6}}{3m}＞\dfrac{\sqrt{2}}{m}$.$\therefore$教练船不能最先赶到.
【知识点】
反比例函数性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题将函数、几何与实际行程问题相结合，需要先通过函数交点关系求定点坐标，再结合方位角、特殊三角形的性质推导未知点坐标，最后通过行程公式计算比较时间，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6