1. 【数学文化】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为$x$，则可列方程为（）

A.$1-x^{2}=\dfrac{1}{2}$
B.$(1+x)^{2}=\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}(1+x)^{2}=1$
D.$(1-x)^{2}=\dfrac{1}{2}$

1. D

【分析】
要解决这道题，需先明确“每天遗忘百分比为$x$”的含义：每天结束后，保留的知识量是前一天的$(1-x)$；再结合“两天不练丢一半”的条件，即两天后剩余的知识量为初始量的$\frac{1}{2}$，据此列出方程即可。
【解析】
设初始知识量为单位$1$，每天遗忘的百分比为$x$：
1. 第一天结束后，剩余知识量为$1×(1-x)=(1-x)$；
2. 第二天结束后，剩余知识量为$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
3. 根据“两天不练丢一半”，可知两天后剩余知识量为初始量的$\frac{1}{2}$，因此列方程为$(1-x)^2=\frac{1}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（衰减率问题）
【点评】
本题结合俗语考查一元二次方程的实际应用，核心是理解“遗忘百分比”对应的剩余量计算逻辑，属于基础应用题，需准确把握衰减率的计算方法。
【难度系数】
0.7

2. 用长 100 cm 的铁丝制成一个矩形框,框的面积是 $600\ \mathrm{cm}^{2}$,此时框的长和宽分别为 （）

A.30 cm,20 cm
B.35 cm,15 cm
C.25 cm,25 cm
D.28 cm,22 cm

2. A 解析:设框的长为x cm,则宽为$\dfrac{100-2x}{2}=(50-x)$cm.根据题意,得$x(50-x)=600$,解得$x_1=30$,$x_2=20$.
$\because x＞50-x$,即$x＞25$,$\therefore$框的长为30 cm,则宽为20 cm.

【分析】首先，根据铁丝长度（即矩形周长）为100cm，可得出矩形长与宽的和为50cm。设长为$x\ \mathrm{cm}$，则宽为$(50 - x)\ \mathrm{cm}$，再结合面积为$600\ \mathrm{cm}^2$，利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后根据“长＞宽”的条件筛选出正确的长和宽。
【解析】设矩形框的长为$x\ \mathrm{cm}$，因为矩形周长为100cm，所以宽为$\frac{100 - 2x}{2}=(50 - x)\ \mathrm{cm}$。根据矩形面积公式，结合题意得方程：
$x(50 - x)=600$
整理为标准一元二次方程：$x^2 - 50x + 600=0$
因式分解得：$(x - 30)(x - 20)=0$
解得：$x_1=30$，$x_2=20$
因为矩形的长大于宽，所以$x ＞ 50 - x$，即$x ＞ 25$，因此$x=30$，宽为$50 - 30=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用、矩形的周长与面积
【点评】本题是一元二次方程在几何图形中的基础应用题，核心是利用周长关系表示边长，再通过面积建立方程，解题时需注意“长＞宽”的隐含条件，避免解的取舍错误，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6

3.【新情境】中秋节当天,某微信群的每个人都发了一个红包,且每个人都抢到了别人发的红包但没有抢自己发的红包.若此次抢红包活动中,群内所有人一共收到90个红包,则该群一共有
（）

A.9人
B.10人
C.11人
D.12人

3. B 解析:设该群共有x人.根据题意,得$x(x-1)=90$,解得$x_1=-9$(舍去),$x_2=10$,即这个群共有10人.

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确互发红包的数量关系：设群内人数为$x$，每个人不能抢自己发的红包，因此每个人发的红包数为$(x-1)$个，总红包数等于人数乘以每人发的红包数，据此列一元二次方程求解，再舍去不符合实际意义的负数解即可。
【解析】
设该群共有$x$人。
根据题意，每个人发的红包数为$(x-1)$个，总红包数为90个，可列方程：
$x(x-1)=90$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x - 10)(x + 9) = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = -9$
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2 = -9$，即该群一共有10人。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用，核心是理清互发红包的数量关系，需注意舍去不符合实际意义的负数解，属于常规题型。
【难度系数】
0.7

4. 淇淇在计算正数$a$的平方时，误算成$a$与2的积，求得的答案比正确答案小1，则$a=$（）

A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$

4. C 解析:根据题意,得$a^2-2a=1$,解得$a=1\pm\sqrt{2}$,$\because a＞0$,$\therefore a=\sqrt{2}+1$.

【分析】首先根据题目中的数量关系建立方程：正确计算是正数$a$的平方，即$a^2$，误算为$a$与2的积，即$2a$，误算结果比正确答案小1，因此正确答案减去误算结果等于1，据此列出一元二次方程，再解方程并结合$a$是正数的条件筛选出正确解。
【解析】根据题意，可列方程：
$a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程标准形式：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用求根公式求解，对于方程$ax^2+bx+c=0$，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2 - 4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因为$a$是正数，$1-\sqrt{2}\approx-0.414＜0$，不符合条件，舍去，因此$a=\sqrt{2}+1$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】本题属于一元二次方程的基础应用，核心是根据题意准确列方程，再结合正数的隐含条件舍去不符合的根，解题时需注意方程整理和根的取舍，难度适中。
【难度系数】0.6

5. 某品牌新能源汽车3月份销售量为8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车5月份销售量为13.52万辆，则从3月份到5月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为.

5. 30% 解析:设从3月份到5月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为x.根据题意,得$8(1+x)^2=13.52$,解得$x_1=0.3=30\%$,$x_2=-2.3$(不符合题意,舍去),$\therefore$从3月份到5月份销售量的平均月增长率为30%.

【分析】
这是一道平均增长率的一元二次方程应用题，解题思路为：首先设平均月增长率为未知数$ x $，再根据“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)²”的公式，结合3月销售量和5月销售量的已知条件列出方程；接着解方程，最后根据增长率为正的实际意义舍去不符合题意的负解，得到正确答案。
【解析】
设从3月份到5月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为$ x $。根据题意，得：
$ 8(1+x)^2 = 13.52 $
两边同时除以8，得：$ (1+x)^2 = 1.69 $
开平方，得：$ 1+x = \pm1.3 $
解得：$ x_1 = 0.3 = 30\% $，$ x_2 = -2.3 $
因为增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -2.3 $。
因此，从3月份到5月份该品牌新能源汽车销售量的平均月增长率为30%。
【答案】
30%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，利用一元二次方程解决实际问题，核心是正确建立等量关系，需注意舍去不符合实际意义的负解，属于初中数学的基础应用题型。
【难度系数】
0.6

6. 某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,若主干、枝干和小分支的总数是73,则每个枝干长出的小分支数是个.

6. 8 解析:设每个枝干长出x个小分支,则$1+x+x^2=73$,解得$x_1=8$,$x_2=-9$(舍去),$\therefore$每个枝干长出8个小分支.

【分析】首先梳理题目中的数量关系：主干固定为1个，设每个枝干长出x个小分支，则枝干的数量为x个，小分支的数量是每个枝干的小分支数乘以枝干数，即x·x = x²个。根据“主干、枝干和小分支的总数是73”这一等量关系，列出关于x的一元二次方程，再求解并舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果。
【解析】设每个枝干长出x个小分支。
根据题意，主干数量为1，枝干数量为x，小分支数量为x²，总数为73，因此列方程：
1 + x + x² = 73
整理得：x² + x - 72 = 0
因式分解得：(x + 9)(x - 8) = 0
解得：x₁ = 8，x₂ = -9
因为小分支的数量不能为负数，所以舍去x₂ = -9，因此每个枝干长出的小分支数是8个。
【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，属于基础题型，核心是理清主干、枝干、小分支三者的数量关系，列方程后需根据实际意义舍去不合理的解，难度适中。
【难度系数】0.6

7. 根据物理学规律,如果把一物体从地面以 7 m/s 的速度竖直上抛,那么经过 x s 后,物体离地面的高度(单位:m)约为 $7x-4.9x^{2}$. 根据上述规律,则物体经过s 落回地面.

7. $\dfrac{10}{7}$ 解析:当物体落回地面时高度为0,即$7x-4.9x^2=0$,解得$x_1=0$(舍去),$x_2=\dfrac{10}{7}$,即物体经过$\dfrac{10}{7}$ s回落地面.

【分析】
要确定物体落回地面的时间，需明确：物体落回地面时离地面的高度为0。因此令高度表达式等于0，得到关于时间$x$的一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的解（$x=0$是物体刚抛出的时刻，不是落回地面的时间），剩余的解即为所求时间。
【解析】
当物体落回地面时，离地面高度为0，据此列方程：
$7x - 4.9x^2 = 0$
提取公因式得：$x(7 - 4.9x) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{7}{4.9} = \frac{10}{7}$
其中$x=0$表示物体刚抛出的初始时刻，不符合题意，舍去。
因此物体经过$\frac{10}{7}$ s落回地面。
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的实际意义
【点评】
本题结合物理竖直上抛运动的实际场景，考查一元二次方程的求解及实际应用，核心是理解“落回地面时高度为0”的隐含条件，需舍去无实际意义的解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

8. 如图,某市世纪广场有一块长为 18 m、宽为 15 m 的长方形绿地,在绿地中开辟三条道路后,剩余绿地的面积为$224\ \mathrm{m}^2$,则图中$x$的值为.

8. 1 解析:根据题意,得$(18-2x)(15-x)=224$,整理,得$x^2-24x+23=0$,解得$x_1=1$,$x_2=23$(不符合题意,舍去),即图中x的值为1.

【分析】
本题可利用平移的思想，将分散的剩余绿地拼接成规则的长方形，简化面积计算。观察图形可知，横向有2条宽度为$x$的道路，纵向有1条宽度为$x$的道路，因此拼接后长方形的长为原长$18\mathrm{m}$减去$2$个$x$，宽为原宽$15\mathrm{m}$减去$1$个$x$；结合剩余绿地面积为$224\mathrm{m}^2$，列出关于$x$的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
根据题意，将剩余绿地拼接为长方形，其长为$(18 - 2x)\mathrm{m}$，宽为$(15 - x)\mathrm{m}$，据此列方程：
$(18 - 2x)(15 - x) = 224$
展开并整理方程：
$270 - 18x - 30x + 2x^2 = 224 \\2x^2 - 48x + 46 = 0 \x^2 - 24x + 23 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 23) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 23$。
由于$x = 23$时，$15 - x = -8 ＜ 0$，不符合实际意义，舍去，因此$x = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用、图形面积计算
【点评】
本题通过平移将不规则图形转化为规则长方形，简化了面积计算，是一元二次方程在实际场景中的典型应用，解题时需注意结合实际意义舍去不合理的解。
【难度系数】
0.5

9. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ BAC=30°, BC=5\ \mathrm{cm}$, 点 $E$ 从点 $A$ 出发, 沿射线 $AB$ 运动, 速度为$2\ \mathrm{cm/s}$, 点 $F$ 从点 $C$ 出发, 沿线段 $CA$ 运动, 速度为 $1\ \mathrm{cm/s}$, 连接 $EF$. $E$、$F$ 两点同时出发, 当点 $F$ 到达点 $A$ 时, 点 $E$ 也停止运动. 经过 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{s}$ 后, $△ AEF$ 的面积恰为 $12\ \mathrm{cm}^2$.

9. 4或6 解析:如图,过点E作$EH⊥ AC$于点H,设运动时间为t s$(t＜10)$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=30°$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$.根据题意,得$AE=2t\ \mathrm{cm}$,$CF=t\ \mathrm{cm}$,$\therefore AF=(10-t)\mathrm{cm}$,$EH=\dfrac{1}{2}AE=t\ \mathrm{cm}$.
$\because △ AEF$的面积恰为$12\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore \dfrac{1}{2}t(10-t)=12$,解得$t_1=4$,$t_2=6$,$\therefore$经过4或6 s后,$△ AEF$的面积恰为$12\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
要解决这个动点问题，首先利用直角三角形中30°角的性质求出AC的长度；接着设运动时间为t秒，用t表示出AE、CF、AF的长度，通过作辅助线EH⊥AC，结合30°角直角三角形的性质得到E到AC的高EH；最后根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程并检验解是否符合动点的运动范围，即可得到答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ BAC=30°$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore AC=2BC=10\ \mathrm{cm}$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得：
$AE=2t\ \mathrm{cm}$，$CF=t\ \mathrm{cm}$，$\therefore AF=AC - CF=(10 - t)\ \mathrm{cm}$。
过点$E$作$EH⊥ AC$于点$H$，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$∠ A=30°$，$\therefore EH=\frac{1}{2}AE=t\ \mathrm{cm}$。
$\because △ AEF$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×AF×EH=12$，代入得：$\frac{1}{2}(10 - t)×t=12$，
整理得：$t^2 -10t +24=0$，
因式分解得：$(t -4)(t -6)=0$，
解得：$t_1=4$，$t_2=6$。
又$\because$点$F$到达点$A$时停止运动，$CF≤AC=10$，即$t≤10$，$t=4$和$t=6$均符合条件。
【答案】
4或6
【知识点】
直角三角形性质、三角形面积、一元二次方程应用
【点评】
本题是结合直角三角形性质的动点面积问题，需掌握30°角直角三角形的边的关系，关键是用参数表示出三角形的底和高，列方程求解后要检验解的合理性，属于中等难度的动点问题。
【难度系数】
0.5