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三、解答题(共46分)
10. (15分)美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,某市近几年来,通过拆迁旧房植草、栽树、修公园等措施,使城区绿地面积不断增加.该市某城区2024年底绿化面积约为10万亩,计划到2026年底绿化面积达到14.4万亩.若绿化面积每年的年平均增长率相同,求该城区绿化面积的年平均增长率.
10. (15分)美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,某市近几年来,通过拆迁旧房植草、栽树、修公园等措施,使城区绿地面积不断增加.该市某城区2024年底绿化面积约为10万亩,计划到2026年底绿化面积达到14.4万亩.若绿化面积每年的年平均增长率相同,求该城区绿化面积的年平均增长率.
答案
10. 设该城区绿化面积的年平均增长率为x. $\because$该市某城区2024年底时绿化面积约为10万亩,计划到2026年底时绿化面积达到14.4万亩,$\therefore 10(1+x)^2=14.4$,解得$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).答:该城区绿化面积的年平均增长率为20%.
解析
【分析】
本题是增长率类一元二次方程应用题，解题思路：1. 设年平均增长率为未知数$ x $；2. 明确时间跨度：从2024年底到2026年底经过2年，利用增长率公式“增长后量=增长前量×(1+增长率)^年数”，表示出2026年底的绿化面积；3. 根据已知的2026年底绿化面积列方程；4. 解方程后，结合实际意义舍去负解，得到合理的增长率。
【解析】
解：设该城区绿化面积的年平均增长率为$ x $。
根据题意，2024年底绿化面积为10万亩，经过2年增长到14.4万亩，可列方程：
$ 10(1+x)^2 = 14.4 $
方程两边同除以10得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = ±1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $
因为绿化面积的年平均增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -2.2 $。
答：该城区绿化面积的年平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率应用题，核心是掌握增长率问题的数量关系，解方程后需根据实际意义舍去不合理解，考查学生对一元二次方程应用的掌握情况，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是增长率类一元二次方程应用题，解题思路：1. 设年平均增长率为未知数$ x $；2. 明确时间跨度：从2024年底到2026年底经过2年，利用增长率公式“增长后量=增长前量×(1+增长率)^年数”，表示出2026年底的绿化面积；3. 根据已知的2026年底绿化面积列方程；4. 解方程后，结合实际意义舍去负解，得到合理的增长率。
【解析】
解：设该城区绿化面积的年平均增长率为$ x $。
根据题意，2024年底绿化面积为10万亩，经过2年增长到14.4万亩，可列方程：
$ 10(1+x)^2 = 14.4 $
方程两边同除以10得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = ±1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $
因为绿化面积的年平均增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -2.2 $。
答：该城区绿化面积的年平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率应用题，核心是掌握增长率问题的数量关系，解方程后需根据实际意义舍去不合理解，考查学生对一元二次方程应用的掌握情况，难度适中。
【难度系数】
0.6
11. (15 分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售 20 件,每件盈利 40 元. 为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价 5 元,商场平均每天可多售出 10 件.
(1)若商场每件衬衫降价 4 元,则商场每天可盈利多少元?
(2)若商场平均每天要盈利 1 200 元,则每件衬衫应降价多少元?
(1)若商场每件衬衫降价 4 元,则商场每天可盈利多少元?
(2)若商场平均每天要盈利 1 200 元,则每件衬衫应降价多少元?
答案
11. (1)$(\dfrac{4}{5}×10+20)×(40-4)=1\ 008$(元).
答:商场每天可盈利1 008元.
(2)设每件衬衫应降价x元.根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1\ 200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$. $\because$要扩大销售量,减少库存,$\therefore x=20$.答:每件衬衫应降价20元.
答:商场每天可盈利1 008元.
(2)设每件衬衫应降价x元.根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1\ 200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$. $\because$要扩大销售量,减少库存,$\therefore x=20$.答:每件衬衫应降价20元.
解析
【分析】
本题是销售利润类问题，需分两小问分析：第(1)问要计算降价4元后的日盈利，需先确定降价后每天的总销量和每件的盈利，利用“总盈利=每件盈利×总销量”计算；第(2)问要盈利1200元，需设降价金额为未知数，先表示出降价后的每件盈利和总销量，再根据总盈利列一元二次方程，最后结合“扩大销售、减少库存”的实际条件取舍解。
【解析】
(1) 每件降价4元时，多售出的件数为：$\frac{4}{5}×10 = 8$（件），
每天总销量为：$20 + 8 = 28$（件），
每件盈利为：$40 - 4 = 36$（元），
因此商场每天盈利：$28×36 = 1008$（元）。
(2) 设每件衬衫应降价$x$元，则每件盈利为$(40 - x)$元，
每天多售出的件数为：$\frac{x}{5}×10 = 2x$（件），
总销量为：$(20 + 2x)$件。
根据总盈利=每件盈利×总销量，列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$，
整理得：$x² - 30x + 200 = 0$，
因式分解得：$(x - 10)(x - 20) = 0$，
解得$x₁ = 10$，$x₂ = 20$。
因为要扩大销售量、减少库存，所以选择降价更多的$x = 20$。
【答案】
(1) 商场每天可盈利1008元；(2) 每件衬衫应降价20元。
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际销售问题中的应用，关键是准确表示降价后的销量与盈利，求解后需结合题目“减少库存”的隐含条件对解进行取舍，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.6
本题是销售利润类问题，需分两小问分析：第(1)问要计算降价4元后的日盈利，需先确定降价后每天的总销量和每件的盈利，利用“总盈利=每件盈利×总销量”计算；第(2)问要盈利1200元，需设降价金额为未知数，先表示出降价后的每件盈利和总销量，再根据总盈利列一元二次方程，最后结合“扩大销售、减少库存”的实际条件取舍解。
【解析】
(1) 每件降价4元时，多售出的件数为：$\frac{4}{5}×10 = 8$（件），
每天总销量为：$20 + 8 = 28$（件），
每件盈利为：$40 - 4 = 36$（元），
因此商场每天盈利：$28×36 = 1008$（元）。
(2) 设每件衬衫应降价$x$元，则每件盈利为$(40 - x)$元，
每天多售出的件数为：$\frac{x}{5}×10 = 2x$（件），
总销量为：$(20 + 2x)$件。
根据总盈利=每件盈利×总销量，列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$，
整理得：$x² - 30x + 200 = 0$，
因式分解得：$(x - 10)(x - 20) = 0$，
解得$x₁ = 10$，$x₂ = 20$。
因为要扩大销售量、减少库存，所以选择降价更多的$x = 20$。
【答案】
(1) 商场每天可盈利1008元；(2) 每件衬衫应降价20元。
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际销售问题中的应用，关键是准确表示降价后的销量与盈利，求解后需结合题目“减少库存”的隐含条件对解进行取舍，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.6
12. (16 分)实验基地有一长为 10 m 的墙 MN,研究小组想利用墙 MN 和长 37 m 的篱笆,在前面的空地围出一个矩形种植园,且在墙对面的篱笆上开一个宽为 1 m 的门.
(1)小徐按照图1的方案围成矩形种植园(AD 为墙 MN 的一部分),当矩形种植园的面积为 $120\ \mathrm{m^2}$ 时,求出矩形种植园一边 AB 的长.
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园(墙 MN 为边 AD 的一部分),能否围成面积为$180\ \mathrm{m^2}$的矩形种植园? 若能,求出矩形种植园的一组邻边长;若不能,请说明理由.
(1)小徐按照图1的方案围成矩形种植园(AD 为墙 MN 的一部分),当矩形种植园的面积为 $120\ \mathrm{m^2}$ 时,求出矩形种植园一边 AB 的长.
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园(墙 MN 为边 AD 的一部分),能否围成面积为$180\ \mathrm{m^2}$的矩形种植园? 若能,求出矩形种植园的一组邻边长;若不能,请说明理由.
答案
12. (1)设AB的长为x m,则$x(37+1-2x)=120$,解得$x_1=4$,$x_2=15$. $\because 0≤38-2x≤10$,$\therefore 14≤ x≤19$,$\therefore x=15$.答:矩形种植园一边AB的长为15 m.
(2)设AB的长为t m,则$t(\dfrac{37+10+1-2t}{2})=180$,化简,得$-t^2+24t-180=0$. $\because b^2-4ac=24^2-4×180=-144＜0$,此方程无实数根,$\therefore$不能围成面积为$180\ \mathrm{m}^2$的矩形种植园.
(2)设AB的长为t m,则$t(\dfrac{37+10+1-2t}{2})=180$,化简,得$-t^2+24t-180=0$. $\because b^2-4ac=24^2-4×180=-144＜0$,此方程无实数根,$\therefore$不能围成面积为$180\ \mathrm{m}^2$的矩形种植园.
解析
【分析】
第(1)问：设AB的长为x m，篱笆总长37m加门宽1m，对应矩形两个AB边和一个平行于墙的边，因此平行于墙的边长为(37+1-2x) m。结合墙MN长10m，平行于墙的边长需满足0≤该边长≤10，由此确定x的取值范围，再根据矩形面积公式列方程求解，最后筛选出符合取值范围的解。
第(2)问：设AB的长为t m，分析此时矩形平行于墙的边长的表达式，根据面积公式列一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实数根，进而确定能否围成符合条件的矩形。
【解析】
(1)设AB的长为x m，则平行于墙的边长为(37+1-2x) m，根据矩形面积公式得：
x(37+1-2x)=120，
整理得：x² -19x +60=0，
解得：x₁=4，x₂=15。
∵墙MN长10m，
∴0≤38-2x≤10，
解不等式得：14≤x≤19，
∴x=15（x=4不符合范围，舍去）。
答：矩形种植园一边AB的长为15 m。
(2)设AB的长为t m，则平行于墙的边长为$\dfrac{37+10+1-2t}{2}$ m，根据矩形面积公式得：
$t·\dfrac{37+10+1-2t}{2}=180$，
化简得：$-t^2 +24t -180=0$，
计算判别式$\Delta=24^2 -4×1×180=-144＜0$，
∴此方程无实数根，
∴不能围成面积为180 $\mathrm{m^2}$的矩形种植园。
【答案】(1)15 m；(2)不能
【知识点】一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题核心是结合墙的长度限制确定边长的合理范围，避免出现不符合实际的解；第(2)问通过判别式判断方程根的情况，考查了方程与实际问题结合的分析能力，需注意审题时明确边长的约束条件。
【难度系数】0.5
第(1)问：设AB的长为x m，篱笆总长37m加门宽1m，对应矩形两个AB边和一个平行于墙的边，因此平行于墙的边长为(37+1-2x) m。结合墙MN长10m，平行于墙的边长需满足0≤该边长≤10，由此确定x的取值范围，再根据矩形面积公式列方程求解，最后筛选出符合取值范围的解。
第(2)问：设AB的长为t m，分析此时矩形平行于墙的边长的表达式，根据面积公式列一元二次方程，通过计算判别式判断方程是否有实数根，进而确定能否围成符合条件的矩形。
【解析】
(1)设AB的长为x m，则平行于墙的边长为(37+1-2x) m，根据矩形面积公式得：
x(37+1-2x)=120，
整理得：x² -19x +60=0，
解得：x₁=4，x₂=15。
∵墙MN长10m，
∴0≤38-2x≤10，
解不等式得：14≤x≤19，
∴x=15（x=4不符合范围，舍去）。
答：矩形种植园一边AB的长为15 m。
(2)设AB的长为t m，则平行于墙的边长为$\dfrac{37+10+1-2t}{2}$ m，根据矩形面积公式得：
$t·\dfrac{37+10+1-2t}{2}=180$，
化简得：$-t^2 +24t -180=0$，
计算判别式$\Delta=24^2 -4×1×180=-144＜0$，
∴此方程无实数根，
∴不能围成面积为180 $\mathrm{m^2}$的矩形种植园。
【答案】(1)15 m；(2)不能
【知识点】一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题核心是结合墙的长度限制确定边长的合理范围，避免出现不符合实际的解；第(2)问通过判别式判断方程根的情况，考查了方程与实际问题结合的分析能力，需注意审题时明确边长的约束条件。
【难度系数】0.5
