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综合与实践
1. 综合与实践：
2. 综合与实践：
1. 综合与实践：
2. 综合与实践：
答案
1. 任务1:设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x.根据题意,得 3(1+x)²=5.07,解得 x₁=0.3=30%,x₂=-2.3(不符合题意,舍去).答:从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 30%.
任务2:设下调后每辆汽车的售价为 y 万元,则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元,平均每周可售出 8+$\frac{25-y}{0.5}$×1=(58-2y)辆.根据题意,得(y-15)(58-2y)=96,整理,得y²-44y+483=0,解得 y₁=21,y₂=23. 又
∵要尽量让利于顾客,
∴y=21.答:下调后每辆汽车的售价为 21 万元.
2. 任务1:(40-2x)² 令(40-2x)²=900,解得 x₁=5,x₂=35(不符合题意,舍去),
∴底面积能达到 900 cm².
任务2:根据题意,得 AB=$\frac{1}{2}[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20$(cm).
任务3:
∵两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,故底面积大的方案的纸盒的体积就大.由任务1可知,方案1的底面积为(40-2x)² cm²;由任务2可知,方案2的底面积为 20(40-2x)cm².根据题意,得$\begin{cases} x＞0, \\ 40-2x＞0, \end{cases}$解得 0＜x＜20. 当(40-2x)²＞20(40-2x)时,解得 0＜x＜10;当(40-2x)²=20(40-2x)时,解得 x=10;当(40-2x)²＜20(40-2x)时,解得 10＜x＜20. 故当 0＜x＜10 时,方案 1 的纸盒体积大;当 x=10 时,方案 1 与方案 2 的纸盒体积一样大;当 10＜x＜20 时,方案 2 的纸盒体积大.
任务4:方案 2 中纸盒的体积为 20(40-2x)x=-40x²+800x=-40(x-10)²+4 000. 当 x=10 时,纸盒体积有最大值,为 4 000 cm³.
任务2:设下调后每辆汽车的售价为 y 万元,则每辆汽车的销售利润为(y-15)万元,平均每周可售出 8+$\frac{25-y}{0.5}$×1=(58-2y)辆.根据题意,得(y-15)(58-2y)=96,整理,得y²-44y+483=0,解得 y₁=21,y₂=23. 又
∵要尽量让利于顾客,
∴y=21.答:下调后每辆汽车的售价为 21 万元.
2. 任务1:(40-2x)² 令(40-2x)²=900,解得 x₁=5,x₂=35(不符合题意,舍去),
∴底面积能达到 900 cm².
任务2:根据题意,得 AB=$\frac{1}{2}[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20$(cm).
任务3:
∵两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,故底面积大的方案的纸盒的体积就大.由任务1可知,方案1的底面积为(40-2x)² cm²;由任务2可知,方案2的底面积为 20(40-2x)cm².根据题意,得$\begin{cases} x＞0, \\ 40-2x＞0, \end{cases}$解得 0＜x＜20. 当(40-2x)²＞20(40-2x)时,解得 0＜x＜10;当(40-2x)²=20(40-2x)时,解得 x=10;当(40-2x)²＜20(40-2x)时,解得 10＜x＜20. 故当 0＜x＜10 时,方案 1 的纸盒体积大;当 x=10 时,方案 1 与方案 2 的纸盒体积一样大;当 10＜x＜20 时,方案 2 的纸盒体积大.
任务4:方案 2 中纸盒的体积为 20(40-2x)x=-40x²+800x=-40(x-10)²+4 000. 当 x=10 时,纸盒体积有最大值,为 4 000 cm³.
解析
【分析】
本题是结合实际生活的综合实践题，分为新能源汽车销售和纸盒制作两大模块。解题思路：1. 增长率问题：利用“初始量×(1+增长率)²=最终量”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解；2. 利润问题：明确“总利润=单辆利润×销售量”，先根据售价变化表示出销售量，再列方程，最后结合“让利顾客”的条件确定售价；3. 纸盒问题：先根据正方形边长关系表示底面积，求解底面积为定值时的边长；再通过边长关系计算线段长度；接着比较两个方案的底面积（体积与底面积成正比，高度相同），分情况讨论x的范围；最后将方案2的体积表示为二次函数，配方求最大值，注意所有解需满足实际意义（边长为正）。
【解析】
第一部分：新能源汽车销售问题
任务1（月平均增长率）
设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$ x $。
根据3月份销售量=1月份销售量×$(1+x)^2$，列方程：
$ 3(1+x)^2 = 5.07 $
解方程得：$ x_1 = 0.3 = 30\% $，$ x_2 = -2.3 $（销售量增长率不能为负，舍去）。
答：月平均增长率为30%。
任务2（下调后售价）
设下调后每辆汽车的售价为$ y $万元，则单辆利润为$ (y - 15) $万元；
售价从25万元下调，每下调0.5万元多售1辆，故销售量为$ 8 + \frac{25 - y}{0.5}×1 = 58 - 2y $辆。
根据总利润=单利×销量，列方程：
$ (y - 15)(58 - 2y) = 96 $
整理得：$ y^2 - 44y + 483 = 0 $，解得$ y_1 = 21 $，$ y_2 = 23 $。
因要尽量让利于顾客，故选择$ y = 21 $。
答：下调后每辆汽车售价为21万元。
第二部分：纸盒制作问题
任务1（底面积能否达900$ cm^2 $）
方案1的底面积为$ (40 - 2x)^2 \ cm^2 $，令其等于900，列方程：
$ (40 - 2x)^2 = 900 $
解方程得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 35 $（边长为负，舍去）。
答：底面积能达到900$ cm^2 $。
任务2（线段AB的长度）
根据题意，$ AB = \frac{1}{2}[80 - 2x - (40 - 2x)] = 20 \ cm $。
答：AB的长度为20 cm。
任务3（体积大小比较）
两个方案纸盒高度相等，体积与底面积成正比：方案1底面积为$ (40 - 2x)^2 \ cm^2 $，方案2底面积为$ 20(40 - 2x) \ cm^2 $。
由实际意义得$ 0 ＜ x ＜ 20 $，分情况讨论：
当$ 0 ＜ x ＜ 10 $时，方案1体积大；
当$ x = 10 $时，两者体积相等；
当$ 10 ＜ x ＜ 20 $时，方案2体积大。
任务4（方案2体积最大值）
方案2体积为$ V = 20(40 - 2x)x = -40x^2 + 800x $，配方得$ V = -40(x - 10)^2 + 4000 $，当$ x = 10 $时，体积最大值为4000$ cm^3 $。
答：方案2体积最大值为4000$ cm^3 $。
【答案】
1. 任务1：月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆汽车售价为21万元。
2. 任务1：底面积能达到900$ cm^2 $；任务2：AB=20 cm；任务3：0＜x＜10时方案1体积大，x=10时两者体积相等，10＜x＜20时方案2体积大；任务4：方案2体积最大值为4000$ cm^3 $。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用、代数式化简
【点评】
本题为综合实践类题目，结合增长率、销售利润、纸盒制作等实际场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，涉及方程求解、二次函数最值、分类讨论等知识点，需注意解的实际意义，对应用能力和逻辑思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是结合实际生活的综合实践题，分为新能源汽车销售和纸盒制作两大模块。解题思路：1. 增长率问题：利用“初始量×(1+增长率)²=最终量”列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解；2. 利润问题：明确“总利润=单辆利润×销售量”，先根据售价变化表示出销售量，再列方程，最后结合“让利顾客”的条件确定售价；3. 纸盒问题：先根据正方形边长关系表示底面积，求解底面积为定值时的边长；再通过边长关系计算线段长度；接着比较两个方案的底面积（体积与底面积成正比，高度相同），分情况讨论x的范围；最后将方案2的体积表示为二次函数，配方求最大值，注意所有解需满足实际意义（边长为正）。
【解析】
第一部分：新能源汽车销售问题
任务1（月平均增长率）
设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$ x $。
根据3月份销售量=1月份销售量×$(1+x)^2$，列方程：
$ 3(1+x)^2 = 5.07 $
解方程得：$ x_1 = 0.3 = 30\% $，$ x_2 = -2.3 $（销售量增长率不能为负，舍去）。
答：月平均增长率为30%。
任务2（下调后售价）
设下调后每辆汽车的售价为$ y $万元，则单辆利润为$ (y - 15) $万元；
售价从25万元下调，每下调0.5万元多售1辆，故销售量为$ 8 + \frac{25 - y}{0.5}×1 = 58 - 2y $辆。
根据总利润=单利×销量，列方程：
$ (y - 15)(58 - 2y) = 96 $
整理得：$ y^2 - 44y + 483 = 0 $，解得$ y_1 = 21 $，$ y_2 = 23 $。
因要尽量让利于顾客，故选择$ y = 21 $。
答：下调后每辆汽车售价为21万元。
第二部分：纸盒制作问题
任务1（底面积能否达900$ cm^2 $）
方案1的底面积为$ (40 - 2x)^2 \ cm^2 $，令其等于900，列方程：
$ (40 - 2x)^2 = 900 $
解方程得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 35 $（边长为负，舍去）。
答：底面积能达到900$ cm^2 $。
任务2（线段AB的长度）
根据题意，$ AB = \frac{1}{2}[80 - 2x - (40 - 2x)] = 20 \ cm $。
答：AB的长度为20 cm。
任务3（体积大小比较）
两个方案纸盒高度相等，体积与底面积成正比：方案1底面积为$ (40 - 2x)^2 \ cm^2 $，方案2底面积为$ 20(40 - 2x) \ cm^2 $。
由实际意义得$ 0 ＜ x ＜ 20 $，分情况讨论：
当$ 0 ＜ x ＜ 10 $时，方案1体积大；
当$ x = 10 $时，两者体积相等；
当$ 10 ＜ x ＜ 20 $时，方案2体积大。
任务4（方案2体积最大值）
方案2体积为$ V = 20(40 - 2x)x = -40x^2 + 800x $，配方得$ V = -40(x - 10)^2 + 4000 $，当$ x = 10 $时，体积最大值为4000$ cm^3 $。
答：方案2体积最大值为4000$ cm^3 $。
【答案】
1. 任务1：月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆汽车售价为21万元。
2. 任务1：底面积能达到900$ cm^2 $；任务2：AB=20 cm；任务3：0＜x＜10时方案1体积大，x=10时两者体积相等，10＜x＜20时方案2体积大；任务4：方案2体积最大值为4000$ cm^3 $。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用、代数式化简
【点评】
本题为综合实践类题目，结合增长率、销售利润、纸盒制作等实际场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，涉及方程求解、二次函数最值、分类讨论等知识点，需注意解的实际意义，对应用能力和逻辑思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
