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5. 某超市销售一批玩具,平均每天可售出 120 件,每件盈利 4 元.市场调查发现:售价每涨1 元,销售量减少 10 件;售价每降 1 元,销售量增加 10 件.爱动脑的嘉嘉发现:在一定范围内,涨$a$元与降$b$元所获得的利润相同,则$a$与$b$满足（
A.$a-b=4$
B.$a-b=8$
C.$a+b=4$
D.$a+b=8$
B
）A.$a-b=4$
B.$a-b=8$
C.$a+b=4$
D.$a+b=8$
答案
B 解析:根据题意,得$(4+a)(120-10a)=(4-b)(120+10b)$,整理得$a-b=8$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“利润=每件利润×销售量”的公式，分别表示出涨价a元、降价b元时的利润，再根据两者利润相等列等式，通过整式运算化简得到a与b的关系。
【解析】
1. 计算涨价a元时的利润：
涨价a元后，每件盈利为$(4 + a)$元；售价每涨1元销售量减少10件，故销售量为$(120 - 10a)$件，因此利润为$(4 + a)(120 - 10a)$。
2. 计算降价b元时的利润：
降价b元后，每件盈利为$(4 - b)$元；售价每降1元销售量增加10件，故销售量为$(120 + 10b)$件，因此利润为$(4 - b)(120 + 10b)$。
3. 根据利润相等列等式并化简：
由题意得：$(4 + a)(120 - 10a) = (4 - b)(120 + 10b)$
展开左边：$4×120 - 4×10a + a×120 - 10a² = 480 + 80a - 10a²$
展开右边：$4×120 + 4×10b - b×120 - 10b² = 480 - 80b - 10b²$
等式两边相等，移项整理：
$80a - 10a² = -80b - 10b²$
两边同除以10：$8a - a² = -8b - b²$
移项得：$8a + 8b = a² - b²$
右边用平方差公式分解：$8(a + b) = (a - b)(a + b)$
因a、b为正数，故$a + b ≠ 0$，两边同除以$(a + b)$得：$a - b = 8$
【答案】
B
【知识点】
利润问题、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查利润计算与整式运算，核心是准确表示不同调价下的利润，再通过等式化简推导关系，需注意平方差公式的应用及隐含条件（a+b≠0），属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用“利润=每件利润×销售量”的公式，分别表示出涨价a元、降价b元时的利润，再根据两者利润相等列等式，通过整式运算化简得到a与b的关系。
【解析】
1. 计算涨价a元时的利润：
涨价a元后，每件盈利为$(4 + a)$元；售价每涨1元销售量减少10件，故销售量为$(120 - 10a)$件，因此利润为$(4 + a)(120 - 10a)$。
2. 计算降价b元时的利润：
降价b元后，每件盈利为$(4 - b)$元；售价每降1元销售量增加10件，故销售量为$(120 + 10b)$件，因此利润为$(4 - b)(120 + 10b)$。
3. 根据利润相等列等式并化简：
由题意得：$(4 + a)(120 - 10a) = (4 - b)(120 + 10b)$
展开左边：$4×120 - 4×10a + a×120 - 10a² = 480 + 80a - 10a²$
展开右边：$4×120 + 4×10b - b×120 - 10b² = 480 - 80b - 10b²$
等式两边相等，移项整理：
$80a - 10a² = -80b - 10b²$
两边同除以10：$8a - a² = -8b - b²$
移项得：$8a + 8b = a² - b²$
右边用平方差公式分解：$8(a + b) = (a - b)(a + b)$
因a、b为正数，故$a + b ≠ 0$，两边同除以$(a + b)$得：$a - b = 8$
【答案】
B
【知识点】
利润问题、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查利润计算与整式运算，核心是准确表示不同调价下的利润，再通过等式化简推导关系，需注意平方差公式的应用及隐含条件（a+b≠0），属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
6. 为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:一间宿舍一个月用电量不超过$a$千瓦时,则一个月的电费为 20 元;若超过$a$千瓦时,则除了交 20 元外,超过部分每千瓦时要交$\dfrac{a}{100}$元.某宿舍 3 月份用电 80 千瓦时,交电费 35 元;4 月份用电 45 千瓦时,交电费 20 元,则$a=$
50
.答案
50 解析:根据 3 月份用电 80 千瓦时,交电费 35 元,得$20+\dfrac{a}{100}(80-a)=35$,即$a^2-80a+1\ 500=0$,解得$a_1=30$,$a_2=50$.
∵4 月份用电 45 千瓦时,交电费20元,
∴$a≥45$,
∴$a=50$.
∵4 月份用电 45 千瓦时,交电费20元,
∴$a≥45$,
∴$a=50$.
解析
【分析】
首先，根据4月份用电45千瓦时、交电费20元，可判断45千瓦时未超过a千瓦时，因此a≥45；再结合3月份用电80千瓦时、交电费35元（超过20元），可知3月份用电量超过a千瓦时，需按分段收费规则计算电费，据此列出关于a的方程，解出方程的根后，结合a的取值范围筛选出正确结果。
【解析】
1. 由4月份用电45千瓦时，交电费20元，可知45≤a，即a≥45；
2. 3月份用电80千瓦时，交电费35元，超过20元，说明用电量超过a千瓦时，根据收费规则列方程：
$20 + \frac{a}{100}(80 - a) = 35$
整理得：$a^2 - 80a + 1500 = 0$
解方程，因式分解得$(a - 30)(a - 50) = 0$，解得$a_1=30$，$a_2=50$；
3. 结合a≥45，舍去不符合条件的$a=30$，因此$a=50$。
【答案】
50
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题为分段计费的实际应用问题，关键是根据不同月份的用电和电费确定a的取值范围，再通过列一元二次方程求解，需注意对解的合理性进行筛选，避免错解。
【难度系数】
0.6
首先，根据4月份用电45千瓦时、交电费20元，可判断45千瓦时未超过a千瓦时，因此a≥45；再结合3月份用电80千瓦时、交电费35元（超过20元），可知3月份用电量超过a千瓦时，需按分段收费规则计算电费，据此列出关于a的方程，解出方程的根后，结合a的取值范围筛选出正确结果。
【解析】
1. 由4月份用电45千瓦时，交电费20元，可知45≤a，即a≥45；
2. 3月份用电80千瓦时，交电费35元，超过20元，说明用电量超过a千瓦时，根据收费规则列方程：
$20 + \frac{a}{100}(80 - a) = 35$
整理得：$a^2 - 80a + 1500 = 0$
解方程，因式分解得$(a - 30)(a - 50) = 0$，解得$a_1=30$，$a_2=50$；
3. 结合a≥45，舍去不符合条件的$a=30$，因此$a=50$。
【答案】
50
【知识点】
一元二次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题为分段计费的实际应用问题，关键是根据不同月份的用电和电费确定a的取值范围，再通过列一元二次方程求解，需注意对解的合理性进行筛选，避免错解。
【难度系数】
0.6
7. 某景点商店销售某种纪念品,每件成本为 50 元,经市场调研,该纪念品的月销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)$(x ≥ 50)$之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该纪念品的月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式.
(2)若该商店某月销售这种纪念品共获利 12 000 元,求该纪念品当月的销售单价.
(1)求该纪念品的月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式.
(2)若该商店某月销售这种纪念品共获利 12 000 元,求该纪念品当月的销售单价.
答案
(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.将$(50,1\ 000)$,$(60,800)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}1\ 000=50k+b,\\800=60k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-20,\\b=2\ 000,\end{cases}$
∴y 与 x 之间的函数关系式为$y=-20x+2\ 000(x≥50)$.
(2)根据题意,得$(x-50)(-20x+2\ 000)=12\ 000$,整理,得$x^2-150x+5\ 600=0$,解得$x_1=70$,$x_2=80$.答:该纪念品当月的销售单价为 70 元或 80 元.
∴y 与 x 之间的函数关系式为$y=-20x+2\ 000(x≥50)$.
(2)根据题意,得$(x-50)(-20x+2\ 000)=12\ 000$,整理,得$x^2-150x+5\ 600=0$,解得$x_1=70$,$x_2=80$.答:该纪念品当月的销售单价为 70 元或 80 元.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用待定系数法求一次函数关系式，已知函数图象过两个点，代入两点坐标解方程组即可得到函数式；第(2)问是销售利润问题，根据“总利润=单件利润×销售量”，结合第(1)问的函数式列出一元二次方程，求解方程得到符合条件的销售单价。
【解析】
(1) 设月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知，函数图象过点$(50,1000)$和$(60,800)$，将两点代入函数式得：
$\begin{cases}1000=50k+b \\800=60k+b \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$200=-10k$，解得$k=-20$；
将$k=-20$代入$1000=50k+b$，得$1000=-1000+b$，解得$b=2000$。
因此，$y$与$x$的函数关系式为$y=-20x+2000(x≥50)$。
(2) 每件纪念品的利润为$(x-50)$元，月销售量为$(-20x+2000)$件，根据总利润为12000元，列方程：
$(x-50)(-20x+2000)=12000$
整理得：$x^2-150x+5600=0$，
因式分解得$(x-70)(x-80)=0$，
解得$x_1=70$，$x_2=80$，均满足$x≥50$的条件。
【答案】
(1) $y=-20x+2000(x≥50)$；(2) 70元或80元
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，考查待定系数法求函数解析式和利润问题的方程求解，需掌握函数建模与方程运算方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用待定系数法求一次函数关系式，已知函数图象过两个点，代入两点坐标解方程组即可得到函数式；第(2)问是销售利润问题，根据“总利润=单件利润×销售量”，结合第(1)问的函数式列出一元二次方程，求解方程得到符合条件的销售单价。
【解析】
(1) 设月销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知，函数图象过点$(50,1000)$和$(60,800)$，将两点代入函数式得：
$\begin{cases}1000=50k+b \\800=60k+b \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$200=-10k$，解得$k=-20$；
将$k=-20$代入$1000=50k+b$，得$1000=-1000+b$，解得$b=2000$。
因此，$y$与$x$的函数关系式为$y=-20x+2000(x≥50)$。
(2) 每件纪念品的利润为$(x-50)$元，月销售量为$(-20x+2000)$件，根据总利润为12000元，列方程：
$(x-50)(-20x+2000)=12000$
整理得：$x^2-150x+5600=0$，
因式分解得$(x-70)(x-80)=0$，
解得$x_1=70$，$x_2=80$，均满足$x≥50$的条件。
【答案】
(1) $y=-20x+2000(x≥50)$；(2) 70元或80元
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，考查待定系数法求函数解析式和利润问题的方程求解，需掌握函数建模与方程运算方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 某超市销售一种衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元. 为了扩大销售、增加盈利,该超市准备适当降价,经过一段时间测算,发现每件衬衫每降低 1 元,平均每天可多售出 2 件.
(1)若每件衬衫降价 4 元时,平均每天可售出多少件衬衫?此时每天销售获利多少元?
(2)在每件盈利不少于 25 元的前提下,要使该衬衫每天销售获利为 1 200 元,每件衬衫应降价多少元?
(3)该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能,写出降价方案;如果不能,请说明理由.
(1)若每件衬衫降价 4 元时,平均每天可售出多少件衬衫?此时每天销售获利多少元?
(2)在每件盈利不少于 25 元的前提下,要使该衬衫每天销售获利为 1 200 元,每件衬衫应降价多少元?
(3)该衬衫每天的销售获利能达到 1 300 元吗?如果能,写出降价方案;如果不能,请说明理由.
答案
(1)$20+2×4=28$(件),$(40-4)×28=1\ 008$(元).答:平均每天可售出 28 件衬衫,此时每天销售获利 1 008 元.
(2)设每件衬衫应降价 x 元,则每件盈利$(40-x)$元,每天可售出$(20+2x)$件.根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1\ 200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$.又
∵每件盈利不少于 25 元,
∴$x=10$.答:每件衬衫应降价 10 元.
(3)该衬衫每天的销售获利不能达到 1 300 元.理由如下:设每件衬衫应降价 y 元,则每件盈利$(40-y)$元,每天可售出$(20+2y)$件.根据题意,得$(40-y)(20+2y)=1\ 300$,整理,得$y^2-30y+250=0$.
∵$(-30)^2-4×1×250=-100＜0$,
∴该方程无实数根,故该衬衫每天的销售获利不能达到 1 300 元.
(2)设每件衬衫应降价 x 元,则每件盈利$(40-x)$元,每天可售出$(20+2x)$件.根据题意,得$(40-x)(20+2x)=1\ 200$,整理,得$x^2-30x+200=0$,解得$x_1=10$,$x_2=20$.又
∵每件盈利不少于 25 元,
∴$x=10$.答:每件衬衫应降价 10 元.
(3)该衬衫每天的销售获利不能达到 1 300 元.理由如下:设每件衬衫应降价 y 元,则每件盈利$(40-y)$元,每天可售出$(20+2y)$件.根据题意,得$(40-y)(20+2y)=1\ 300$,整理,得$y^2-30y+250=0$.
∵$(-30)^2-4×1×250=-100＜0$,
∴该方程无实数根,故该衬衫每天的销售获利不能达到 1 300 元.
解析
【分析】
本题是销售利润类问题，核心公式为：总利润=每件利润×销售量。解题思路如下：
1. 第(1)问：已知降价1元多售2件，降价4元时，先算多售件数，加原销量得总售出件数；再用降价后的每件利润乘以总件数，得每天获利。
2. 第(2)问：设降价x元，每件利润为(40-x)元，销量为(20+2x)件，根据总利润1200元列方程；解方程后，需满足“每件盈利不少于25元”，即40-x≥25，舍去不符合条件的解。
3. 第(3)问：假设总利润为1300元，设降价y元，列方程后整理，用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，若无实根则说明获利无法达到1300元。
【解析】
(1) 降价4元时，平均每天售出的衬衫数量：20 + 2×4 = 28（件）；
每天销售获利：(40 - 4)×28 = 1008（元）。
(2) 设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40 - x)元，每天可售出(20 + 2x)件。
根据题意列方程：(40 - x)(20 + 2x) = 1200，
整理得：x² - 30x + 200 = 0，
解得：x₁=10，x₂=20。
∵每件盈利不少于25元，
∴40 - x ≥25，即x ≤15，故舍去x=20，取x=10。
(3) 设每件衬衫应降价y元，根据题意列方程：(40 - y)(20 + 2y) =1300，
整理得：y² -30y +250=0，
判别式Δ=(-30)² -4×1×250=900 -1000=-100＜0，
∴该方程无实数根，故每天销售获利不能达到1300元。
【答案】
(1) 平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元；
(2) 每件衬衫应降价10元；
(3) 该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由：设每件衬衫降价y元，列方程得y²-30y+250=0，判别式Δ=-100＜0，方程无实根，故无法达到。
【知识点】
一元二次方程应用（销售利润）、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为典型的销售利润类一元二次方程应用题，需熟练运用总利润公式，同时注意实际问题中变量的取值限制（如本题的盈利条件），以及用根的判别式判断方程解的存在性，是中考常见题型，需重点掌握。
【难度系数】
0.6
本题是销售利润类问题，核心公式为：总利润=每件利润×销售量。解题思路如下：
1. 第(1)问：已知降价1元多售2件，降价4元时，先算多售件数，加原销量得总售出件数；再用降价后的每件利润乘以总件数，得每天获利。
2. 第(2)问：设降价x元，每件利润为(40-x)元，销量为(20+2x)件，根据总利润1200元列方程；解方程后，需满足“每件盈利不少于25元”，即40-x≥25，舍去不符合条件的解。
3. 第(3)问：假设总利润为1300元，设降价y元，列方程后整理，用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，若无实根则说明获利无法达到1300元。
【解析】
(1) 降价4元时，平均每天售出的衬衫数量：20 + 2×4 = 28（件）；
每天销售获利：(40 - 4)×28 = 1008（元）。
(2) 设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40 - x)元，每天可售出(20 + 2x)件。
根据题意列方程：(40 - x)(20 + 2x) = 1200，
整理得：x² - 30x + 200 = 0，
解得：x₁=10，x₂=20。
∵每件盈利不少于25元，
∴40 - x ≥25，即x ≤15，故舍去x=20，取x=10。
(3) 设每件衬衫应降价y元，根据题意列方程：(40 - y)(20 + 2y) =1300，
整理得：y² -30y +250=0，
判别式Δ=(-30)² -4×1×250=900 -1000=-100＜0，
∴该方程无实数根，故每天销售获利不能达到1300元。
【答案】
(1) 平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元；
(2) 每件衬衫应降价10元；
(3) 该衬衫每天的销售获利不能达到1300元，理由：设每件衬衫降价y元，列方程得y²-30y+250=0，判别式Δ=-100＜0，方程无实根，故无法达到。
【知识点】
一元二次方程应用（销售利润）、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为典型的销售利润类一元二次方程应用题，需熟练运用总利润公式，同时注意实际问题中变量的取值限制（如本题的盈利条件），以及用根的判别式判断方程解的存在性，是中考常见题型，需重点掌握。
【难度系数】
0.6
