1. 圆锥的侧面展开图的面积为$200π\ \mathrm{cm}^{2}$，母线与底面圆的半径之比为$2:1$，则母线长为（）

A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$20\ \mathrm{cm}$
C.$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

1. 设圆锥的底面圆半径为r cm.
∵母线与底面圆的半径之比为2:1,
∴圆锥的母线长为2r cm. 由题意,得$\frac{1}{2} × 2π r × 2r=200π$,解得r=10(负值舍去).
∴2r=20,即圆锥的母线长为20 cm.

【分析】
拿到这道题，我们已知圆锥侧面展开图的面积，还给出了母线和底面半径的比值，首先可以通过设未知数简化计算：先设底面圆半径为r，根据2:1的比例关系，就能直接把母线长用含r的代数式表示出来。接下来回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥侧面展开是扇形，面积等于1/2乘底面圆周长再乘母线长，把对应数值代入公式就能得到关于r的方程，解出r后就能算出母线长，同时要注意几何图形的长度为正，需要舍去不符合实际的负根。
【解析】
解：设圆锥的底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，
∵母线长与底面圆的半径之比为$2:1$，
∴圆锥的母线长为$2r\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S=\frac{1}{2} × 底面圆周长 × 母线长$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2} × 2π r × 2r = 200π$
化简方程得$2π r^2=200π$，两边同时除以$π$得$r^2=100$，
解得$r=10$，$r=-10$不符合长度为正的实际意义，舍去。
因此母线长$2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是圆锥部分的基础常考题，核心考查对圆锥侧面积公式的掌握，通过比例关系设元可以大幅简化计算，解题时注意几何实际场景下长度必须为正，要主动舍去不合理的负根，整体计算门槛低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 已知圆锥的母线长为 10 cm,侧面展开图扇形的圆心角是$216^{\circ }$,则圆锥的高是 （）

A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm

2. 根据题意,得扇形的弧长为$\frac{216π × 10}{180}=12π(\mathrm{cm})$,则圆锥底面圆的半径为$12π ÷ 2π=6(\mathrm{cm})$. 由勾股定理,得圆锥的高为$\sqrt{10^2-6^2}=8(\mathrm{cm})$.

【分析】
这道题的核心是理清圆锥和它侧面展开扇形的对应关系，解题思路分三步：第一步，已知扇形的半径就是圆锥的母线长，结合给出的圆心角度数，代入弧长公式算出侧面展开图的弧长；第二步，利用圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面圆周长相等的等量关系，求出圆锥底面圆的半径；第三步，圆锥的母线、底面半径、圆锥的高三者构成直角三角形，母线是斜边，通过勾股定理即可算出圆锥的高，最终匹配选项得到答案。
【解析】
解：① 计算侧面展开扇形的弧长：
已知扇形半径等于圆锥母线长$R=10\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=216°$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得：
$l=\frac{216π × 10}{180}=12π\ \mathrm{cm}$
② 求圆锥底面圆的半径$r$：
圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，即$2π r = l$，代入弧长计算得：
$r=\frac{12π}{2π}=6\ \mathrm{cm}$
③ 用勾股定理计算圆锥的高$h$：
圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，母线为斜边，因此：
$h=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$
【答案】D.8 cm
【知识点】弧长公式，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】本题是圆锥相关的基础计算题，考点指向明确，只要牢记圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长这个核心对应关系，就可以顺利推导求解，易错点是部分同学会混淆母线和底面半径的概念，或者记错弧长公式导致计算出错。
【难度系数】0.8

3. 如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=4$,把它分割成正方形纸片$ABFE$和矩形纸片$EFCD$后,分别裁出扇形$ABF$和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则$AD$的长为.

3. 设圆锥的底面圆半径为r. 根据题意,得$2π r=\frac{90 × π × 4}{180}$,解得r=1.
∵四边形$ABFE$为正方形,
∴$AE=AB$.
∴$AD=AE+ED=AB+2r=4+2=6$.

【分析】
解题思路如下：1. 明确圆锥的核心性质：侧面展开扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，这是本题的核心等量关系。2. 先确定扇形ABF的参数：由ABFE是边长为4的正方形，可知该扇形是圆心角为90°、半径为4的四分之一圆，代入弧长公式即可算出它的弧长。3. 利用弧长等于底面圆周长的等量关系，设底面圆半径为r，列方程求解得到r的值。4. 右侧矩形EFCD中能裁出的最大圆，其直径必然等于矩形EFCD的短边长度，也就是该底面圆的直径2r，对应矩形的水平边长ED。5. 最后AD的长度等于正方形边长AE加上ED，代入数值即可算出AD的长。
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为r。
∵ 扇形ABF是正方形ABFE中以B为圆心、AB为半径的四分之一圆，AB=4，
∴ 扇形的圆心角为90°，半径R=4，
根据弧长公式，扇形的弧长$l=\frac{nπR}{180}=\frac{90×π×4}{180}$。
又
∵ 该弧长等于圆锥底面圆的周长，即$l=2πr$，
因此列方程：$2π r=\frac{90 × π × 4}{180}$，
两边约去π后解得：$r=1$。
∵ 四边形ABFE是正方形，
∴ AE=AB=4。
∵ 矩形EFCD中半径最大的圆恰好是圆锥的底面，
∴ 该圆的直径等于矩形EFCD的水平边长ED，即ED=2r=2×1=2，
∴ AD=AE+ED=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长计算公式，矩形内最大圆
【点评】
本题属于圆锥相关的基础几何应用题，核心考点是圆锥侧面展开图与底面的对应关系，解题的关键是抓住“侧面扇形弧长等于底面圆周长”这个等量关系，结合正方形、矩形的性质即可顺利求解，需要注意不要混淆扇形半径和底面圆半径的对应关系。
【难度系数】
0.7

4. 易错题 如图,在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形,恰好能围成一个圆锥. 如果圆的半径为$r$,扇形的半径为$R$,那么$r:R=$.

4. 由题意,得圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长,即$\frac{1}{4} × 2π R=2π r$,$\therefore r:R=1:4$.

【分析】
我们要推导r和R的比值，核心是抓住围成圆锥的两个部分的等量关系：圆锥的侧面是这个扇形，圆锥的底面是剪下的小圆，因此扇形的弧长必然等于底面小圆的周长。首先观察图形，这个大扇形的两条半径都和正方形的边长重合，夹角为90°，也就是圆心角是90°的四分之一圆扇形，先写出该扇形的弧长表达式，再写出半径为r的小圆的周长表达式，令二者相等，化简后就能得到r和R的比例关系。
【解析】
解：由题意可知，该扇形是圆心角为90°的扇形，它作为圆锥的侧面，其弧长等于圆锥底面圆的周长。
1. 计算扇形的弧长：
根据弧长公式，圆心角为90°、半径为R的扇形弧长为：
$l = \frac{90π R}{180} = \frac{1}{4} × 2π R = \frac{1}{2}π R$
2. 计算底面小圆的周长：
半径为r的圆的周长为：
$C = 2π r$
3. 根据等量关系列等式：
因为扇形弧长等于底面圆周长，因此：
$\frac{1}{2}π R = 2π r$
两边同时除以π，可得：
$\frac{1}{2}R = 2r$
整理得：$R = 4r$，即$r:R = 1:4$
【答案】
1:4
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，圆周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关的易错题，很多同学容易忽略图中扇形的圆心角为90°的特征，记错弧长的计算结果，或是混淆扇形弧长和底面圆周长的对应关系，解题的关键是牢记：围成圆锥时，侧面展开扇形的弧长与底面圆的周长完全相等，以此建立等式即可快速推导比值。
【难度系数】
0.5

5. 如图,圆形铁皮$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,从中剪出一个圆心角为$90°$的扇形$ABC$,点$A$,$B$,$C$都在$\odot O$上.
(1) 求扇形$ABC$的面积.
(2) 将这个扇形围成一个圆锥,求该圆锥的底面圆半径和高.

5. (1) 连接$BC$. $\because ∠ BAC=90°$,$\therefore BC$为$\odot O$的直径.
$\because$ 易得$AB=AC$,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形. $\therefore$ 易得$AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$. $\therefore$ 扇形$ABC$的面积$=\frac{90 × π × 4^2}{360}=4π(\mathrm{cm}^2)$.
(2) 设圆锥的底面圆半径为$r$ cm. 根据题意,得$2π r=\frac{90 × π × 4}{180}$,解得$r=1$. $\therefore$ 圆锥的底面圆半径为1 cm. $\therefore$ 圆锥的高为$\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}(\mathrm{cm})$.

【分析】
这道题分两小问来思考：
1. 第(1)问求扇形ABC的面积，已知扇形圆心角为90°，根据扇形面积公式，只需要先求出扇形的半径AB即可。观察到∠BAC=90°，且A、B、C三点都在⊙O上，根据90°圆周角的性质，可推出BC是⊙O的直径，先算出BC的长度，再结合AB=AC可知△ABC是等腰直角三角形，就能算出AB的长度，代入扇形面积公式即可得到结果。
2. 第(2)问中，扇形围成圆锥时，扇形的弧长和圆锥底面圆的周长相等，据此列方程就能求出底面半径；再利用圆锥的母线长就是原扇形的半径，结合勾股定理即可算出圆锥的高。
【解析】
(1) 连接BC，
∵ ∠BAC=90°，点A、B、C都在⊙O上，
∴ BC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
已知⊙O的半径为$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，因此直径$BC=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
又
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
解得$AB=4\ \mathrm{cm}$（长度为正，舍去负解）。
代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\frac{nπ R^2}{360}=\frac{90×π×4^2}{360}=4π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 设圆锥的底面圆半径为$r\ \mathrm{cm}$，
先计算扇形ABC的弧长：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π\ \mathrm{cm}$。
扇形围成圆锥后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：
$2π r=2π$，解得$r=1$，即圆锥底面圆半径为$1\ \mathrm{cm}$。
圆锥的母线长等于原扇形的半径，即母线长为$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得圆锥的高：
$h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 扇形ABC的面积为$4π\ \mathrm{cm}^2$；(2) 该圆锥的底面圆半径为$1\ \mathrm{cm}$，高为$\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，圆锥相关计算
【点评】
本题是圆章节的基础综合题，核心是要掌握90°圆周角对应直径的性质，同时理清扇形围成圆锥时的对应关系：扇形弧长等于圆锥底面周长、扇形半径等于圆锥母线长。易错点是容易误将⊙O的半径直接当作扇形ABC的半径进行计算，需要注意区分两个不同圆的半径。
【难度系数】
0.7

6. 已知两个圆锥的母线长相等，且它们的侧面展开图恰好能拼成一个圆. 若它们的全面积之比为$1:6$，则它们的底面圆的半径之比为（）

A.$2:3$
B.$1:2$
C.$1:4$
D.$1:3$

6. 设两个圆锥的母线长为$x$,则侧面展开图拼成的圆的周长为$2π x$.设全面积较大的圆锥的底面圆的半径为$R$,则它的底面圆的周长$=2π R$,它的侧面积为$π Rx$,底面积为$π R^2$. $\therefore$ 它的全面积$=π Rx+π R^2$.设全面积较小的圆锥的底面圆的半径为$r$,则它的底面圆的周长$=2π x-2π R=2π(x-R)=2π r$,即$r=x-R$. $\therefore$ 它的侧面积为$π(x-R)x$,底面积为$π(x-R)^2$. $\therefore$ 它的全面积为$π(x-R)x+π(x-R)^2$.由题意,得$[π Rx+π R^2]:[π(x-R)x+π(x-R)^2]=6:1$,解得$R_1=\frac{4}{5}x$,$R_2=3x$(不合题意,舍去). $\therefore r=x-R=\frac{1}{5}x$. $\therefore r:R=1:4$,即它们的底面圆的半径之比为$1:4$.

【分析】
我们可以按照以下思路逐步解题：
1. 先提取已知条件的核心关联：两个圆锥母线长相等，侧面展开的两个扇形刚好拼成一个完整的圆，这个整圆的半径就等于圆锥的母线长，因此整圆的周长就是两个扇形的弧长之和，而圆锥侧面扇形的弧长等于对应圆锥的底面周长，由此可以得到两个圆锥底面半径的和等于母线长，把两个底面半径都用公共的母线长来表示。
2. 回忆圆锥全面积的计算公式：全面积=侧面积+底面积，侧面积公式为π×底面半径×母线长，底面积为π×底面半径的平方。
3. 代入题目给出的全面积之比1:6，列出方程求解，舍去不符合几何实际的无效解（圆锥底面半径不可能大于母线长），最后化简得到两个底面半径的比值即可。
【解析】
解：设两个圆锥的公共母线长为$ l $，两个圆锥的底面半径分别为$ r $、$ R $。
因为两个侧面展开图刚好拼成一个完整的圆，该圆的半径等于圆锥母线长$ l $，因此整圆的周长为$ 2π l $。
根据圆锥侧面展开图的性质：圆锥底面周长等于对应侧面扇形的弧长，因此两个圆锥的底面周长之和等于整圆的周长：
$2π r + 2π R = 2π l$
化简得：$ r + R = l $，即$ r = l - R $。
根据圆锥全面积公式，两个圆锥的全面积分别为：
半径为$ R $的圆锥全面积：$ S_1 = π R l + π R^2 $
半径为$ r $的圆锥全面积：$ S_2 = π r l + π r^2 = π (l-R)l + π (l-R)^2 $
由题意已知两者全面积之比为$ S_2:S_1 = 1:6 $，代入得：
$\frac{π R l + π R^2}{π (l-R)l + π (l-R)^2} = \frac{6}{1}$
约去$ π $，展开化简整理为一元二次方程：
$5R^2 -19Rl +12l^2 =0$
因式分解解得：$ R=\frac{4}{5}l $ 或 $ R=3l $
由于圆锥底面半径必须小于母线长，$ R=3l $不符合实际，舍去。
因此$ r = l - R = l - \frac{4}{5}l = \frac{1}{5}l $
最终得到半径比$ r:R = \frac{1}{5}l : \frac{4}{5}l =1:4 $。
【答案】
C
【知识点】
圆锥全面积计算，扇形弧长公式，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题属于圆锥相关的基础综合题型，解题核心是抓住侧面展开图与圆锥的对应关系，通过设公共母线为参数，先推导出两个底面半径的和等于母线长，再代入面积比例消参求解，需要注意舍去不符合几何意义的增根，避免比例搞反的低级错误。
【难度系数】
0.6

7. 如图,要用一张扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计).若该圆锥的底面圆的周长为$20π\ \mathrm{cm}$,侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^{2}$,则这个扇形的圆心角的度数为.

7. 设圆锥的母线长为$l$ cm,则$\frac{1}{2} × 20π × l=240π$,解得$l=24$.设这个扇形的圆心角的度数是$n°$.由题意,得$20π=\frac{nπ × 24}{180}$,解得$n=150$. $\therefore$ 这个扇形的圆心角的度数为$150°$.

【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：第一步，圆锥的侧面积就是围成它的扇形的面积，而圆锥底面圆的周长恰好等于这个扇形的弧长，利用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$是弧长，$r$是扇形半径，也就是圆锥的母线长），代入已知的侧面积和底面周长（即弧长），就可以先求出圆锥的母线长，也就是扇形的半径。第二步，再利用扇形的弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，把已知的弧长和刚求出的扇形半径代入，就能解出圆心角的度数。
【解析】
解：设圆锥的母线长为$l\ \mathrm{cm}$，即对应扇形的半径为$l\ \mathrm{cm}$。
圆锥侧面积等于对应扇形的面积，已知圆锥底面周长就是扇形的弧长，为$20π\ \mathrm{cm}$，代入扇形面积公式：
$\frac{1}{2} × 20π × l = 240π$
两边同时约去$π$，计算得$10l=240$，解得$l=24$。
再设扇形的圆心角度数为$n°$，根据扇形弧长等于底面圆周长，代入弧长公式可得：
$20π = \frac{nπ × 24}{180}$
两边同时约去$π$，整理得$20×180=24n$，解得$n=150$。
【答案】
$150°$
【知识点】
圆锥侧面积计算，扇形弧长公式
【点评】
本题核心考察圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，牢记“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长、圆锥母线长等于展开扇形的半径”这两个对应关系，结合扇形的面积、弧长公式即可顺利求解，属于圆锥相关计算的常规基础题。
【难度系数】
0.7