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7. 新情境 生活实际 如图①所示为一款扫地机器人的实物图，其抽象图如图②所示，$\odot O$ 为机身，$A$为机身上一定点，$AB$ 为刷头，刷头以点 $A$ 为圆心，绕点 $A$ 旋转形成的圆弧分别交$\odot O$ 于点 $C$，$D$。已知点 $A$，$C$，$D$ 在同一直线上，$\odot O$ 的半径 $r = 20\ \mathrm{cm}$，$AB = 10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，则图中涂色部分的面积为
200
$\mathrm{cm}^2$。答案
7. 200 如图,连接$CD,OC,OD.∵$ 点$A,C,D$在同一直线上,$∴ CD$经过点$A.$ 由题意,得$CD$为半圆$A$的直径，$∴ AC=AD=AB=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.∴ CD=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.∵ OC=OD=20\ \mathrm{cm},∴ OC^2+OD^2=CD^2.∴ △OCD$为直角三角形且$∠COD=90°.∴ S_{扇形OCD}=\frac{90π×20^2}{360}=100π(\mathrm{cm}^2)$,$S_{△OCD}=\frac{1}{2}OC·OD=\frac{1}{2}×20×20=200(\mathrm{cm}^2).∴ S_{弓形CD}=S_{扇形OCD}-S_{△OCD}=(100π-200)\ \mathrm{cm}^2.∵ S_{半圆A}=\frac{π·AC^2}{2}=\frac{π×(10\sqrt{2})^2}{2}=100π(\mathrm{cm}^2),∴ S_{涂色}=S_{半圆A}-S_{弓形CD}=100π-(100π-200)=200(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
这道题要求不规则涂色部分的面积，直接计算阴影的形状面积很困难，我们可以用割补转化的思路来解题：首先观察到涂色部分全部在以A为圆心的半圆内，因此涂色面积等于半圆A的面积减去两圆重叠部分中属于⊙O的弓形CD的面积。第一步先连接OC、OD，根据A、C、D共线的条件，先得到CD是圆A的直径，算出CD的长度；再通过勾股定理逆定理判断△OCD是直角三角形，得到圆心角∠COD=90°；接着分别计算扇形OCD的面积、△OCD的面积，求出弓形CD的面积，再计算半圆A的面积，两者相减后π项抵消，就能直接得到涂色部分的结果。
【解析】
连接$OC$、$OD$，
∵ 点$A$，$C$，$D$在同一直线上，
∴ $CD$经过点$A$，由题意可知刷头绕点$A$旋转，$AB$是圆$A$的半径，因此$AC=AD=AB=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即$CD$是半圆$A$的直径，
∴ $CD=2AC=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$的半径$OC=OD=20\ \mathrm{cm}$，计算得：
$OC^2+OD^2=20^2+20^2=800$，$CD^2=(20\sqrt{2})^2=800$，
∴ $OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$△ OCD$为直角三角形，且$∠ COD=90°$。
计算扇形$OCD$的面积：
$S_{扇形OCD}=\frac{90π × 20^2}{360}=100π\ (\mathrm{cm}^2)$，
计算$△ OCD$的面积：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×20×20=200\ (\mathrm{cm}^2)$，
因此弓形$CD$的面积为：
$S_{弓形CD}=S_{扇形OCD}-S_{△ OCD}=(100π-200)\ \mathrm{cm}^2$。
再计算半圆$A$的面积：
$S_{半圆A}=\frac{π · AC^2}{2}=\frac{π×(10\sqrt{2})^2}{2}=100π\ (\mathrm{cm}^2)$，
最终涂色部分的面积：
$S_{涂色}=S_{半圆A}-S_{弓形CD}=100π-(100π-200)=200\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
200
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理逆定理，组合图形面积割补
【点评】
本题结合扫地机器人的生活实际场景出题，核心考察不规则阴影面积的割补转化思想，不需要直接硬算阴影部分，通过将阴影转化为熟悉的半圆和弓形的面积差，运算过程中π项恰好抵消，简化了计算，能很好的锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
这道题要求不规则涂色部分的面积，直接计算阴影的形状面积很困难，我们可以用割补转化的思路来解题：首先观察到涂色部分全部在以A为圆心的半圆内，因此涂色面积等于半圆A的面积减去两圆重叠部分中属于⊙O的弓形CD的面积。第一步先连接OC、OD，根据A、C、D共线的条件，先得到CD是圆A的直径，算出CD的长度；再通过勾股定理逆定理判断△OCD是直角三角形，得到圆心角∠COD=90°；接着分别计算扇形OCD的面积、△OCD的面积，求出弓形CD的面积，再计算半圆A的面积，两者相减后π项抵消，就能直接得到涂色部分的结果。
【解析】
连接$OC$、$OD$，
∵ 点$A$，$C$，$D$在同一直线上，
∴ $CD$经过点$A$，由题意可知刷头绕点$A$旋转，$AB$是圆$A$的半径，因此$AC=AD=AB=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，即$CD$是半圆$A$的直径，
∴ $CD=2AC=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$的半径$OC=OD=20\ \mathrm{cm}$，计算得：
$OC^2+OD^2=20^2+20^2=800$，$CD^2=(20\sqrt{2})^2=800$，
∴ $OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$△ OCD$为直角三角形，且$∠ COD=90°$。
计算扇形$OCD$的面积：
$S_{扇形OCD}=\frac{90π × 20^2}{360}=100π\ (\mathrm{cm}^2)$，
计算$△ OCD$的面积：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×20×20=200\ (\mathrm{cm}^2)$，
因此弓形$CD$的面积为：
$S_{弓形CD}=S_{扇形OCD}-S_{△ OCD}=(100π-200)\ \mathrm{cm}^2$。
再计算半圆$A$的面积：
$S_{半圆A}=\frac{π · AC^2}{2}=\frac{π×(10\sqrt{2})^2}{2}=100π\ (\mathrm{cm}^2)$，
最终涂色部分的面积：
$S_{涂色}=S_{半圆A}-S_{弓形CD}=100π-(100π-200)=200\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
200
【知识点】
扇形面积计算，勾股定理逆定理，组合图形面积割补
【点评】
本题结合扫地机器人的生活实际场景出题，核心考察不规则阴影面积的割补转化思想，不需要直接硬算阴影部分，通过将阴影转化为熟悉的半圆和弓形的面积差，运算过程中π项恰好抵消，简化了计算，能很好的锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
8. 如图,$E$为正方形$ABCD$内一点,$AD=5$,$AE=4$,将$△ ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ABE'$,则边$DE$所扫过的区域(图中涂色部分)的面积为
$\dfrac{9}{4}π$
.答案
8. $\frac{9}{4}π$ 易得$S_{涂色部分}=S_{扇形ADB}+S_{△ABE'}-(S_{△ADE}+S_{扇形AEE'})=S_{扇形ADB}-S_{扇形AEE'}=\frac{90π×5^2}{360}-\frac{90π×4^2}{360}=\frac{9}{4}π.$
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分是线段DE绕点A顺时针旋转90°扫过的区域，我们可以利用旋转的性质简化计算：第一步，根据旋转的定义，△ADE绕A旋转90°得到△ABE'，因此旋转前后两个三角形全等，即$S_{△ ADE} = S_{△ ABE'}$。第二步，将阴影部分的面积拆解为：$S_{阴影} = S_{扇形ADB} + S_{△ ABE'} - S_{△ ADE} - S_{扇形AEE'}$，两个全等三角形的面积相等，互相抵消后，阴影面积就等价于圆心角为90°的大扇形（半径AD）减去圆心角为90°的小扇形（半径AE）的面积差，代入已知的AD=5、AE=4即可快速算出结果，不需要额外计算三角形的面积。
【解析】
解：由旋转的性质可知：
$△ ADE ≌ △ ABE'$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABE'}$，且旋转角为90°，即$∠ DAB=∠ EAE'=90°$。
因此涂色部分的面积可推导为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{涂色}}&=S_{\mathrm{扇形}ADB} + S_{△ ABE'} - S_{△ ADE} - S_{\mathrm{扇形}AEE'}\\&=S_{\mathrm{扇形}ADB} - S_{\mathrm{扇形}AEE'}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=90$，$AD=5$，$AE=4$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{扇形}ADB}&=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}\\S_{\mathrm{扇形}AEE'}&=\frac{90π × 4^2}{360}=4π\\S_{\mathrm{涂色}}&=\frac{25π}{4} - 4π=\frac{9π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{9}{4}π$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是旋转背景下求不规则阴影面积的经典题型，核心技巧是利用旋转前后图形全等的性质，将原本分散的阴影部分通过割补转化为两个同圆心角扇形的面积差，避免了复杂的图形面积拆分计算，大幅简化运算过程，重点考察了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，阴影部分是线段DE绕点A顺时针旋转90°扫过的区域，我们可以利用旋转的性质简化计算：第一步，根据旋转的定义，△ADE绕A旋转90°得到△ABE'，因此旋转前后两个三角形全等，即$S_{△ ADE} = S_{△ ABE'}$。第二步，将阴影部分的面积拆解为：$S_{阴影} = S_{扇形ADB} + S_{△ ABE'} - S_{△ ADE} - S_{扇形AEE'}$，两个全等三角形的面积相等，互相抵消后，阴影面积就等价于圆心角为90°的大扇形（半径AD）减去圆心角为90°的小扇形（半径AE）的面积差，代入已知的AD=5、AE=4即可快速算出结果，不需要额外计算三角形的面积。
【解析】
解：由旋转的性质可知：
$△ ADE ≌ △ ABE'$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ABE'}$，且旋转角为90°，即$∠ DAB=∠ EAE'=90°$。
因此涂色部分的面积可推导为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{涂色}}&=S_{\mathrm{扇形}ADB} + S_{△ ABE'} - S_{△ ADE} - S_{\mathrm{扇形}AEE'}\\&=S_{\mathrm{扇形}ADB} - S_{\mathrm{扇形}AEE'}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=90$，$AD=5$，$AE=4$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{扇形}ADB}&=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}\\S_{\mathrm{扇形}AEE'}&=\frac{90π × 4^2}{360}=4π\\S_{\mathrm{涂色}}&=\frac{25π}{4} - 4π=\frac{9π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{9}{4}π$
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是旋转背景下求不规则阴影面积的经典题型，核心技巧是利用旋转前后图形全等的性质，将原本分散的阴影部分通过割补转化为两个同圆心角扇形的面积差，避免了复杂的图形面积拆分计算，大幅简化运算过程，重点考察了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
9. 如图,将扇形$AOB$沿$OB$方向平移,使点$O$移到$OB$的中点$O'$处,得到扇形$A'O'B'$.已知$∠ AOB=90°$,$OA=2$,$\overset{\frown}{AB}$交$O'A'$于点$C$.
(1) 连接$OC$,求$∠ AOC$的度数.
(2) 请直接写出阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}$与扇形$AOC$的面积$S_{\mathrm{扇形}AOC}$、$△ OCO'$的面积$S_{△ OCO'}$之间的数量关系,并求出阴影部分的面积.
(1) 连接$OC$,求$∠ AOC$的度数.
(2) 请直接写出阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}$与扇形$AOC$的面积$S_{\mathrm{扇形}AOC}$、$△ OCO'$的面积$S_{△ OCO'}$之间的数量关系,并求出阴影部分的面积.
答案
9. (1) 如图,连接$CB.∵$ 将扇形$AOB$沿$OB$方向平移,使点$O$移到$OB$的中点$O'$处,得到扇形$A'O'B',∴ O'$为$OB$的中点.$∠A'O'B'=∠AOB=90°.∴ A'O'⊥OB.∴ CO'$是$OB$的垂直平分线.$∴ CB=CO.$ 又
∵ $OC=OB,∴ OC=OB=CB.∴ △OBC$为等边三角形.$∴ ∠COB=60°.∴ ∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-60°=30°.$
(2) $S_{阴影}=S_{扇形A'O'B'}-(S_{扇形BOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOB}-(S_{扇形AOB}-S_{扇形AOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}.∵ O'$为$OB$的中点,$OA=OB=OC=2,∴ OO'=\frac{1}{2}OB=1.$ 在$\mathrm{Rt}△OO'C$中,$CO'=\sqrt{CO^2-O'O^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.∴ S_{△OCO'}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.∵ ∠AOC=30°,∴ S_{扇形AOC}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}.∴ S_{阴影}=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分两部分梳理：
1. 第一问求∠AOC的度数：首先利用平移的性质，得到平移后对应角∠A'O'B'=∠AOB=90°，结合O'是OB中点的条件，可知A'O'垂直平分OB，由此得到CB=CO，再结合OC和OB都是原扇形的半径、长度相等，可推出△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，用直角∠AOB减去60°就能算出∠AOC的度数。
2. 第二问求阴影面积：因为平移前后两个扇形AOB和A'O'B'完全全等、面积相等，我们可以用割补转化的思路，把不规则的阴影面积转化为两个规则图形（扇形AOC和△OCO'）的面积之和，分别计算这两个图形的面积再相加，就可以得到阴影部分的面积，避免直接计算阴影的复杂边界。
【解析】
(1) 连接CB，
由平移的性质可知：O'为OB的中点，∠A'O'B'=∠AOB=90°，
因此A'O'⊥OB，即CO'是OB的垂直平分线，
可得CB=CO。
又因为OC、OB都是扇形AOB的半径，OC=OB=2，
所以OC=OB=CB，△OBC为等边三角形，
因此∠COB=60°，
则∠AOC=∠AOB - ∠COB = 90° - 60° = 30°。
(2) 数量关系：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{△ OCO'}$
推导过程：
因为平移后$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=S_{\mathrm{扇形}AOB}$，
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△OCO'})$，
又$S_{\mathrm{扇形}AOB}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{\mathrm{扇形}BOC}$，代入后化简可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{△ OCO'}$。
计算各部分数值：
已知OA=OB=OC=2，O'是OB中点，所以$OO'=\frac{1}{2}OB=1$，
在$\mathrm{Rt}△OO'C$中，由勾股定理得：$CO'=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
因此$S_{△OCO'}=\frac{1}{2} × OO' × CO' = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
已知∠AOC=30°，由扇形面积公式得：$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{30π × 2^2}{360}=\frac{π}{3}$，
因此$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
9. (1) 如图,连接$CB.∵$ 将扇形$AOB$沿$OB$方向平移,使点$O$移到$OB$的中点$O'$处,得到扇形$A'O'B',∴ O'$为$OB$的中点.$∠A'O'B'=∠AOB=90°.∴ A'O'⊥OB.∴ CO'$是$OB$的垂直平分线.$∴ CB=CO.$ 又
∵ $OC=OB,∴ OC=OB=CB.∴ △OBC$为等边三角形.$∴ ∠COB=60°.∴ ∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-60°=30°.$
(2) $S_{阴影}=S_{扇形A'O'B'}-(S_{扇形BOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOB}-(S_{扇形AOB}-S_{扇形AOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}.∵ O'$为$OB$的中点,$OA=OB=OC=2,∴ OO'=\frac{1}{2}OB=1.$ 在$\mathrm{Rt}△OO'C$中,$CO'=\sqrt{CO^2-O'O^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.∴ S_{△OCO'}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.∵ ∠AOC=30°,∴ S_{扇形AOC}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}.∴ S_{阴影}=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，等边三角形判定
【点评】
本题属于几何综合题，核心考察转化思想的应用，难点是通过垂直平分线的性质发现等边三角形，以及利用全等扇形的面积相等，将不规则的阴影部分面积转化为两个规则图形的面积之和，大幅简化运算，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
这道题的解题思路可以分两部分梳理：
1. 第一问求∠AOC的度数：首先利用平移的性质，得到平移后对应角∠A'O'B'=∠AOB=90°，结合O'是OB中点的条件，可知A'O'垂直平分OB，由此得到CB=CO，再结合OC和OB都是原扇形的半径、长度相等，可推出△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，用直角∠AOB减去60°就能算出∠AOC的度数。
2. 第二问求阴影面积：因为平移前后两个扇形AOB和A'O'B'完全全等、面积相等，我们可以用割补转化的思路，把不规则的阴影面积转化为两个规则图形（扇形AOC和△OCO'）的面积之和，分别计算这两个图形的面积再相加，就可以得到阴影部分的面积，避免直接计算阴影的复杂边界。
【解析】
(1) 连接CB，
由平移的性质可知：O'为OB的中点，∠A'O'B'=∠AOB=90°，
因此A'O'⊥OB，即CO'是OB的垂直平分线，
可得CB=CO。
又因为OC、OB都是扇形AOB的半径，OC=OB=2，
所以OC=OB=CB，△OBC为等边三角形，
因此∠COB=60°，
则∠AOC=∠AOB - ∠COB = 90° - 60° = 30°。
(2) 数量关系：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{△ OCO'}$
推导过程：
因为平移后$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=S_{\mathrm{扇形}AOB}$，
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-(S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△OCO'})$，
又$S_{\mathrm{扇形}AOB}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{\mathrm{扇形}BOC}$，代入后化简可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}+S_{△ OCO'}$。
计算各部分数值：
已知OA=OB=OC=2，O'是OB中点，所以$OO'=\frac{1}{2}OB=1$，
在$\mathrm{Rt}△OO'C$中，由勾股定理得：$CO'=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
因此$S_{△OCO'}=\frac{1}{2} × OO' × CO' = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
已知∠AOC=30°，由扇形面积公式得：$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{30π × 2^2}{360}=\frac{π}{3}$，
因此$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
9. (1) 如图,连接$CB.∵$ 将扇形$AOB$沿$OB$方向平移,使点$O$移到$OB$的中点$O'$处,得到扇形$A'O'B',∴ O'$为$OB$的中点.$∠A'O'B'=∠AOB=90°.∴ A'O'⊥OB.∴ CO'$是$OB$的垂直平分线.$∴ CB=CO.$ 又
∵ $OC=OB,∴ OC=OB=CB.∴ △OBC$为等边三角形.$∴ ∠COB=60°.∴ ∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-60°=30°.$
(2) $S_{阴影}=S_{扇形A'O'B'}-(S_{扇形BOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOB}-(S_{扇形AOB}-S_{扇形AOC}-S_{△OCO'})=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}.∵ O'$为$OB$的中点,$OA=OB=OC=2,∴ OO'=\frac{1}{2}OB=1.$ 在$\mathrm{Rt}△OO'C$中,$CO'=\sqrt{CO^2-O'O^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.∴ S_{△OCO'}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.∵ ∠AOC=30°,∴ S_{扇形AOC}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}.∴ S_{阴影}=S_{扇形AOC}+S_{△OCO'}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，等边三角形判定
【点评】
本题属于几何综合题，核心考察转化思想的应用，难点是通过垂直平分线的性质发现等边三角形，以及利用全等扇形的面积相等，将不规则的阴影部分面积转化为两个规则图形的面积之和，大幅简化运算，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
10. 如图①,$BC$是$\odot O$的直径,$A$是$\odot O$上一动点,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$.$AD$上有一点$E$,且$AE=BE$.延长$BE$交$AC$于点$F$,交$\odot O$于点$G$.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在图①的$AD$上作出点$E$(直尺与圆规各限用一次),并说明理由.
(2) 如图②,连接$AG$,若$AG // BC$,$\odot O$的半径为$6$,求涂色部分的面积.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在图①的$AD$上作出点$E$(直尺与圆规各限用一次),并说明理由.
(2) 如图②,连接$AG$,若$AG // BC$,$\odot O$的半径为$6$,求涂色部分的面积.
答案
10. (1) 如图①,以点$A$为圆心、$AB$长为半径,用圆规画弧交$\odot O$于点$G$,用直尺连接$BG$交$AD$于点$E$.理由:如图①,连接$AG$,延长$AD$交$\odot O$于点$H$,连接$BH.∵$ 以点$A$为圆心、$AB$长为半径,用圆规画弧交$\odot O$于点$G$,$∴ AB=AG.∴ ∠ABG=∠AGB.∵ BC$是$\odot O$的直径,$AD⊥BC,∴ AD=DH,∠BDA=∠BDH=90°$,$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{BH}.∴ ∠BAD=∠BHD.∵ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB},∴ ∠AGB=∠AHB.∴ ∠EAB=∠EBA.∴ AE=BE.∴$ 点$E$即为所求.
(2) 如图②,连接$OA$交$BG$于点$K$,连接$OG.$ 由(1),可得$∠EAB=∠EBA,AB=AG,∠AGB=∠ABG.∵ AG//BC,∴ ∠AGB=∠OBG.∴ ∠ABG=∠OBG.∵ OB=OG,∴ ∠OBG=∠OGB.∴ ∠OGB=∠ABG.∴ AB//OG.∴$ 四边形$ABOG$是平行四边形.又
∵ $AB=AG,∴$ 四边形$ABOG$是菱形.$∵$ 对角线$AO,BG$交于点$K,∴ KA=KO,KB=KG.$ 在$△KAB$和$△KOG$中,$\begin{cases}KA=KO,\\∠AKB=∠OKG,\\KB=KG,\end{cases}∴ △KAB≌△KOG(\mathrm{SAS}).∴ S_{△KAB}=S_{△KOG}.∴ S_{涂色部分}=S_{扇形AOG}.∵$ 四边形$ABOG$是菱形,$∴ AB=BO,∠ABO=∠AGO.∵ BO=AO,∴ AB=BO=OA.∴ △ABO$是等边三角形.$∴ ∠ABO=∠AOB=60°=∠AGO.∵ AG//BC,∴ ∠AGO=∠COG=60°.∴ ∠AOG=180°-∠AOB-∠COG=180°-60°-60°=60°.∴ S_{扇形AOG}=\frac{60×π×6^2}{360}=6π.∴$ 涂色部分的面积为$6π.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问是限定条件的尺规作图，核心目标是在AD上找到点E满足AE=BE，也就是要构造出∠EAB=∠EBA的等角关系：结合已知BC是直径、AD⊥BC的条件，由垂径定理可得AD延长后交圆得到的弧AB和弧BH相等，对应圆周角相等，因此只需要构造AB=AG，就能得到∠ABG=∠AGB，再通过同弧对应的圆周角相等，即可推导得到∠EAB=∠EBA，满足AE=BE的要求，刚好只需要用圆规以A为圆心AB为半径画弧找G，再用直尺连接BG交AD得到E，符合直尺、圆规各用一次的要求。第二问求阴影部分面积，通过已知AG//BC的条件，结合第一问得到的AB=AG，逐步推导得到四边形ABOG是菱形，进而推出△ABO是等边三角形，得到圆心角∠AOG=60°，再用割补法把零散的阴影部分面积转化为扇形AOG的面积，直接代入公式计算即可，避免拆分图形的复杂运算。
【解析】
(1) 作图步骤：以点A为圆心、AB长为半径，用圆规画弧交⊙O于点G，用直尺连接BG，BG与AD的交点即为所求点E。
理由：连接AG，延长AD交⊙O于点H，连接BH。
∵ 以A为圆心AB长为半径作弧得到G，
∴ AB=AG，可得∠ABG=∠AGB。
∵ BC是⊙O的直径，AD⊥BC，由垂径定理得AD=DH，$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{BH}$，
∴ ∠BAD=∠BHD。
又
∵ 同弧AB对应的圆周角∠AGB=∠AHB，
∴ ∠EAB=∠EBA，可得AE=BE，因此点E符合要求。
(2) 连接OA交BG于点K，连接OG。
由(1)的结论可得∠EAB=∠EBA，AB=AG，∠AGB=∠ABG。
∵ AG//BC，
∴ ∠AGB=∠OBG，因此∠ABG=∠OBG。
∵ OB=OG，
∴ ∠OBG=∠OGB，可得∠OGB=∠ABG，因此AB//OG，
∴ 四边形ABOG两组对边分别平行，是平行四边形，又
∵ AB=AG，
∴ 平行四边形ABOG是菱形。
菱形对角线互相平分，因此KA=KO，KB=KG，可证$△ KAB ≌ △ KOG(\mathrm{SAS})$，因此$S_{△ KAB}=S_{△ KOG}$。
∵ 菱形ABOG中AB=BO，又
∵ BO=AO，
∴ AB=BO=OA，即$△ ABO$是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，由AG//BC可得∠AGO=∠COG=60°，因此∠AOG=180°-60°-60°=60°。
阴影部分面积通过等积替换，可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOG}$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}AOG} = \frac{60 × π × 6^2}{360}=6π$。
【答案】
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题结合限定条件的尺规作图与圆的综合计算，既考察了学生对圆的基本性质的灵活运用，又通过割补等积转化的思想简化阴影面积的计算，引导学生不用生硬拆分零散阴影部分，而是通过图形性质转化为规则扇形求解，区分度较好。
【难度系数】
0.4
这道题分为两小问，第一问是限定条件的尺规作图，核心目标是在AD上找到点E满足AE=BE，也就是要构造出∠EAB=∠EBA的等角关系：结合已知BC是直径、AD⊥BC的条件，由垂径定理可得AD延长后交圆得到的弧AB和弧BH相等，对应圆周角相等，因此只需要构造AB=AG，就能得到∠ABG=∠AGB，再通过同弧对应的圆周角相等，即可推导得到∠EAB=∠EBA，满足AE=BE的要求，刚好只需要用圆规以A为圆心AB为半径画弧找G，再用直尺连接BG交AD得到E，符合直尺、圆规各用一次的要求。第二问求阴影部分面积，通过已知AG//BC的条件，结合第一问得到的AB=AG，逐步推导得到四边形ABOG是菱形，进而推出△ABO是等边三角形，得到圆心角∠AOG=60°，再用割补法把零散的阴影部分面积转化为扇形AOG的面积，直接代入公式计算即可，避免拆分图形的复杂运算。
【解析】
(1) 作图步骤：以点A为圆心、AB长为半径，用圆规画弧交⊙O于点G，用直尺连接BG，BG与AD的交点即为所求点E。
理由：连接AG，延长AD交⊙O于点H，连接BH。
∵ 以A为圆心AB长为半径作弧得到G，
∴ AB=AG，可得∠ABG=∠AGB。
∵ BC是⊙O的直径，AD⊥BC，由垂径定理得AD=DH，$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{BH}$，
∴ ∠BAD=∠BHD。
又
∵ 同弧AB对应的圆周角∠AGB=∠AHB，
∴ ∠EAB=∠EBA，可得AE=BE，因此点E符合要求。
(2) 连接OA交BG于点K，连接OG。
由(1)的结论可得∠EAB=∠EBA，AB=AG，∠AGB=∠ABG。
∵ AG//BC，
∴ ∠AGB=∠OBG，因此∠ABG=∠OBG。
∵ OB=OG，
∴ ∠OBG=∠OGB，可得∠OGB=∠ABG，因此AB//OG，
∴ 四边形ABOG两组对边分别平行，是平行四边形，又
∵ AB=AG，
∴ 平行四边形ABOG是菱形。
菱形对角线互相平分，因此KA=KO，KB=KG，可证$△ KAB ≌ △ KOG(\mathrm{SAS})$，因此$S_{△ KAB}=S_{△ KOG}$。
∵ 菱形ABOG中AB=BO，又
∵ BO=AO，
∴ AB=BO=OA，即$△ ABO$是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，由AG//BC可得∠AGO=∠COG=60°，因此∠AOG=180°-60°-60°=60°。
阴影部分面积通过等积替换，可得$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOG}$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}AOG} = \frac{60 × π × 6^2}{360}=6π$。
【答案】
【知识点】
垂径定理，扇形面积计算，圆周角定理
【点评】
本题结合限定条件的尺规作图与圆的综合计算，既考察了学生对圆的基本性质的灵活运用，又通过割补等积转化的思想简化阴影面积的计算，引导学生不用生硬拆分零散阴影部分，而是通过图形性质转化为规则扇形求解，区分度较好。
【难度系数】
0.4
