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1. 一题多解 易错题 如图，在以点$O$为圆心的两个同心圆中，点$A,B$在大圆上，点$C,D$在小圆上，$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{CD}$的长度分别是$l_1,l_2$.若扇形$OAB$与扇形$OCD$的面积相等，则$l_1$与$l_2$的大小关系为（
A.$l_1＞l_2$
B.$l_1＜l_2$
C.$l_1=l_2$
D.无法确定
B
）A.$l_1＞l_2$
B.$l_1＜l_2$
C.$l_1=l_2$
D.无法确定
答案
1. B 设大圆的半径为$r_1$,小圆的半径为$r_2$.解法一:根据题意,得$\frac{1}{2}l_1r_1=\frac{1}{2}l_2r_2.∵ r_1＞r_2,∴ l_1＜l_2.$ 解法二:设扇形的面积为$S$,所在圆的半径为$r$,圆心角所对的弧长为$l$,则$S=\frac{1}{2}rl$,即$l=\frac{2S}{r}.∵$ 两个扇形的面积相等,$r_1＞r_2,∴ l_1＜l_2.$
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：图形是两个同心圆，因此大圆半径必然大于小圆半径，且两个扇形OAB、OCD的面积相等，目标是比较两段弧长l₁、l₂的大小。解题时可以优先选择直接关联扇形面积、弧长、半径的公式S=½lr，不需要额外引入圆心角参数，直接利用面积相等建立等式，再结合大圆半径大于小圆半径的隐含条件，就能快速推导出两个弧长的大小关系，也可以通过公式变形得到弧长和半径的反比例关系直接判断。
【解析】
设大圆的半径为$r_1$，小圆的半径为$r_2$，由同心圆的性质可得$r_1＞r_2$。
扇形面积的弧长半径公式为$S=\frac{1}{2}lr$，其中$l$为扇形对应的弧长，$r$为扇形所在圆的半径。
因为扇形OAB与扇形OCD的面积相等，代入公式可得：
$\frac{1}{2}l_1 r_1=\frac{1}{2}l_2 r_2$
等式两边同时约去$\frac{1}{2}$，得到$l_1 r_1 = l_2 r_2$。
由于$r_1＞r_2$，要使两个乘积相等，必然满足$l_1＜l_2$。
也可将公式变形为$l=\frac{2S}{r}$，两个扇形面积S相等时，弧长l和半径r成反比，半径更大的大圆对应的弧长$l_1$更小，同样得到$l_1＜l_2$。
【答案】B
【知识点】
扇形面积公式，弧长计算
【点评】
本题是扇形相关的基础易错题，不少同学会惯性选择带圆心角的常规扇形面积公式和弧长公式推导，增加了不必要的计算步骤，灵活选用$S=\frac{1}{2}lr$的推导公式可以大幅简化运算，解题时要注意挖掘同心圆半径大小不同的隐含条件，避免将弧长的大小关系判断颠倒。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目已知条件：图形是两个同心圆，因此大圆半径必然大于小圆半径，且两个扇形OAB、OCD的面积相等，目标是比较两段弧长l₁、l₂的大小。解题时可以优先选择直接关联扇形面积、弧长、半径的公式S=½lr，不需要额外引入圆心角参数，直接利用面积相等建立等式，再结合大圆半径大于小圆半径的隐含条件，就能快速推导出两个弧长的大小关系，也可以通过公式变形得到弧长和半径的反比例关系直接判断。
【解析】
设大圆的半径为$r_1$，小圆的半径为$r_2$，由同心圆的性质可得$r_1＞r_2$。
扇形面积的弧长半径公式为$S=\frac{1}{2}lr$，其中$l$为扇形对应的弧长，$r$为扇形所在圆的半径。
因为扇形OAB与扇形OCD的面积相等，代入公式可得：
$\frac{1}{2}l_1 r_1=\frac{1}{2}l_2 r_2$
等式两边同时约去$\frac{1}{2}$，得到$l_1 r_1 = l_2 r_2$。
由于$r_1＞r_2$，要使两个乘积相等，必然满足$l_1＜l_2$。
也可将公式变形为$l=\frac{2S}{r}$，两个扇形面积S相等时，弧长l和半径r成反比，半径更大的大圆对应的弧长$l_1$更小，同样得到$l_1＜l_2$。
【答案】B
【知识点】
扇形面积公式，弧长计算
【点评】
本题是扇形相关的基础易错题，不少同学会惯性选择带圆心角的常规扇形面积公式和弧长公式推导，增加了不必要的计算步骤，灵活选用$S=\frac{1}{2}lr$的推导公式可以大幅简化运算，解题时要注意挖掘同心圆半径大小不同的隐含条件，避免将弧长的大小关系判断颠倒。
【难度系数】
0.7
2. 如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$AD$ 为$\odot O$ 的直径,且满足$∠ ABC=120°$,$AD=6$,则$\overset{\frown}{CD}$ 的长为
π
.答案
2. π 连接OC.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AD为直径，$AD=6,∴ OA=OC=OD=\frac{1}{2}AD=3$，$∠ABC+∠D=180°.∵ ∠ABC=120°,∴ ∠D=180°-∠ABC=60°.$ 又
∵ $OC=OD,∴ △OCD$ 是等边三角形.$∴ ∠COD=60°.∴ \overset{\frown}{CD}$ 的长为$\frac{60π×3}{180}=π.$
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AD为直径，$AD=6,∴ OA=OC=OD=\frac{1}{2}AD=3$，$∠ABC+∠D=180°.∵ ∠ABC=120°,∴ ∠D=180°-∠ABC=60°.$ 又
∵ $OC=OD,∴ △OCD$ 是等边三角形.$∴ ∠COD=60°.∴ \overset{\frown}{CD}$ 的长为$\frac{60π×3}{180}=π.$
解析
【分析】
要计算弧CD的长度，首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，需要先确定两个核心条件：弧CD对应的圆心角度数n，以及圆的半径r。首先由AD是直径且AD=6，可直接得到圆的半径为3；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ABC=120°，求出∠ADC的度数为60°；连接OC后，OC和OD都是半径相等，有一个60°内角的等腰三角形是等边三角形，即可得到圆心角∠COD=60°，最后代入弧长公式就能算出结果。
【解析】
1. 连接OC，
2. 已知AD为$\odot O$的直径，$AD=6$，因此圆的半径$OA=OC=OD=\frac{1}{2}AD=3$；
3. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，代入$∠ ABC=120°$，计算得$∠ ADC=180° - 120°=60°$；
4. 又因为$OC=OD$，$∠ ODC=60°$，因此$△ OCD$是等边三角形，可得弧CD对应的圆心角$∠ COD=60°$；
5. 代入弧长公式计算：$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{60π × 3}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆内接四边形性质，等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，解题逻辑清晰，核心是明确弧长计算需要的两个必要条件：对应圆心角和半径，通过圆内接四边形性质推导圆周角，再结合半径相等得到等边三角形求出圆心角，整体考察对圆基础性质的熟练应用，是很典型的常规考题。
【难度系数】
0.7
要计算弧CD的长度，首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，需要先确定两个核心条件：弧CD对应的圆心角度数n，以及圆的半径r。首先由AD是直径且AD=6，可直接得到圆的半径为3；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ABC=120°，求出∠ADC的度数为60°；连接OC后，OC和OD都是半径相等，有一个60°内角的等腰三角形是等边三角形，即可得到圆心角∠COD=60°，最后代入弧长公式就能算出结果。
【解析】
1. 连接OC，
2. 已知AD为$\odot O$的直径，$AD=6$，因此圆的半径$OA=OC=OD=\frac{1}{2}AD=3$；
3. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，代入$∠ ABC=120°$，计算得$∠ ADC=180° - 120°=60°$；
4. 又因为$OC=OD$，$∠ ODC=60°$，因此$△ OCD$是等边三角形，可得弧CD对应的圆心角$∠ COD=60°$；
5. 代入弧长公式计算：$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{60π × 3}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆内接四边形性质，等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，解题逻辑清晰，核心是明确弧长计算需要的两个必要条件：对应圆心角和半径，通过圆内接四边形性质推导圆周角，再结合半径相等得到等边三角形求出圆心角，整体考察对圆基础性质的熟练应用，是很典型的常规考题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$OC=6,∠ BAC=40°$,则图中涂色部分的面积为
8π
.答案
3. 8π
∵ O是AB的中点,$∴ S_{△BOC}=S_{△AOC}.∴ S_{涂色}=S_{扇形BOC}.∵ ∠BAC=40°,∴ ∠BOC=2∠BAC=80°.∵ OC=6,∴ S_{扇形BOC}=\frac{80}{360}π×6^2=8π.∴$ 涂色部分的面积为8π.
∵ O是AB的中点,$∴ S_{△BOC}=S_{△AOC}.∴ S_{涂色}=S_{扇形BOC}.∵ ∠BAC=40°,∴ ∠BOC=2∠BAC=80°.∵ OC=6,∴ S_{扇形BOC}=\frac{80}{360}π×6^2=8π.∴$ 涂色部分的面积为8π.
解析
【分析】
首先观察图中两块涂色区域，一块是△AOC，另一块是弓形BC，直接分别计算两者面积再相加会比较繁琐。我们可以先利用O是AB中点的性质：OA=OB，△AOC和△BOC以OA、OB为底时，对应高是点C到直径AB的距离，因此两个三角形面积相等，这样△AOC的面积就等于△BOC的面积，两块涂色部分的面积之和就恰好等于扇形BOC的面积，实现了将分散阴影转化为规则扇形的简化。接下来根据圆周角定理，同弧BC对应的圆心角∠BOC是圆周角∠BAC的2倍，算出∠BOC的度数，再代入扇形面积公式，结合已知半径OC=6，就能直接求出涂色部分总面积。
【解析】
解：
1. 等积转化阴影面积
因为AB是⊙O的直径，O是AB中点，所以OA=OB。
△AOC和△BOC的底OA=OB，对应高均为点C到直线AB的垂线段长度，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$。
由此可得两块涂色部分的总面积：$S_{涂色}=S_{△ AOC} + S_{弓形BC} = S_{△ BOC} + S_{弓形BC} = S_{扇形BOC}$。
2. 计算扇形圆心角
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BAC=40°，它是弧BC对应的圆周角，因此弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×40°=80°$。
3. 代入扇形面积公式计算
已知⊙O半径OC=6，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{扇形BOC}=\frac{80}{360}×π×6^2=\frac{80}{360}×36π=8π$。
因此涂色部分的面积为8π。
【答案】
$8π$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等积转化
【点评】
本题的核心解题技巧是利用等底等高的三角形面积相等，将分散的两块不规则涂色区域拼接转化为规则的扇形，避免了分别计算三角形和弓形面积的复杂运算，重点考察了圆中的面积转化思想，属于圆面积计算中的典型巧算题型。
【难度系数】
0.6
首先观察图中两块涂色区域，一块是△AOC，另一块是弓形BC，直接分别计算两者面积再相加会比较繁琐。我们可以先利用O是AB中点的性质：OA=OB，△AOC和△BOC以OA、OB为底时，对应高是点C到直径AB的距离，因此两个三角形面积相等，这样△AOC的面积就等于△BOC的面积，两块涂色部分的面积之和就恰好等于扇形BOC的面积，实现了将分散阴影转化为规则扇形的简化。接下来根据圆周角定理，同弧BC对应的圆心角∠BOC是圆周角∠BAC的2倍，算出∠BOC的度数，再代入扇形面积公式，结合已知半径OC=6，就能直接求出涂色部分总面积。
【解析】
解：
1. 等积转化阴影面积
因为AB是⊙O的直径，O是AB中点，所以OA=OB。
△AOC和△BOC的底OA=OB，对应高均为点C到直线AB的垂线段长度，因此$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$。
由此可得两块涂色部分的总面积：$S_{涂色}=S_{△ AOC} + S_{弓形BC} = S_{△ BOC} + S_{弓形BC} = S_{扇形BOC}$。
2. 计算扇形圆心角
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BAC=40°，它是弧BC对应的圆周角，因此弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2×40°=80°$。
3. 代入扇形面积公式计算
已知⊙O半径OC=6，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{扇形BOC}=\frac{80}{360}×π×6^2=\frac{80}{360}×36π=8π$。
因此涂色部分的面积为8π。
【答案】
$8π$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等积转化
【点评】
本题的核心解题技巧是利用等底等高的三角形面积相等，将分散的两块不规则涂色区域拼接转化为规则的扇形，避免了分别计算三角形和弓形面积的复杂运算，重点考察了圆中的面积转化思想，属于圆面积计算中的典型巧算题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ A=90°$,将斜边$BD$绕点$B$按顺时针方向旋转至$BC$的位置,使$BC//$$AD$,过点$C$作$CE⊥ BD$于点$E$.
(1) 求证:$△ ABD≌△ ECB$.
(2) 若$∠ ABD=30°$,$BE=3$,求旋转过程中点$D$经过的路径长.
(1) 求证:$△ ABD≌△ ECB$.
(2) 若$∠ ABD=30°$,$BE=3$,求旋转过程中点$D$经过的路径长.
答案
4. (1) $∵ ∠A=90°,CE⊥ BD,∴ ∠A=∠BEC=90°.$
$∵ BC//AD,∴ ∠D=∠EBC.∵$ 将斜边$BD$绕点$B$按顺时针方向旋转至$BC$的位置,$∴ BD=CB.$ 在$△ABD$和$△ECB$中,$\begin{cases}∠A=∠BEC,\\∠D=∠EBC,\\BD=CB,\end{cases}∴ △ABD≌△ECB(\mathrm{AAS}).$
(2) 由(1)知,$△ABD≌△ECB,∴ DA=BE=3.∵ ∠A=90°,∠ABD=30°,∴$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$BD=2AD=6.$
$∵ BC//AD,∴ ∠A+∠ABC=180°.∴ ∠ABC=90°.∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-30°=60°.∴$ 旋转过程中点$D$经过的路径长为$\frac{60π×6}{180}=2π.$
$∵ BC//AD,∴ ∠D=∠EBC.∵$ 将斜边$BD$绕点$B$按顺时针方向旋转至$BC$的位置,$∴ BD=CB.$ 在$△ABD$和$△ECB$中,$\begin{cases}∠A=∠BEC,\\∠D=∠EBC,\\BD=CB,\end{cases}∴ △ABD≌△ECB(\mathrm{AAS}).$
(2) 由(1)知,$△ABD≌△ECB,∴ DA=BE=3.∵ ∠A=90°,∠ABD=30°,∴$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$BD=2AD=6.$
$∵ BC//AD,∴ ∠A+∠ABC=180°.∴ ∠ABC=90°.∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-30°=60°.∴$ 旋转过程中点$D$经过的路径长为$\frac{60π×6}{180}=2π.$
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问证明全等三角形，解题思路是先从已知条件中梳理对应相等的要素：首先由∠A=90°和CE⊥BD得到一组直角相等，再利用平行线的内错角相等得到第二组角相等，最后结合旋转的性质得到对应边BD=BC，凑齐AAS全等判定的三个条件即可完成证明。第二问求点D经过的路径长，首先明确点D绕点B旋转，运动路径是一段圆弧，需要先求出圆弧的半径BD的长度，再求出旋转角∠DBC的度数，代入弧长公式计算即可：先借助第一问的全等性质得到AD=BE=3，再利用含30°角的直角三角形的性质得到BD=6，再通过平行线的同旁内角互补算出∠ABC=90°，进而推导得到旋转角为60°，代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠A=90°，CE⊥BD，
∴ ∠A=∠BEC=90°。
∵ BC//AD，
∴ ∠D=∠EBC。
∵ 将斜边BD绕点B按顺时针方向旋转至BC的位置，
∴ BD=CB。
在△ABD和△ECB中，
$\begin{cases}∠A=∠BEC,\\∠D=∠EBC,\\BD=CB,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ECB(AAS)。
(2) 解：
由(1)知△ABD≌△ECB，
∴ AD=BE=3。
∵ ∠A=90°，∠ABD=30°，
∴ 在Rt△ABD中，BD=2AD=6。
∵ BC//AD，
∴ ∠A+∠ABC=180°，可得∠ABC=90°，
∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-30°=60°。
点D旋转的路径为以B为圆心、BD为半径，圆心角为60°的弧，代入弧长公式得路径长为$\frac{60π×6}{180}=2π$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) 点D经过的路径长为$2π$
【知识点】
全等三角形AAS判定，旋转的性质，弧长计算公式
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问是全等三角形的常规证明，考察学生对全等判定定理的掌握；第二问结合旋转的性质考察弧长计算，解题的核心是明确点的运动轨迹，准确求出旋转的半径和圆心角，其中旋转角的推导需要结合平行线的性质，是本题的小易错点。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问证明全等三角形，解题思路是先从已知条件中梳理对应相等的要素：首先由∠A=90°和CE⊥BD得到一组直角相等，再利用平行线的内错角相等得到第二组角相等，最后结合旋转的性质得到对应边BD=BC，凑齐AAS全等判定的三个条件即可完成证明。第二问求点D经过的路径长，首先明确点D绕点B旋转，运动路径是一段圆弧，需要先求出圆弧的半径BD的长度，再求出旋转角∠DBC的度数，代入弧长公式计算即可：先借助第一问的全等性质得到AD=BE=3，再利用含30°角的直角三角形的性质得到BD=6，再通过平行线的同旁内角互补算出∠ABC=90°，进而推导得到旋转角为60°，代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠A=90°，CE⊥BD，
∴ ∠A=∠BEC=90°。
∵ BC//AD，
∴ ∠D=∠EBC。
∵ 将斜边BD绕点B按顺时针方向旋转至BC的位置，
∴ BD=CB。
在△ABD和△ECB中，
$\begin{cases}∠A=∠BEC,\\∠D=∠EBC,\\BD=CB,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ECB(AAS)。
(2) 解：
由(1)知△ABD≌△ECB，
∴ AD=BE=3。
∵ ∠A=90°，∠ABD=30°，
∴ 在Rt△ABD中，BD=2AD=6。
∵ BC//AD，
∴ ∠A+∠ABC=180°，可得∠ABC=90°，
∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-30°=60°。
点D旋转的路径为以B为圆心、BD为半径，圆心角为60°的弧，代入弧长公式得路径长为$\frac{60π×6}{180}=2π$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) 点D经过的路径长为$2π$
【知识点】
全等三角形AAS判定，旋转的性质，弧长计算公式
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问是全等三角形的常规证明，考察学生对全等判定定理的掌握；第二问结合旋转的性质考察弧长计算，解题的核心是明确点的运动轨迹，准确求出旋转的半径和圆心角，其中旋转角的推导需要结合平行线的性质，是本题的小易错点。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=6$,以点$A$为圆心,$AD$为半径的弧交$BC$于点$E$,连接$AE$,则涂色部分的面积是（
A.$\dfrac{10}{3}π$
B.$π$
C.$2π$
D.$3π$
D
）A.$\dfrac{10}{3}π$
B.$π$
C.$2π$
D.$3π$
答案
5. D 根据题意,得$AE=AD=6.∵$ 四边形$ABCD$是矩形,$∴ ∠ABE=90°,BC//AD.∵ AB=3,∴$ 在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AB=\frac{1}{2}AE$,易知$∠AEB=30°.∴ ∠DAE=∠AEB=30°.∴$ 涂色部分的面积是$\frac{30}{360}π×6^2=3π.$
解析
【分析】
我们要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是以A为圆心的扇形，求扇形面积需要确定两个核心条件：扇形的半径和圆心角的度数。第一步先根据作图规则得到扇形的半径：由题意可知AE=AD=6，已知AD=6，所以扇形半径r=6。接下来只需要求出圆心角∠DAE的度数即可：利用矩形的性质，得到∠B=90°，BC//AD，在Rt△ABE中，已知AB=3，AE=6，可得AB是AE的一半，由此推出∠AEB=30°，再结合平行线的内错角相等，得到∠DAE=∠AEB=30°，最后代入扇形面积公式就能算出阴影部分的面积。
【解析】
解：由题意可得，扇形的半径AE=AD=6，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，BC//AD，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=6，
∴ $AB=\frac{1}{2}AE$，
∴ ∠AEB=30°，
∵ BC//AD，
∴ ∠DAE = ∠AEB = 30°（两直线平行，内错角相等），
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n=30，r=6：
$S_{阴影}=\frac{30}{360}×π×6^2=\frac{1}{12}×π×36=3π$。
【答案】D
【知识点】矩形性质，扇形面积公式，直角三角形边角关系
【点评】本题属于几何基础计算题，核心考点是扇形面积的求解，解题的关键是跳出直接拼接不规则图形的误区，先通过矩形性质和直角三角形的边角关系推导得到扇形的圆心角，直接套用扇形面积公式即可快速得到结果，计算难度较低。
【难度系数】0.7
我们要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是以A为圆心的扇形，求扇形面积需要确定两个核心条件：扇形的半径和圆心角的度数。第一步先根据作图规则得到扇形的半径：由题意可知AE=AD=6，已知AD=6，所以扇形半径r=6。接下来只需要求出圆心角∠DAE的度数即可：利用矩形的性质，得到∠B=90°，BC//AD，在Rt△ABE中，已知AB=3，AE=6，可得AB是AE的一半，由此推出∠AEB=30°，再结合平行线的内错角相等，得到∠DAE=∠AEB=30°，最后代入扇形面积公式就能算出阴影部分的面积。
【解析】
解：由题意可得，扇形的半径AE=AD=6，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，BC//AD，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=6，
∴ $AB=\frac{1}{2}AE$，
∴ ∠AEB=30°，
∵ BC//AD，
∴ ∠DAE = ∠AEB = 30°（两直线平行，内错角相等），
代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中n=30，r=6：
$S_{阴影}=\frac{30}{360}×π×6^2=\frac{1}{12}×π×36=3π$。
【答案】D
【知识点】矩形性质，扇形面积公式，直角三角形边角关系
【点评】本题属于几何基础计算题，核心考点是扇形面积的求解，解题的关键是跳出直接拼接不规则图形的误区，先通过矩形性质和直角三角形的边角关系推导得到扇形的圆心角，直接套用扇形面积公式即可快速得到结果，计算难度较低。
【难度系数】0.7
6. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=90^{ \circ }$,半径$OA=6$,将扇形$OAB$沿过点$A$的直线折叠,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$O'$处,折痕交$OB$于点$C$,则$\overset{\frown}{O'B}$的长是（
A.$\dfrac{1}{2} π$
B.$π$
C.$2 π$
D.$3 π$
B
）A.$\dfrac{1}{2} π$
B.$π$
C.$2 π$
D.$3 π$
答案
6. B 连接$OO'$,则$OO'=OA.$ 由折叠的性质,得$OA=O'A.∴ OA=O'A=OO'=6.∴ △AOO'$是等边三角形.$∴ ∠AOO'=60°.∵ ∠AOB=90°,∴ ∠BOO'=30°.∴ \overset{\frown}{O'B}$的长是$\frac{30π×6}{180}=π.$
解析
【分析】
这是一道扇形折叠结合弧长计算的综合题，解题可以按以下思路推进：首先回忆折叠的核心性质：折叠前后对应边相等，立刻得到OA=O'A；再结合扇形的半径都相等，可知OA、OO'都是扇形半径，长度均为6，由此可判定△AOO'是等边三角形；接着利用等边三角形内角为60°的性质，结合已知的∠AOB=90°，算出弧O'B对应的圆心角为30°；最后直接代入弧长公式计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：连接$OO'$，
1. 因为O是扇形OAB的圆心，所以扇形的半径满足$OO'=OA=6$；
2. 由折叠的性质可得，折叠后点O与点O'重合，对应边相等：$OA=O'A$；
3. 因此$OA=O'A=OO'=6$，三边相等的$△ AOO'$是等边三角形，可得$∠ AOO'=60°$；
4. 已知$∠ AOB=90°$，因此弧$\overset{\frown}{O'B}$对应的圆心角：
$∠ BOO' = ∠ AOB - ∠ AOO' = 90° - 60° = 30°$；
5. 代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），得：
$\overset{\frown}{O'B}$的长$=\frac{30π × 6}{180}=π$。
因此本题选B。
【知识点】
折叠的性质，等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题的核心突破口是通过连接辅助线OO'，结合扇形半径相等和折叠的边相等的性质，快速构造出等边三角形，无需复杂的边长计算就能求出目标弧对应的圆心角，属于扇形模块的基础综合题型，易错点是想不到构造等边三角形，无法求出弧对应的圆心角。
【难度系数】
0.6
这是一道扇形折叠结合弧长计算的综合题，解题可以按以下思路推进：首先回忆折叠的核心性质：折叠前后对应边相等，立刻得到OA=O'A；再结合扇形的半径都相等，可知OA、OO'都是扇形半径，长度均为6，由此可判定△AOO'是等边三角形；接着利用等边三角形内角为60°的性质，结合已知的∠AOB=90°，算出弧O'B对应的圆心角为30°；最后直接代入弧长公式计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：连接$OO'$，
1. 因为O是扇形OAB的圆心，所以扇形的半径满足$OO'=OA=6$；
2. 由折叠的性质可得，折叠后点O与点O'重合，对应边相等：$OA=O'A$；
3. 因此$OA=O'A=OO'=6$，三边相等的$△ AOO'$是等边三角形，可得$∠ AOO'=60°$；
4. 已知$∠ AOB=90°$，因此弧$\overset{\frown}{O'B}$对应的圆心角：
$∠ BOO' = ∠ AOB - ∠ AOO' = 90° - 60° = 30°$；
5. 代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），得：
$\overset{\frown}{O'B}$的长$=\frac{30π × 6}{180}=π$。
因此本题选B。
【知识点】
折叠的性质，等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题的核心突破口是通过连接辅助线OO'，结合扇形半径相等和折叠的边相等的性质，快速构造出等边三角形，无需复杂的边长计算就能求出目标弧对应的圆心角，属于扇形模块的基础综合题型，易错点是想不到构造等边三角形，无法求出弧对应的圆心角。
【难度系数】
0.6
